Showing papers in "Zamm-zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik in 1972"

Convective Instability in a Rotating Viscoelastic Fluid Layer

Abstract: Es wird die Uberstabilitat in einer viskoelastischen Flussigkeitsschicht, die von unten erhitzt wird, bei Vorhandensein von Coriolis-Kraften untersucht. Fur eine Maxwellsche Flussigkeit werden die Eigenlosungen a) bei zwei freien, b) bei zwei starren Randern gewonnen. Wie sich herausstellt, hat Rotation auf den Uberstabilitatsmodus der Konvektion in einer viskoelastischen Flussigkeitsschicht einen destabilisierenden Einflus. Dieses Ergebnis ist dem stabilisierenden Einflus einer Rotation im Falle einer gewohnlichen viskosen Flussigkeit gegenuberzustellen. Overstability in a viscoelastic fluid layer heated from below is considered in the presence of Coriolis forces. For a Maxwellian fluid eigensolutions have been obtained for two cases: (a) two free boundaries, (b) two rigid boundaries. It is found that rotation has a destabilizing influence on the overstable mode of convection in a viscoelastic fluid layer. This result should be contrasted with the stabilizing influence of rotation in the case of an ordinary viscous fluid.

Monotonieeigenschaften stochastischer Modelle

Abstract: Es werden zu einigen Halbordnungsrelationen fur Verteilungsfunktionen und zu entsprechenden Relationen fur Zufallsgrosen Monotoniesatze fur Funktionale und Transformationen von Zufallsgrosen angegeben. Mit ihrer Hilfe werden fur Funktionale und Transformationen, die in der Bedienungs- und Zuverlassigkeitstheorie auftreten, Monotonieaussagen bewiesen. Damit konnen Abschatzungen ermittelt und Optimierungsprobleme gelost werden. For some semi-orderings of distribution functions and some analogous relations for random variables monotonicity theorems for functionals and transformations of random variables are given. By their help monotonicity statements are deduced for functionals and transformations, appearing in queuing and reliability theories. It is possible to find out estimations and to solve optimality problems.

Inversionsfreie Verfahren zur Lösung nichtlinearer Operatorgleichungen

Abstract: Es werden zwei Iterationsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen nichtlinearer Operatoren in Banach-Raumen behandelt, die ohne die Invertierung linearer Operatoren auskommen. Bei dem ersten dieser Verfahren — zuerst von H. P. Helfrich und S. Ulm angegeben — wird die erste Ableitung benutzt, wahrend das zweite, ebenfalls von H. P. Helfrich vorgeschlagene Verfahren mit Steigungen erster Ordnung arbeitet, an die schwachere Forderungen als bisher gestellt werden. Es werden einfache Bedingungen fur die Existenz einer Losung und die Konvergenz des Iterationsprozesses sowie verbesserte Fehlerabschatzungen angegeben. Two iterative methods for finding zeros of nonlinear operators in Banach spaces are considered not requiring linear operators to be inverted. The first method, originally given by H. P. Helfrich and S. Ulm, involves first-order derivatives, the second one — due to H. P. Helfrich, too — first-order divided differences satisfying conditions weaker than before. Simple conditions for the existence of a solution and the convergence of the iterative process as well as improved error estimations are given.

