Showing papers in "Annalen der Physik in 1967"

Statistische Thermodynamik der gebundenen Zustände in Plasmen

Abstract: Using the method of MORITA and the ionic solution theory of FRIEDMAN, the free energy of a system of nuclei and electrons is represented by a convergent cluster expansion. The n-th term of this expansion is given by the screened SLATER sum of the n body problem. The SLATER sum of two particles is calculated quantummechanically for bound states (E ≳ − kT) and classically for free states (E ≲ − kT). The second virial coefficient and the SAHA equation for a hydrogen plasma are derived. Long range, short range and high orbit divergencies are avoided.

Das makroskopische Gravitationsfeld in der einheitlichen Quantenfeldtheorie

Abstract: A theory of the gravitation field is proposed in connection with a new spinorial formulation of EINSTEIN'S equivalence principle and HEISENBERG'S unified quantum theory of fields. In the gravitation theory the gravitational field is given by the coefficients hAi (xl) of the matrix of the anholonomic non-Lorentzian transformations from the Lorentzian metric ηAB to the physical metric gik (xl) of the Riemannian space-time V4. The field equations and the commutation rules for the hAi are working in the Lorentzian space. The metric of the Riemannian V4 is given by the average gik = 〈|hAi, hBk|〉ηAB. For all matter fields (and for HEISENBERG's “Urfeld”) the field equations are equations in this Riemannian V4. The interaction between the gravitational field hAi and the matter-tensor is given by a potential-like coupling-term. We prove that this new theory of gravitation gives for makroscopic matter the same linear approximation equations like general relativity and that a perihel-motion δφ ≈ 76 δφ EINSTEIN results in the second approximation. But, we are finding essential differences to general relativity for the theory of gravitation radiation and for the theory of interaction of matter with strong gravitation fields.

On the Hollow Cathode Effect Mechanism

Abstract: On basis of new results concerning the dependence of the discharge current on the intercathode spacing and the cathode fall potential, the main characteristics of the hollow cathode effect (H.C.E) in a plane-parallel geometry are defined. In order to explain the particularities of the H.C.E., a mechanism is proposed that regards the discharge current amplifications and the enhancement of the negative glow plasma as a consequence of the plasma beam instabilities.

Relativistische Bewegungsprobleme. I, Das freie Spinteilchen

Abstract: Das freie Spinteilchen wird als eine pol-dipolartige Massendistribution mit zeitartigem Linientrager in einer sonst leeren MINKOWSKI-Welt aufgefast. Die Erhaltungssatze fur Impulsvektor und Momententensor legen nicht die Weltlinie des Spinteilchens (Mikrobewegung) fest, sondern beziehen sich auf den – mit dem Teilchen im allgemeinen nicht zusammenfallenden – Schwerpunkt (Makrobewegung). Der Momentensatz zerfallt kovariant in einen Erhaltungssatz fur den Spinvektor und einen solchen fur das Bahnmoment der Schwerpunktsbewegung. Im ganzen ist das Spinteilchen weitgehend das Analogon eines Systems, dessen Zustande eine irreduzible unitare Darstellung der POINCARE-Gruppe aufspannen: Der willkurlichen Zitterbewegung entspricht die Willkur bei der Auswahl einer der unitar aquivalenten Darstellungen. Abschliesend werden zwei durch Nebenbedingungen ausgesonderte spezielle Formen der Mikrobewegung betrachtet.

Theorie der intermolekularen kernmagnetischen Relaxation adsorbierter Moleküle

Abstract: The correlation function of translational diffusion of molecules adsorbed in a monomolecular surface layer is determined by the restriction of molecular mobility. Using the two-dimensional diffusion equation the calculation of the correlation function g(τ) yields a very low decrease. In addition to one must consider the exchange of molecules with the gas phase in the correlation function. As g(τ) cannot be presented by elementary functions further results are obtained by means of numerical calculations and according to that the spectral density of two-dimensional translational diffusion is determined. Using this spectral density the dependence of relaxation times T1 and T2 on the diffusion correlation time τc and on the life time τh of molecules in the surface phase is discussed. The ratio T1: T2 is shown to depend on the parameter α = τc/τh strongly. The corresponding frequency and temperature dependence of T1 and T2 respectivly are investigated.

