Showing papers in "Zamm-zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik in 1983"

On the Error Behavior of the Reduced Basis Technique for Nonlinear Finite Element Approximations

Abstract: This paper provides a theoretical foundation for the reduced basis technique and gives mathematical reasons for its effectiveness. Some rather general results about the existence of solution curves for a large class of nonlinear problems are developed. These results are then used to derive estimates between an exact solution curve and its reduced basis approximation. Die vorliegende Arbeit bietet eine theoretische Begrundung fur das Verfahren der Reduzierten Basis und gibt mathematische Argumente fur deren Effektivitat au. Es werden einige recht allgemeine Ergebnisse uber die Existenz von Losungskurven fur eine umfangreiche Klasse nichtlinearer Probleme entwickelt. Diese Ergebnisse werden dann dazu verwendet, Fehlerabschatzungen zwischen einer exakten Losungskurve und deren Approximation nach dem Verfahren der Reduzierten Basis abzuleiten.

A Twelvth Order Theory of Transverse Bending of Transversely Isotropic Plates

Abstract: Motivated by the problem of the differences between stress and stress couple concentration factors for transverse bending of plates with small circular holes we use a variational method for the derivation of a twelfth order two-dimensional theory of transversely isotropic plates, which includes the known sixth order theory of sheardeformable plates as a special case via constitutive-coefficient specialization. It is further shown that the twelvth order system may be reduced in a non-obvious way to two simultaneous second order and two simultaneous fourth order Laplace operator equations, with this then making it possible to obtain closed form solutions for polar coordinate boundary value problems. Das Problem des Unterschiedes zwischen Spannungskonzentrations- und Biegemomentkonzentrationsfaktoren fur den Einflus eines kreisformigen Loches auf den Biegungszustand in einer isotropen Platte hat uns motiviert, eine zweidimensionale Plattentheorie von zwolfter Ordnung aufzustellen, in einer solchen Weise, das die bekannte Theorie sechster Ordnung fur schubverformbare Platten als ein Sonderfall, durch Spezialisierung der elastischen Koeffizienten, mit eingeschlossen ist. Es wird weiterhin gezeigt, das das System von zwolfter Ordnung transformiert werden kann in einer nicht selbstverstandlichen Weise, so das nur zwei simultane Gleichungen zweiter Ordnung und zwei simultane Gleichungen vierter Ordnung ubrig bleiben. Das bemerkenswerteste dieser Transformation ist, das ausschlieslich Laplace'sche Operatoren auftreten, so das es dann moglich ist, Randwertprobleme in Polarkoordinaten in geschlossener Form zu losen.

Small‐amplitude Finite‐rate Waves in Suspensions of Particles in Fluids

Abstract: The paper deals with the propagation of weakly nonlinear waves in homogeneous suspensions. Under the assumption that a one-dimensional treatment is adequate the properties of these waves are investigated in stable as well as unstable flow and near the stability limit. Special emphasis is placed on the discussion of waves of constant form. Der Artikel beschaftigt sich mit der Ausbreitung schwach nichtlinearer Wellen in homogener Suspension. Mit der Annahme, das eine eindimensionale Behandlung angemessen ist, werden die Eigenschaften dieser Wellen sowohl in stabiler als auch instabiler Stromung und nahe der Stabilitatsgrenze untersucht. Insbesondere werden Wellen konstanter Form behandelt.

