Showing papers in "Zamm-zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik in 1967"

The Round‐off Stability of Iterations

Abstract: The author proves that in the Weissinger-Collatz-Schroeder Theorem on convergence of iterations the convergence remains if round-off errors are allowed, which must however tend to 0 with growing index. Der Verfasser beweist, das im Satz von Weissinger-Collatz-Schroder uber die Konvergenz von Iterationen die Konvergenz bestehen bleibt, wenn Abrundungsfehler erlaubt werden, deren Grose allerdings mit wachsendem Index in geeigneter Weise gegen 0 konvergieren mus.

Analysis der Motorfelder im Cosserat-Kontinuum

Abstract: Die von R. v. Mises vor mehr als 40 Jahren geschaffene und in dieser Zeitschrift veroffentlichte Motorrechnung wird um eine Motoranalysis erweitert. Anlas zu diesen Untersuchungen bieten die Vektor- und Tensorfelder des Cosserat-Kontinuums, dessen kleinste Elemente starre Korper sind. Samtliche Verschiebungs-, Deformations- und Spannungsgrosen erscheinen hier als Differentialformen, die jeweils die 6 Koordinaten eines Motors bilden. Die Analysis solcher Motorfelder ist die Geometrie einer affinen Konnexion, die auf der Parallelubertragung des Momentenvektors beruht. Als wirkungsvolles Hilfsmittel bei der Ausgestaltung der Analysis der Motorfelder erwies sich der Kalkul der alternierenden Differentialformen, der in dieser Arbeit nicht als bekannt vorausgesetzt wird. Die Begriffe des absoluten Differentials und Kodifferentials der Konnexion fuhren in einfachster Weise zu einer vollstandigen Darstellung der motoriellen Differentialformen, insbesondere zu einer vollstandigen Darstellung der Spannungen durch Spannungsfunktionen. The motor calculus developed by R. v. Mises and published in this journal more than forty years ago is extended by a motor analysis. These investigations were stimulated by the study of the vector and tensor fields of the Cosserat continuum, the smallest elements of it being rigid bodies. All displacement, strain and stress quantities appear to be differential forms constituting in each case the six coordinates of a motor. The analysis of such motor fields is the geometry of an affine connexion based on the parallel displacement of the moment vector. An effective tool for the development of the motor field analysis turned out to be the exterior calculus of alternating differential forms the knowledge of which is not presupposed in this paper. The conceptions of the absolute differential and codifferential of the connection will lead to a complete representation of the motor differential forms in a simple manner, especially to a complete representation of stresses and couple stresses by stress functions.

Upper and Lower Bounds for the Frequencies of Rectangular Clamped Plates

Abstract: Eine neuentwickelte Methode fur untere Schranken und das Rayleigh-Ritzverfahren fur obere Schranken werden von den Verfassern dazu angewandt, die Eigenfrequenzen der Schwingungen von dunnen gleichformigen, rechteckigen Platten mit freien Randern abzuschatzen. Die Anwendbarkeit des Verfahrens fur untere Schranken wird hervorgehoben, und es werden Berechnungen fur eine Symmetrieklasse von rechteckigen sowie fur eine Unterklasse von quadratischen Platten angegeben. Die dadurch entstehenden Schranken fuhren zu einer Verbesserung bisher veroffentlichter Resultate und weisen auf die Brauchbarkeit der Methode fur untere Schranken hin.

Magnetohydrodynamic unsteady free convection

Abstract: The unsteady free convection flow from an infinite vertical plate, under the action of a transverse magnetic field, is analysed in the case when the plate temperature undergoes a thermal transient. The solution is obtained by Laplace transform technique. The applied field is found to induce a wave-dominated flow pattern. The flow within the viscous and thermal boundary layers is also considered. At all stages of the motion the shearing stress at the plate is found to be larger than the corresponding value in the non-magnetic case, although the viscous part is smaller. Es wird eine instationare freie Konvektionsstromung entlang einer vertikalen unendlichen Platte untersucht, und zwar fur den Fall, das ein transversales Magnetfeld wirkt und die Plattentemperatur plotzlich geandert wird. Die Losung wird mit Hilfe der Laplace-Transformation gefunden. Man erhalt das Ergebnis, das das Magnetfeld eine wellenartige Stromung induziert. Die Stromung innerhalb der thermischen und der Zahigkeits-Grenzschichten wird gleichfalls untersucht. Zu allen Zeitpunkten ist die Schubspannung an der Platte groser als im unmagnetischen Fall, obwohl der Zahigkeitsanteil kleiner wird.