Relativistische Bewegungsprobleme. II Der starre Rotator

Abstract: Das in Teil I dynamisch definierte Spinteilchen wird durch ein spezielles kinematisches Modell realisiert: Ein rotierendes orthonormales Vierbein, dessen zeitartiges Bein die Tangente der Weltlinie des Teilchens bildet. Die Bewegungsgleichungen ergeben sich mittels eines stationaren parameter-, LORENTZ- und beininvarianten Wirkungsfunktionals. (Beininvarianz bedeutet Invarianz gegenuber orthogonalen Transformationen der drei raumartigen Beine.) Aus der LORENTZ- bzw. Beininvarianz fliesen uber den Satz von NOETHER die auseren bzw. inneren Erhaltungssatze. Beschrankung auf die zeitartige Beinvariable fuhrt auf ein Wirkungsfunktional, in dessen LAGRANGE-Funktion neben der Geschwindigkeit auch die Beschleunigung des Teilchens eingeht.

Theoretische und experimentelle Beiträge zur Theorie des negativen Glimmlichts

Abstract: Teil 1: Mit einer aus der Entladungsspannung UE und der pd-UE-Charakteristik der reduzierten Fallraumlange bestimmbaren Neuerzeugungsfunktion wird ein Diffusionsmodell des negativen Glimmlichts (NGL fur zylindrische Geometrie berechnet. — Der Plasmawirkungsgrad δ des NGL kann errechnet werden. Er hangt nur von UE und der reduzierten GL-Lange ab. Unterschreitet die GL-Lange L einen kritischen Wert L/R-r0 ≦ 3 (Rohrradius R, Kontraktionsradius r0), so sinkt δ stark ab. — Im Rahmen des Diffusionsmodells ist der Einsatzpunkt des FARADAYschen Dunkelraums und der positiven Saule angebbar. — Eine Energiebilanz der Plasmaelektronen ergibt, das deren mittlere Energie von der Anfangsenergie nach der Ionisierung durch die Fallraumelektronen herruhren mus. Teil 2: Das in Teil 1 behandelte Diffusionsmodell besitzt fur H2-Entladungen bis zu Drucken p ≦ 0,1 Torr Gultigkeit. Fur das Plasmadichteprofil langs der Rohrachse, die absolute Plasmadichte, den δ-Koeffizienten und die elektrische Langsfeldstarke wird gute Ubereinstimmung mit dem Modell gefunden. Bei hoheren Drucken scheint Volumenrekombination einzusetzen. Part 1 By means of a generation function determined by the discharge voltage UE and the dependence of the reduced length of the cathode-fall on UE, pd = f(UE), a diffusion model of the negative glow (NGL) is evaluated for cylindrical geometry. — The plasma efficiency δ of the NGL can be evaluated. It is only dependent on UE and the reduced length of the NGL. If the length of the negative glow, L, is smaller than a critical value L/R-r0 ≦ 3 (tube-radius R, constriction-radius r0), δ strongly falls. — By the diffusion model the transition point from NGL to the FARADAY-dark-space and to the positive column can be fixed. — An energy balancy of the plasma electrons shows, that their average energy depends on the starting energy of the plasma electrons after creation by the cathode fall electrons. Part 2: The diffusion model derived in part 1 is valid for H2-discharges up to pressures p ≦ 0.1 Torr. Good agreement with theory is found for the plasma-density profile along the tube axis, for the absolute plasma-density, the plasma-efficiency δ and the electrical field along the axis. At higher pressures we suppose volumn recombination.

Relativistische Bewegungsprobleme. III Das Spinteilchen in äußeren MAXWELL-Feldern

Abstract: Eine pol-dipolartige Massen- und Ladungsdistribution mit zeitartigem Liniertrager wird uber die Erhaltungssatze in ein vorgegebenes MAXWELL-Feld eingebettet. Die sich ergebenden allgemeinsten Bewegungsgleichungen des Spinteilchens mit magnetischem und elektrischem Dipolmoment werden unter dem Gesichtspunkt verschiedener Nebenbedingungen diskutiert. Es handelt sich um das klassische Analogon der Behandlung eines anomalen magnetischen Moments mittels PAULI-Kopplung.