Self‐Similar Cylindrical Ionizing Shock and Detonation Waves

Abstract: Self similar flow patterns are studied which arise when a cylindrical symmetric strong shock or detonation wave propagates outwards into a gas at rest in which the ambient density varies as the inverse square of the distance from the axis of symmetry along which flows a line current of either zero or finite constant strength. The electrical conductivity of the gas is supposed zero ahead and infinite behind, so that the wave is an ionizing wave. It is shown that self similar solutions exist for both shock and detonation waves for which detailed flow patterns are present. Es werden Muster fur Ahnlichkeitsstromungen studiert, die sich ergeben, wenn sich eine starke, zylindersymmetrische Stos- oder Detonationswelle in ein in Ruhe befindliches Gas fortpflanzt, in welchem die Dichte umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes von der Symmetrieachse andert, langs welcher ein Leitungsstrom verschwindender oder konstanter endlicher Starke fliest. Die elektrische Leitfahigkeit wird nach vorwarts zu Null, nach ruckwarts als unendlich angenommen, so das es sich um eine ionisierende Welle handelt. Es wird gezeigt, das sowohl fur Stos- als auch fur Detonationswellen, fur welche detaillierte Stromungsmuster vorhanden sind, Ahnlichkeitslosungen existieren.

Zur stetigen Abhängigkeit des Extremalwertes eines konvexen Optimierungsproblems von einer stetigen Änderung des Problems

Abstract: In dieser Arbeit wird das Problem behandelt, ein konvexes Funktional unter konkaven Nebenbedingungen auf einer konvexen Teilmenge eines linearen Raumes zum Minimum zu machen. Es wird gezeigt, das sich der gesuchte Extremalwert des Funktionals unter geeigneten Voraussetzungen stetig andert, wenn die im Problem vorgegebenen Grosen stetig abgeandert werden. Die Ergebnisse werden angewandt auf Approximationsprobleme in normierten Raumen und Optimierungsaufgaben mit unendlich vielen Nebenbedingungen, bei denen die stetige Anderung des Problems durch Diskretisierung (Ubergang zu Halbnormen oder endlich vielen Nebenbedingungen) durchgefuhrt wird. This paper is concerned with the minimization of a convex functional on a convex subset of a linear space subject to concave constraints. It is shown that, under suitable conditions the extreme value of the functional changes continuously if the data of the given problem are changed continuously. The results will be applied to approximation problems in normed linear spaces and to optimization problems, with infinitely many constraints where the continuous change of the problem is performed by discretization (use of seminorms or restriction to finitely many constraints).

Eine Schalentheorie endlicher Verformungen und ihre Anwendung zur Herleitung der Stabilitätstheorie

Abstract: In der vorliegenden Arbeit werden zuerst fur endliche Verzerrungs- bzw. Verschiebungsgrosen die Grundgleichungen elastischer Schalentragwerke hergeleitet. Das Materialgesetz wird in zwei verschiedenen Formen vorausgesetzt, die dann zu entsprechenden Gleichgewichtsbedingungen und konstitutiven Gleichungen fuhren. Die aufgestellte Theorie stutzt sich auf die Annahme der Normalenhypothese. Ausgehend von den allgemeinen Gleichungen der nichtlinearen Theorie werden dann die linearen Stabilitatsbeziehungen abgeleitet. Mit Hilfe dieser Grundgleichungen kann das Differentialgleichungssystem zur Stabilitatsuntersuchung von Schalentragwerken mit beliebiger Geometrie und Belastung in abstrakter Weise aufgestellt werden. In the present work the general equations of thin elastic shells will be derived for the case of large deformations. For the stress-strain relationship of the material two different laws will be assumed and for these two cases the corresponding equilibrium conditions and constitutive equations of the shell will be derived. The applied theory makes use of the Bernoullian assumption. Using the basic equations of the geometrical nonlinear theory the linear stability relations of elastic shells are also obtained.

Hinreichende Bedingung für Ausschluß von Eigenwerten in Parameterintervallen bei einer Klasse von linearen homogenen Funktionalgleichungen