Mhd Flow near an Asymmetric Plane Stagnation Point

Abstract: Les equations de conservation de la couche limite sont reduites par une transformation de similitude en equations differentielles ordinaires et resolues numeriquement. Determination du coefficient de vitesse sans dimension et du coefficient de frottement superficiel. Comparaison avec des donnees experimentales

A Study of Yield Surface upon Reversal of Loading under Biaxial Stress

Abstract: Fur jungfrauliche rohrformige Proben aus Ck-15-Stahl (Westdeutsche Norm) wurden die Flieskurven aufgenommen. Anschliesend wurden die Proben durch Zug um 10% verformt, die Flieskurven erneut ermittelt und in allen vier Quadranten der Normal-Schubspannungsebene dargestellt. Es wird eine wechselnde Belastung aufgebracht und der Fliespunkt mit Hilfe einer vorgegebenen plastischen Verformung definiert. Ihr Einflus auf die Form der Flieskurve wird untersucht. Fur kleine Werte der plastischen Verformung existiert eine Spitze in Richtung der Vorverformung und eine Einbuchtung auf der gegenuberliegenden Seite der Flieskurve, die zum Teil auf den Bauschingereffekt zuruckzufuhren ist. Fur grosere Werte der vorgegebenen plastischen Verformung verschwindet dieser Effekt. Yield surfaces obtained for a virgin tubular specimen of Ck 15 steel (West German standard) and after it was prestrained in tension by 10%, in four quadrants of normal — shear stress plane are presented in a study of the effects of reverse loading and the definition of yield point on their shape. For an offset strain which is small results indicate the existence of a corner in the direction of initial preloading, and a depression in the direction opposite to it, a Bauschinger type effect which tends to vanish, when a large offset definition for determination of yield point is used.

Monotonicity Methods for Nonlinear Singular Integral and Integro-Differential Equations†

Abstract: Applying methods of monotone operator theory existence theorems are proved for some classes of nonlinear singular integral and integro differential equations of Cauchy's type. In particular there are admitted more general nonlinearities in the considered integral equations than in the existing literature. Mit Hilfe der Theorie monotoner Operatoren werden Existenzsatze fur einige Klassen nichtlinearer singularer Integral-und Integro-Differential-Gleichungen vom Cauchyschen Typ hergeleitet. Insbesondere sind in den behandelten Integralgleichungen allgemeinere Nichtlinearitaten als in der Literatur zugelassen.

A Class of Runge‐Kutta‐Rosenbrock Methods for Solving Stiff Differential Equations

Abstract: A class of Runge-Kutta-Rosenbrock methods is discussed for the numerical solution of the initial value problem for stiff systems of ordinary differential equations. We pay special attention to the use of time-lagged Jacobian matrices. The aim is to obtain an appreciable reduction in the number of Jacobian matrix evaluations and related matrix factorizations. When dealing with large systems the costs of these computations normally form a large proportion of the total integration costs of the Rosenbrock method. Zur Anwendung auf die numerische Losung des Anfangswertproblems fur steife Systeme gewohnlicher Differentialgleichungen wird eine Klasse von Runge-Kutta-Rosenbrock-Verfahren untersucht. Dabei wird besonderes Augenmerk darauf gerichtet, das Jacobi-Matrizen mit Zeitverzogerung verwendet werden. Ziel der Arbeit ist es, eine merkliche Verringerung der Anzahl der Berechnungen von Jacobi-Matrizen und der damit verbundenen Matrix-Faktorisierungen zu erreichen. Bei der Behandlung groser Systeme bilden die Kosten fur diese Berechnungen normalerweise einen bedeutenden Teil der Gesamtkosten fur die Integration beim Rosenbrock-Verfahren.

On Finite Element Upwinding and its Numerical Performance in Simulating Coupled Convective Transport Processes