Kinetic Theory of Molecular Radiometric Force and Radiometer

Abstract: : The equation for the molecular radiometric force and moment on a body with convex surface enclosed by an arbitrary closed system in the Knudsen regime has been presented based on the revised theory of thermal transpiration established recently by Wu. Two exact solutions of the molecular vane-radiometers in a cylindrical tube and rectangular duct have been obtained in closed forms and calculated through numerical computation. These solutions reduce to the classical theory developed by Knudsen in the limit of infinitely large containers. (Author)

On the GYARMATI Principle and the Canonical Equations of Thermodynamics

Abstract: On the basis of the variational principle proposed by GYARMATI we determine the canonical equations of non-equilibrium thermodynamics. It was demonstrated that the transport equations governing irreversible processes are similarly determined by GYARMATI's principle, further on the canonical equations equivalent to them, as in mechanics the wellknown Lagrangian equations of motion and their Hamiltonian forms are determined with the HAMILTON principle.

General Fluctuation Theorems of Quantum Statistics

Abstract: The general theorems of classical statistical mechanics used to calculate the fluctuations and the correlations are generalized to the case of quantum systems. The exact relations of quantum statistics are obtained and they permit to calculate the time correlations in theory of brownian motion without supplementary assumptions about character of the correlations of chance forces. From these relations the generalized reciprocal ONSAGER relations and the generalized fluctuation-dissipation theorem are found, as the exakt theorems of nonequilibrium quantum statistics.

Über das Nicht-Auftreten der kosmologischen Singularität in der TREDERschen Gravitationstheorie

Abstract: In der TREDERschen Gravitationstheorie werden der Strahlungskosmos und ein mit inkoharenter Materie gefullter Kosmos betrachtet. Es wird angenommen, das die dreidimensionalen Unterraume t = const. homogen, isotrop und eben sind. Diese kosmologischen Modelle haben keine kosmologische Singularitat. In TREDER's gravitation theory we consider the cosmological model with radiation and the cosmological model with energy momentum tensor T = ϱ ukul. We assume that cosmological models have ROBERTSON WALKER metric and that curvature of 3-dimensional sub-spaces t = const. vanishes. These cosmological models have not cosmological singularity.

Moden in einem Halbleiterlaser

Abstract: Fur einen speziellen stetigen Verlauf des Absorptionskoeffizienten α (α = A − B · ch−2ax) in einer Laserdiode wird die Wellengleichung gelost. Die Verluste und Ausbreitungskoeffizienten samtlicher Moden konnen durch geschlossene Formeln dargestellt werden. Der Effekt der Lichtleitung wird berucksichtigt und sowohl das Nahfeld als auch das Fernfeld fur die Grundmode berechnet. Es ergeben sich fur Moden mit dem elektrischen Vektor senkrecht zum p–n-Ubergang hohere Verluste als fur Moden mit den elektrischen Vektor parallel dazu. Die ublichen Verfahren zur experimentellen Bestimmung der Modenverluste im Halbleiterlaser werden diskutiert und die erhaltenen Werte korrigiert.

Protonenrelaxation in Mn2+-Lösungen, Einfluß der Hyperfeinkopplung. II. Experimente

Abstract: A spectrometer is described allowing the measurement of transverse relaxation times ≳ 30 ms at 40 kc/s and of longitudinal relaxation times ≳ 0,1 s within the range of 40 kc/s to 1 Mc/s at any frequency. The relative large sample volume of 800 cm3 and the premagnetisation of the sample in a strong magnetic field (⩽ 800 Oe) assure a sufficient signal intensity. The longitudinal proton relaxation time in aqueous solutions of Mn2+-ions determined in a temperature range of 15…95°C at frequencies between 15 kc/s and 1 Mc/s indicates an important influence of the hyperfine coupling. The experimental results are in good agreement with the result of the calculations of SAMES and MICHEL in Part I of this paper. The doubling of electron relaxation time and the decrease of scalar contribution of the relaxation rates for high temperatures during passing from high to low fields is evident. Furthermore, the theoretically predicted large range of validity of the weak field formula which describes the experimental results up to 1 Mc/s is noteworthy. However, it is not possible to give a reasonable interpretation of the experimental results by means of the theory of Solomon and Bloembergen. From the experimental results the till now always assumed temperature independence of the coupling constant of the scalar interaction in aqueous solutions of Mn2+-ions could clearly be proved between 0 and 100°C. Studies on solutions of Mn2+-ions in formic acid and methanol, respectively, show that the dipole contribution of the relaxation rates for sufficient long correlation times will be also affected by the hyperfine coupling during passing from high to weak magnetic fields.