Abstract: Es werden lineare homogene Systeme von gewohnlichen oder elliptischen Funktional- bzw. Differentialgleichungen oder von gewohnlichen Gleichungen mit einem freien Parameter Λ betrachtet. Koeffizienten mussen Vorzeichenbedingungen erfullen. In Satz 1 wird gezeigt, das Λ kein Eigenwert ist, wenn eine solche Vektorfunktion v mit nur positiven Komponenten existiert, das die Operatoren des Systems in den jeweiligen Gultigkeitsgebieten uberall positive Werte annehmen, nachdem v eingesetzt worden ist. In Satz 2 wird gezeigt, das diese Operatoren unter den Bedingungen von Satz 1 Aufgaben von monotoner Art erklaren. Die Beweise erfolgen im Rahmen der Theorie der Differential- und Integralungleichungen. In den funf Beispielen werden Funktionen v fur die folgenden Falle angegeben: schwingende Platte, monoenergetischer Neutronenreaktor, eine chemisch reagierende Stromung, nichtlinearer Knickstab und Mathieusche Dgl. The following linear homogeneous systems with a free parameter Λ are treated: ordinary or elliptic functional or differential equations or ordinary equations. The values of coefficients are assumed to possess certain signs. It is shown in theorem 1 that Λ is not an eigen-value if there exists a vector-valued function v with positive components only which renders the operators positive in the respective regions of validity. Under the conditions of theorem 1, it is shown in theorem 2 that these operators define a problem of monotonic type. The proofs are given within the theory of differential and integral inequalities. In the five examples, functions v are given for: the vibrating plate, the monoenergetic neutron reactor, a chemically reacting flow, the non-linear buckling of a bar, and the Mathieu equation.

Ein numerisches Differentiationsverfahren mit ableitungsfreien Fehlerschranken

Abstract: In dieser Arbeit wird ein numerisches Differentiationsverfahren angegeben, das gewisse rationale Funktionen exakt differenziert. Zu diesem Verfahren existieren fur die im Innern des Einheitskreises holomorphen und auf dem Rande quadratisch integrierbaren Funktionen ableitungsfreie Fehlerschranken. Auserdem wird ein Fehlerfunktional minimiert. Fur spezielle Stutzstellenverteilungen wird die Konvergenz des Verfahrens nachgewiesen. Fur symmetrische Stutzstellenverteilungen erhalt man gewisse Symmetriebedingungen fur die Gewichte. Eine kurze Tabelle symmetrischer Formeln und ein Vergleich mit konventionellen Fehlerschranken beschliesen die Arbeit. In this paper a numerical differentiation procedure is given, which works exactly for certain rational functions. For this procedure there exist error-bounds without derivatives for functions holomorphic within the unit-circle and quadratically integrable on the boundary. Besides this, an error-functional is minimized. For special lots of the knots convergency of the procedure is proved. For symmetrically spaced knots there exist certain conditions of symmetry for the corresponding weights. A short table of symmetric formulas and a comparison with conventionally error-bounds finish the paper.

Linearized Solutions for Plane Jets

Abstract: In this note a general solution of the linearized problems of a plane laminar jet is presented. The basic model is that of an incompressible homogeneous thin jet into a medium at rest (Schlichting's model); but any different situation can be taken into account in a linearized form. In fact the analysis is performed in terms of a generic function F and the solution is presented by means of integrals of Legendre functions without specifying its expression. Three examples are considered: jets into a moving medium, jets of conducting fluids in the presence of a magnetic field and jets in a non-homogeneous medium. In der vorliegenden Arbeit wird eine allgemeine Losung der linearisierten Probleme eines ebenen laminaren Strahls dargeboten. Ausgegangen wird von dem Schlichtingschen Modell eines dunnen, inkompressiblen, homogenen Strahls, der in ein in Ruhe befindliches Medium stromt. Jedoch konnen auch noch davon verschiedene Situationen in einer linearisierten Form berucksichtigt werden. Dazu wird die Untersuchung in Termen durchgefuhrt, die eine allgemeine, nur von Problem zu Problem verschiedene Funktion F enthalten, und die Losung ohne Spezifizierung dieser Funktion mit Hilfe von Legendre-Funktionen dargestellt. Es werden drei Beispiele betrachtet: Strahlen, die in ein sich bewegendes Medium eintreten, Strahlen leitender Flussigkeiten in Anwesenheit eines Magnetfeldes und Strahlen, die in ein nichthomogenes Medium eintreten.