Abstract: Verschiedene Finite-Element-Upwind-Methoden werden beschrieben und hinsichtlich Stabilitat und Genauigkeit fur stationare Transport probleme diskutiert. Die numerischen Eigenschaften von optimalen Upwind-Formulierungen sowie Schemata hoherer Ordnung und weiteren Modifikationen werden unter Verwendung von bilinearen und biquadratischen Elementen fur gekoppelte, durch Auftriebskrafte hervorgerufene Rezirkulationsstromungen in porosen Medien untersucht. Im Gegensatz zur bilinearen Upwind-Form offenbaren Upwind-Schemata, beruhend auf biquadratischen Elementen, Storanfalligkeiten bei der nichtlinearen Aufgabenstellung und fuhren auf Genauigkeits- und Stabilitatsprobleme bei zunehmender Rayleigh-Zahl. Die erhaltenen numerischen Ergebnisse werden mit bisherigen Losungen verglichen. Several finite element upwind methods are described and discussed with regard to stability and accuracy for steady-state convection problems. Using bilinear and biquadratic elements the numerical properties for their (pseudo)-optimal, higher order and otherwise modified upwind formulations are studied for coupled buoyancy-driven recirculating motions in porous media. Unlike the bilinear upwind element type its biquadratic counterparts are shown to be sensitive in nonlinear situations and suffer from accuracy and stability difficulties as the Rayleigh number increases. The numerical results obtained are compared with previous findings.

Instationäre Zufallsschwingungen einer elastischen Gewichtsmauer bei beliebig geformtem Becken

Abstract: Es wird ein Berechnungsverfahren fur erdbebenerregte Schwingungen einer linear elastischen Gewichtsmauer (im ebenen Verzerrungszustand) unter Berucksichtigung der Schwingungsinteraktion mit dem zweidimensionalen, linear kompressiblen, reibungsfreien Flussigkeitskorper in einem beliebig geformten zylindrischen Staubecken vorgestellt. Die Behandlung des ebenen hydrodynamischen Problems erfolgt mittels einer Randintegralgleichungsmethode. Die ebenen Schwingungen zufolge instationarer Zufallserregung werden durch instationare Spektraldichten beschrieben.

Three‐Dimensional Thermoelastic Treatment in Spherical Region and its Application to Solid Sphere due to Rotating Heat Source

Abstract: This paper is concerned with three-dimensional thermoelastic treatment governed by spherical coordinate system. The first part in this paper is devoted to derive the convenient expressions for the displacements and stress components by introducing two functions obtained from the three-dimensional field equations of motion. It is shown that one of them is harmonic, and the other one is a solution of Poisson's equation. In the latter part, we have applied the above treatment to a practical three-dimensional thermoelastic problem. As an illustrative example, we have analyzed the thermal stress problem of a solid sphere due to rotating heat source, and carried out the numerical calculation. Dieser Artikel beschaftigt sich mit Problemen der dreidimensionalen Thermoelastizitat, dargestellt in einem raumlichen Polarkoordinatensystem. Im ersten Teil des Artikels werden die Ausdrucke fur die Verschiebungen und die Spannungskomponenten durch Einfuhrung zweier Funktionen hergeleitet, die aus den dreidimensionalen Feldgleichungen der Bewegung folgen. Es wird gezeigt, das eine davon harmonisch und die andere eine Losung der Poisson-Gleichung ist. Im zweiten Teil wird diese Behandlung auf ein praktische dreidimensionales thermoelastisches Problem angewendet. Als illustratives Beispiel wurden das Warmespannungsproblem eines kugelformigen Festkorpers aufgrund einer rotierenden Warmequelle untersucht und entsprechende numerische Berechnungen durchgefuhrt.

Zur elastisch-plastischen Deformation des rotierenden Kreisrings

Abstract: Untersucht wird der ebene Spannungszustand sowie die Deformation eines rotierenden Kreisrings aus elastisch-plastischem Material mit linearer Verfestigung unter Zugrundelegung der Tresca schen Fliesbedingung und der zugehorigen Fliesregel. The plane state of stress and the deformation of a rotating circular ring of elastic plastic material is studied. The material is assumed to obey Tresca's yield criterion and the associated flow rule and to exhibit linear strain hardening.

On the Numerical Evaluation of a Class of Finite‐Part Integrals

Abstract: Two more methods for the derivation of the interpolatory quadrature rules (including Gaussian quadrature rules as a special case) for the numerical evaluation of finite-part integrals with a double-pole singularity inside the integration interval are presented. The first of these methods is based on the definition of finite-part integrals and the second of them on the second generalized PLEMELJ formula. The present results can be generalized to the case of finite-part integrals with pole singularities of higher order.