Quantenmechanische Berechung der Photonenzahl und Amplitudenfluktuation einer Laserstrahlung

Abstract: From the quantum mechanical equations describing the laser we derive a system of two coupled equations which contains only b+b, b+bb+b and the fluctuation operators. If we introduce a distribution function for the eigenvalues of b+b which depends on the parameters n0 = 〈b+b〉 (average photon number) and (amplitude fluctuation) and neglecting noise terms of higher order, then it is easily possible to calculate the quantum mechanical expection values given above and derive two equations which determine n0 and α for the stationary case. Below the threshold of laser action these equations then describes thermal light with an amplitude fluctuation and a photon number n0. These results agree with that of other authors. The same holds also above threshold for the photon number, if we neglect correction terms of the order n. For the amplitude fluctuation we obtain and it is shown, that far above the laser threshold the relative amplitude fluctuation decreases with increasing pumping intensity and therefore increasing photon number. However, the relative amplitude fluctuation remains approximately constant also in the case of increasing photon number if the latter is achieved by varying such experimental parameters which also increase the number of spontaneous quanta.

Verschwinden des Laser‐Effektes bei sehr starkem Pumpen

Abstract: The perturbation of a CW laser by a coupled optical transition is studied. In case of incoherent perturbation light, the laser photon number has been calculated recently by a fully quantum-mechanical approach. It is more easily obtained by simple rate equations, if the effect on the transition probability is considered by the introduction of a line broadening. In case of coherent perturbing radiation, a properly defined transition probability is derived from a semiclassical emission rate formula, given by FELD and JAVAN. The application on gas laser transitions reveals a dependence of the laser gain on the mutual directions of propagation of the laser light and the perturbation light.

Störungstheoretische Äquivalenz der Wechselwirkungsoperatoren HW =−e/mc + e2/2mc22 und ĤW =−

Abstract: In dipole approximation, a mathematical relation between the n-th order contributions to the unitary time development operator (in the interaction representation) corresponding to HW and ĤW, respectively, is established. From this, the transition probabilities calculated for n-th order processes using HW in one case and ĤW in the other, are easily deduced to be equal for arbitrary n, provided the physical processes considered are always described in terms of the lowest order with respect to the coupling constant.

Theorie des Quantenplasmas unter Benutzung der Methode der kollektiven Variablen

Abstract: Unter Benutzung der Methode der kollektiven Variablen wird ein Ausdruck fur die freie Energie eines N-Teilchensystems mit weitreichender zwischenmolekularer Wechselwirkung angegeben. Fur hohe Temperaturen last sich dieser Ausdruck nach Potenzen von ħ entwickeln. Es wird die freie Energie bis zum Gliede proportional ħ berechnet.

Feldemission aus dünnen halbleitenden Schichten auf Metallen

Abstract: Mit Hilfe des Feldemissionsmikroskops wurden die Emissionseigenschaften mehrerer Einkristallflachen eines Wolframemitters in Abhangigkeit von der Dicke der aufgebrachten Siliziumschichten untersucht. Die erhaltenen experimentellen Strom–Spannungs-Kennlinien werden mit theoretisch berechneten verglichen, die sich unter der Annahme eines einfachen energetischen Modells fur das System Metall–Halbleiterschicht–Vakuum ergeben. Die Ubereinstimmung zwischen Theorie und Experiment ist gut, des weiteren lassen sich fruher gefundene Ergebnisse zur Energieverteilung der emittierten Elektronen qualitativ deuten.

A Modified Spin-Lattice Relaxation Time Equation in Liquids

Abstract: The mechanism of the measurement of spin-lattice relaxation time (T1) treated by BLOEMBERGEN, PURCELL and POUND (B. P. P.) has been modified arguing that DEBYE's value of dielectric relaxation time, used in the expression, is valid only for spherical molecules. The magnetic relaxation times calculated from B. P. P. equation show the values ranging from 1/2 to 1/10 times of the experimentally observed values. The principal source of the shortcoming of B. P. P. formula lies in the evaluation of rotational contribution to the spin-lattice relaxation time. A modified expression for T1 has been derived which shows a good agreement between estimated and observed values for a number of rigid spheriodal hydrocarbons.

