Portugaliae Mathematica 

About: Portugaliae Mathematica is an academic journal published by European Mathematical Society. The journal publishes majorly in the area(s): Mathematics & Orthogonal polynomials. It has an ISSN identifier of 0032-5155. Over the lifetime, 604 publications have been published receiving 6967 citations.

Additive Gruppen von Folgen Ganzer Zahlen

Abstract: Die Folgen ganzer Zahlen {an} (vom Typus ω) bilden auf Grund der Addition {an} + {bn} = {an + bn} eine abelsche Gruppe F. Diese Gruppe F und gewisse ihrer Untergruppen sollen im folgenden untersucht werden. Als erstes werden wir zeigen, dass jede abzahlbare Untergruppe von F eine freie abelsche Gruppe ist (Satz I; eine abelsche Gruppe heisst eine freie abelsche Gruppe, wenn sie eine solche Teilmenge B — Basis genannt — besitzt, dass jedes Gruppenelement J darstellbar ist in der Form \(\mathcal{J} = \sum\limits_{i = 1}^m {{n_i}{b_i}}\), ni ganz, bi ∈ B und wenn aus Σ nibi = 0, bi∈ B, bi ≠ b, fur i ≠ j folgt, dass ni = 0; da alle betrachteten Gruppen abelsch sind, werden wir statt «freie abelsche Gruppe» auch kurz «freie Gruppe» sagen.) Die Gruppe F selbst dagegen ist nicht frei. Wir werden namlich zeigen, dass F eine nicht freie Untergruppe der Machtigkeit ℵ1 besitzt (Satz II, der dasselbe auch fur gewisse Untergruppen von F aussagt); die F selbst betreffende Behauptung ist darin enthalten, da jede Untergruppe einer freien Gruppe frei ist (vgl. z. B. S. Lefschetz [1], S. 50).