Die Spannungsfunktionen des Cosserat-Kontinuums

Abstract: Die Gleichgewichtsbedingungen des Cosseratschen Kontinuums werden durch einen vollstandigen Spannungsfunktionenansatz identisch erfullt. Die Spannungsfunktionen eines kinematisch vertraglichen Spannungszustandes in einem elastisch isotropen Kontinuum lassen sich aufbauen aus Potentialfunktionen und Losungen von Helmholtz-Gleichungen. The equilibrium conditions of the Cosserat continuum are identically fulfilled by a complete stress function representation of stresses. For a kinematical compatible stress state in an elastic isotropic continuum, the stress functions can be expressed in terms of potential functions and solutions of Helmholtz equations.

Upper and Lower Bounds for the Frequencies of Rectangular Cantilever Plates

Abstract: : The authors use a recently developed procedre fr lower bounds and the Rayleigh-Ritz procedure for upper bounds to estimate frequencies of free vibration of thin rectangular cantilever plates. The applicability of the lower bound procedure is demonstrated, and calculations are given for a symmetry class of normal modes. The lower bounds seem to be the first rigorously obtained for this problem. The upper bounds are improvements over previously published rigorous results. (Author)

Über Operatorgleichungen mit nicht linear auftretendem Parameter

Abstract: Es werden Eigenwertaufgaben vollstetiger Operatoren behandelt, in denen der Parameter in der ersten und zweiten Potenz auftritt. Unter gewissen Voraussetzungen sind diese Aufgaben aquivalent zu selbstadjungierten Aufgaben mit linear auftretendem Parameter, so das sich die fur solche Aufgaben bekannten Einschliesungssatze und Iterationsmethoden ubertragen lassen. Eigenwertaufgaben von Differentialgleichungen mit linearer und quadratischer Abhangigkeit vom Parameter lassen sich in vielen Fallen auf Aufgaben vollstetiger Operatoren des genannten. Typs zuruckfuhren. In einem zweiten Abschnitt werden Eigenwertaufgaben betrachtet, die von einem Parameter in monotoner Weise abhangen. Es werden Schranken fur den Wert des Parameters berechnet, fur den der kleinste bzw. groste Eigenwert gleich eins ist. Eigenvalue problems of completely continuous operators involving the first and second power of the parameter are considered. Under proper assumptions such problems are equivalent to self-adjoint problems with linear parameter, so that known inclusion theorems and iterations methods may be applied. Quadratic eigen-value problems of differential equations can be treated in similar way. In a second paragraph eigenvalue problems depending on an additional parameter in a monotonic way are discussed. Bounds are calculated for that value of the parameter, for which the largest eigenvalue is unity.

Linearized Theory of Nonstationary Cascades at Fully Stalled or Supercavitated Conditions