Zur Auswirkung inelastischer Stöße auf die Elektronen-Transportkoeffizienten in Gasen und Plasmen niedrigen Ionisationsgrades

Abstract: Ausgehend von der BOLTZMANNschen Stosgleichung werden bei Verwendung praktikabler Naherungsdrucke fur die Stosglieder die Transportkoeffizienten fur Diffusion, Felddrift und Thermodiffusion der Elektronen in Gasen bzw. Plasmen geringen Ionisationsgrades in einer Form dargestellt, die es erlaubt, in konkreten Einzelfallen den direkten Einflus der inelastischen Stose auf diese Grosen abzuschatzen.

A Note on the Spin-Lattice Relaxation of Nuclei in Liquids

Abstract: A simple but sufficiently accurate method of calculating the spin-lattice relaxation for sets of equivalent nuclei is presented.

Über die Auflösungsgrenze des Emissions-Elektronenmikroskops

Abstract: Unter Berucksichtigung der spharischen Aberration dritter Ordnung wird eine wellenmechanische Formel fur die Auflosungsgrenze des Emissions-Elektronenmikroskops hergeleitet, die fur Austrittsenergien der Elektronen kleiner als 2 eV und elektrische Feldstarken am Objekt groser als 2 · 106 V/m bewiesen wird. Fur das verwendete Modell (homogenes Feld vor dem Objekt, Punktquelle, einheitliche Austrittsenergie) wird der Einflus der spharischen Aberration dritter Ordnung und einer Aperturblende auf die Auflosungsgrenze diskutiert.

Informationstheoretische Beschreibung physikalischer Vorgänge. II Irreversibilität durch Mittelung und Projektion

Abstract: Es wird die allgemeine Aufgabenstellung der statistischen Mechanik diskutiert und gezeigt weshalb man zu irreversiblen Gleichungen fur makroskopische Observable gelangt Die Irreversibilitat des Zeitablaufs der gemittelten bzw projizierten Verteilungsfunktion wird mit Hilfe des Irreversibilitatskriteriums aus Teil I nachgewiesen Es wird gezeigt, das fur das Zustandekommen der Irreversibilitat sowohl die Konstruktion eines reprasentativen Ensembles zur Anfangszeit als auch der Informationsverlust durch Mittelung bzw Projektion verantwortlich sind The general task of statistical mechanics and the method to obtain irreversible equations for macroscopic observables are discussed The irreversibility of the motion of smoothed respectively projected distribution functions is proved with the criterion of irreversibility from part I It is shown, that the irreversibility comes as well from the construction of a representative ensemble to initial time as from the information loss by smoothing respectively projection

Das Verhalten geladener Teilchen in elektrischen Vierpolfeldern

Abstract: Befinden sich geladene Partikel in einem hyperbolischen Vierpol-Wechselfeld, dann konnen die Teilchen unter bestimmten Bedingungen stabile Bewegungen ausfuhren. Derartige Bewegungsvorgange sind schon mehrfach beschrieben worden [1…16]. Als Partikel werden Ionen oder makroskopische Teilchen (Metallstaub, Salzstaub) verwendet. Liegt an den Platten des Vierpolkondensators eine elektrische Spannung, dann bildet sich zwischen den Platten ein nichtlineares Feld aus. In [1…11] wird der Feldverlauf linearisiert. Fur die Bewegung erhalt man die MATHIEUsche Differentialgleichung. Die Experimente sind so gestaltet, das die Koeffizienten im stabilen Bereich liegen. Im Einklang mit der Theorie stellen sich stabile Bewegungen ein. Ist die Dampfung vernachlassigbar, dann hangt in diesen Bereich die Amplitude von den Parametern ab, mit denen die Teilchen in das Feld gebracht werden. Mus die Dampfung berucksichtigt werden, klingt die Amplitude ab, wobei sich gleichzeitig der stabile Bereich erweitert. Wird die Nichtlinearitat das Feldes berucksichtigt, dann treten nichtlineare Resonanzen auf [12]. Die eigenen Experimente werden mit Salzstaub bei normalem Luftdruck durchgefuhrt. Es mus die Dampfung berucksichtigt werden. Der Theorie der MATHIEUschen Differentialgleichung nach ist zu erwarten, das im stabilen Bereich die Schwingungen abklingen, die Amplitude also Null wird. Das gilt auch fur den durch die Dampfung verbreiterten Bereich. Uberschreitet man jedoch durch Veranderung der Koeffizienten die Stabilitatsgrenze und erweitert somit den bisherigen Untersuchungsbereich, dann wird der Theorie der MATHIEUschen Differentialgleichung nach die Schwingung instabil. Die Amplitude muste also trotz der Dampfung unbegrenzt wachsen. Dem widerspricht jedoch das Experiment [13…16]. Im stabilen Bereich wird die Amplitude erwartungsgemas Null. Nach Uberschreiten der alten Stabilitatsgrenze jedoch wird sie nicht instabil, sondern erreicht einen endlichen Wert. Es bildet sich ein neuer Schwingungstyp: Die Teilchen durchlaufen Bewegungskurven in Form von vierstrahligen Sternen. Die in [1…11] benutzte rheo-lineare Differentialgleichung reicht nicht mehr aus, um in diesem Bereich die Schwingungen zu erfassen. Wir haben ein rheo-nichtlineares Problem vor aus. Zieht man zur Losung die rheo-nichtlineare Differentialgleichung heran, dann ist das Problem losbar. Das sich ergebende rheo-nichtlineare Differentialgleichungssystem wird fur das vorliegende ebene Problem naherungsweise gelost und mit dem Experiment verglichen.