Existenz und numerische Erfaßbarkeit verallgemeinerter Lösungen halblinearer Anfangswertaufgaben

Abstract: Gelegentlich lassen sich bei linearen Anfangswertaufgaben mit partiellen Differentialgleichungen neben den echten Losungen auch die sogenannten verallgemeinerten Losungen mittels Differenzenverfahren erfassen. Eine Abschatzung des globalen Verfahrensfehlers gelang erstmals 1967 durch J. Peetre und V. Thomee. In der vorliegenden Arbeit werden zunachst Bedingungen angegeben, unter denen auch halblineare Anfangswertaufgaben verallgemeinerte Losungen besitzen. Es wird gezeigt, das auch hier die numerische Erfasbarkeit der verallgemeinerten Losungen durch Differenzenverfahren gewahrleistet werden kann, und eine auf approximationstheoretischen Hilfsmitteln beruhende Abschatzung des hierbei auftretenden globalen Verfahrensfehlers wird fur gewisse Klassen von Anfangswertaufgaben hergeleitet. Die Abschatzung ist hinsichtlich der Konvergenzordnung nicht verbesserbar. Finite-difference methods for linear initial-value problems of partial differential equations sometimes provide numerical solutions which are convergent not only in approximating genuine solutions of the given problem but also in approximating the so-called generalized solutions. An estimate of the rate of convergence in the case of generalized solutions is due to J. Peetre and V. Thomee. In the present paper conditions are given for the existence of generalized solutions of semilinear initial value problems, and it is shown that also these solutions are approximately obtainable by finite-difference methods. For a certain class of semi-linear problems, an error estimation for the finite-difference approximations of those generalized solutions is derived from some results of approximation theory. The rate of convergence following from this estimate can't be improved.

Über reguläre Zerlegungen bei nichtlinearen Abbildungen

Abstract: In [3] hat R. S. Varga den Begriff der regularen Zerlegung einer Matrix eingefuhrt und damit die Konvergenz einiger Iterationsverfahren zur Auflosung linearer Gleichungssysteme nachgewiesen. In dieser Arbeit sollen diese Ergebnisse in zweierlei Hinsicht verallgemeinert werden: Einerseits werden auch nichtlineare Abbildungen zugelassen, andererseits werden alle Aussagen in einem halbgeordneten Banachraum formuliert und bewiesen. Als konkrete Anwendung ergeben sich unmittelbar Aussagen uber die Konvergenz einiger Iterationsverfahren zur Auflosung nichtlinearer Gleichungssysteme im Rn. In [3] R. S. Varga has given the definition of regular splittings of a matrix. This concept allows to prove convergence for some iterative methods for solving a wide class of system of linear equations. In this paper we generalize this concept to nonlinear mappings in Banach-space. In this way we immediately can make conclusions about convergence of some iterative methods for solving nonlinear systems of equations.

Indentations of an Elastic Cosserat Layer by Moving Punches

Abstract: This paper is to solve a moving punch problem introducing not only the normal stress and shear stress but also the couple-stress at the contacting surfaces for an elastic Cosserat layer. There are three sets of mixed boundary values and Fourier transforms are utilized to reduce the problem to the solution of six simultaneous integral equations which are solved using the series method. Ziel der vorliegenden Arbeit ist, das Problem eines in eine elastische Cosserat-Schicht eindringenden, in ihrer Langsrichtung bewegten Stempels zu losen, indem nicht nur die Normal- und die Schubspannung, sondern auch die Momentenspannung berucksichtigt werden. Es treten drei Satze gemischter Randausdrucke auf. Mittels Fourier- Transformation wird das Problem auf sechs simultane Integralgleichungen zuruckgefuhrt; diese werden durch Reihenentwicklungen gelost.