Abstract: Nonsteady lift and moment expressions are formulated for an infinite two-dimensional cascade of foils experiencing periodic deformations about an equilibrium state which may be interpreted as either fully stalled airfoils or supercavitated hydrofoils. Fundamental assumptions are: 1) flow is incompressible and inviscid, 2) displacements are small, 3) foils are flat plates of negligible thickness, 4) the separated (or cavitated) wakes are taken to be straight slits extending from each profile leading edge and trailing edge to downstream infinity, 5) the boundary conditions are satisfied on the two sides of each slit which is assumed to be stationary for this purpose, 6) the mean incidence is considered to be large enough so that the separation points at leading and trailing edges remain fixed during the cycle of oscillation, and 7) there is a constant phase angle between the motion of adjacent foils. The flow problem is solved by conformal mapping using the acceleration potential. Nichtstationare Auftriebs- und Momentausdrucke werden aufgestellt fur ein unendliches, zweidimensionales Gitter von unter dem Einflus periodischer Verbiegungen um eine Gleichgewichtslage stehenden Schaufeln, die entweder als vollig abgeloste Axialverdichterschaufeln oder als hochkavitierte Pumpenschaufeln aufgefast werden konnen. Grundlegende Annahmen sind: 1) die Flussigkeit ist inkompressibel und ideal, 2) die Verschiebungen sind gering, 3) die Schaufeln sind ebene Platten von vernachlassigbarer Dicke, 4) der abgeloste (oder kavitierte) Kielwasserbereich wird als gerader Spalt angesehen, der sich von Vorder- und Hinterkante jeder Schaufel stromabwarts ins Unendliche erstreckt, 5) die Randbedingungen sind an beiden Seiten jedes Spalts, der fur diesen Zweck als stationar angesehen wird, erfullt, 6) der mittlere Anstellwinkel wird als hinreichend gros angesehen, so das die Ablosungspunkte an Vorder- und Hinterkante wahrend einer Schwingungs-periode unverandert bleiben, und 7) es besteht ein konstanter Phasenwinkel zwischen den Bewegungen benachbarter Schaufeln. Das Stromungsproblem wird nach konformer Abbildung mit Hilfe des Beschleunigungspotentials gelost.

Stability Analysis of a Nonlinear Viscoelastic Column

Abstract: A Volterra-Frechet functional expansion is used to represent the stress-strain relation of a general nonlinear viscoelastic material. Application is made to the investigation of the stability of a centrally loaded nonlinear viscoelastic column. By investigating the singularities of the integral equation governing the deflection of the column subjected to a small perturbation, general conditions for instantaneous stability are derived. Asymptotic stability of the column is also investigated, and by the use of a general Tauberian theorem, conditions which ensure long time stability of the column are obtained. Zur Darstellung der Spannungs-Dehnungs-Beziehung in einem allgemeinen, nichtlinearen, visko-elastischen Stoff wird eine Funktionalentwicklung nach Volterra-Frechet benutzt. Als Anwendungsbeispiel wird die Stabilitat eines Stabes aus derartigem Material untersucht, der axial belastet wird. Allgemeine Bedingungen fur kurzzeitige Stabilitat werden gewonnen, indem man die Singularitaten der Integralgleichung betrachtet, welche die Auslenkung des Stabes unter der Wirkung einer kleinen Storung beschreibt. Der Stab wird auch auf asymptotische Stabilitat untersucht; durch Anwendung eines allgemeinen Tauberschen Satzes erhalt man Bedingungen, welche Stabilitat fur beliebig lange Zeitraume sichern.

Optimale Anfangsverteilungen bei der Monte-Carlo-Methode mit Informationsspeicherung

Abstract: Die Monte-Carlo-Methode mit Informationsspeicherung zur Losung elliptischer Randwertprobleme macht von der Markoffeigenschaft der Irrwanderung eines Teilchens in einem Gittergebiet Gebrauch. Danach kann jeder Punkt, der bei der Irrfahrt mindestens einmal beruhrt wird, als Ausgangspunkt eines neuen Irrweges angesehen werden, und man erhalt so bei der Simulation einer einzigen Irrfahrt Naherungswerte fur die Losung in mehreren Gitterpunkten zugleich. Bei dieser Betrachtungsweise erhebt sich die Frage, wo das Teilchen seine Irrfahrt nun wirklich beginnen soll, d. h. die Frage nach der Wahl der Anfangsverteilung. Bei Zugrundelegung verschiedener Gutekriterien wird dieses Problem eingehend diskutiert, was zu nutzlichen Folgerungen fur die praktische Rechnung fuhrt. Einige numerische Beispiele veranschaulichen die erhaltenen Ergebnisse. The Monte-Carlo-Method with bookkeeping for the solution of elliptic boundary value problems is based on the Markov property of the well known random walk procedure. By this property each point in a lattice region, which is at least once visited by the moving particle, may be regarded as the start point of a new random walk. Thus by the simulation of a single random walk one gets an estimation for the solution in several points of the lattice region. Using this method the question arises, where to start the random walk, i. e. the question concerning the initial distribution. Taking as a basis several optimality criteria this problem is thoroughly discussed and useful consequences for the numerical treatment are derived. Some numerical examples illustrate the theoretical results.