Entwicklung der Slatersumme in der Nähe der klassischen Grenze

Abstract: Die Struktur fruher erhaltener Entwicklungen der SLATER-Summe einer quantenstatistischen kanonischen Gesamtheit nach Potenzen von ħ2 bzw. des Kopplungsparameters q der Teilchenwechselwirkung wird weiter aufgeklart. Dabei wird eine zweckmasige Diagramm-Schreibweise eingefuhrt. Es ergibt sich, das alle in der Quantenkorrektur zum klassischen BOLTZMANNschen e-Faktor auftretenden nichtzerfallenden Diagramme in den Exponenten gesetzt werden konnen und so die ganze Storungsreihe liefern. Man erhalt eine Entwicklung im Exponenten der e-Funktion, die zur Berechnung eines effektiven Potentials Verwendung finden kann. Unter Vernachlassigung von Symmetrie-Effekten werden fur die Doppelentwicklung im Exponenten zwei Ausdrucke angegeben: 1. alle Glieder bis zur Ordnung ħ6, 2. alle Terme bis q2 unter Einschlus samtlicher ħ2-Potenzen. The slater sum of a quantum statistical canonical ensemble is investigated. Further details are given on the structure of previously obtained series expansions in powers of ħ2 and the coupling parameter q of particle interaction, respectively. For this purpose a suitable diagram technique is introduced. It is shown, that all irreducible diagrams in the quantum correction to the classical BOLTZMANN-factor may be put into the exponent, thus giving the whole perturbation series. There follows an expansion in the exponent of the e-function, which may be used to calculate an effective potential. Symmetry effects neglected, two expressions are given for the two-parameter-development in the exponent. One expression ist correct up to the order ħ6, the other contains all powers of ħ2 and is correct up to q2.

Untersuchungen an Lithiumbismutid

Abstract: Im folgenden wird uber die Praparation dunner, natriumfreier Lithiumbismutidschichten berichtet. Die wahrend der Formierung von Li–Bi aufgenommene Leitfahigkeitskurve zeigt in ihrem Verlauf ein Minimum, das der valenzmasig zusammengesetzten Verbindung Li3Bi zuzuordnen ist. Auf Grund der aus der spektralen Verteilung des auseren Photoeffekts sowie der Temperaturabhangigkeit der Leitfahigkeit von Li3Bi gewonnenen energetischen Daten werden einige Aussagen uber die Halbleitereigenschaften von Lithiumbismutid gemacht.

Quantenmechanische Beschreibung der Interferenz zwischen unabhängigen nichtmonochromatischen Lichtstrahlen

Abstract: The concept of nonmonochromatic modes of the radiation field introduced recently by TITULAER and GLAUBER, is employed to give a quantum mechanical description of the interference between nonmonochromatic light beams produced by different sources (e.g. lasers). The result is, in fact, that previous calculations by the author et al. in which each light beam was idealized as an excited state of one monochromatic mode, practically unchanged apply also to nonmonochromatic modes. The previous formulae describing the interference, on the other hand, are reproduced for the special case of (nonmonochromatic) modes corresponding to finitely extended beams of plane wave type, and, thus, are founded more exactly.