Partial Integrability as the Basis for the Existence of Entropy in Irreversible Systems

Abstract: The concept of internal forces of the first and second kind is introduced and discussed. The physical basis for thermodynamic inaccessibility is established. The existence of entropy for irreversible systems is then proved on the basis of the concept of ‚partial integrability’ of Pfaffian forms. Evolution equations for the internal variables are thereby proposed and discussed. Es wird der Begriff der inneren Krafte erster und zweiter Art eingefuhrt und diskutiert. Die physikalische Grundlage fur die thermodynamische Unzuganglichkeit wird aufgestellt. Auf der Basis des Konzepts der „partiellen Integrabilitat” der Pfaffschen Form wird dann die Existenz der Entropie fur irreversible Systeme bewiesen. Dabei werden Evolutionsgleichungen fur die inneren Variablen vorgeschlagen und diskutiert.

The theory of scalar plastic deformation functions

Abstract: Starting with the assumption of initial isotropy and the kinematic hardening rule the anisotropic nature of plastic deformation in polycrystalline materials is expressed through functions of two deformation scalars which in themselves are polynomial functions of the seven independent invariants of the deviatoric stress and plastic strain tensors. These former functions are shown to represent closely the translation, contraction, rotation and distortion that has been observed in experimental yield loci under combined tension and torsion. A physical interpretation is presented for the case of a linear workhardening material displaying a Bauschinger effect and an absence of cross-hardening at the limit of proportionality. Ausgehend von der Annahme anfanglicher Isotropie und kinematischer Verfestigung wird die anisotrope Natur der plastischen Deformation in polykristallinen Materialien durch Funktionen zweier Deformationsgrosen ausgedruckt, die ihrerseits Polynome in den sieben unabhangigen Invarianten der Tensoren von Deviatorspannung und plastischer Verzerrung sind. Von den erstgenannten Funktionen wird gezeigt, das sie Translation, Kontraktion, Rotation und Distortion, wie sie in experimentellen Fliestests unter kombinierter Zug- und Torsionsbelastung beobachtet wurden, gut darstellen. Fur den Fall, wo ein lineares kaltverfestigendes Material einen Bauschinger-Effekt und keine Kreuzverfestigung an der Proportionalitatsgrenze zeigt, wird eine physikalische Interpretation gegeben.

Analysis of Chebyshev Relaxation in Multigrid Methods for Nonlinear Parabolic Differential Equations

Abstract: The main purpose of this paper is the analysis of the behaviour of (nonlinear) Chebyshev relaxation in multigrid methods for solving the implicit relations obtained when an implicit linear multistep method is applied to the space-discretized parabolic differential equation. The relaxation parameters are tuned to those frequencies in the iteration error which one wants to damp on the successive grids. The coarsest grid problem, being related to the semi-discrete parabolic equation on the coarsest grid, is solved by a stabilized Runge-Kutta method. Numerical experiments and comparison with Gauss-Seidel relaxation are reported. Hauptanliegen dieser Arbeit ist die Analyse des Verhaltens (nichtlinearer) Tschebysheffscher Relaxation bei Mehrfach-Netz-Methoden zur Losung der impliziten Beziehungen, die man erhalt, wenn man eine implizite linearer Mehrschrittmethode auf die raumlich diskretisierte parabolische Differentialgleichung anwendet. Die Relaxationsparameter werden auf diejenigen Haufigkeiten beim Iterationsfehler abgestimmt, die man in den aufeinanderfolgenden Netzen dampfen mochte. Das der semi-diskreten parabolischen Gleichung auf dem grobsten Netz zugeordnete Problem des grobsten Netzes wird mittels eines stabilisierten Runge-Kutta-Verfahrens gelost. Uber numerische Experimente und den Vergleich mit der Gaus-Seidel-Relaxation wird berichtet.

Bemerkungen zur Instabilität der Strömung nicht‐newtonscher Flüssigkeiten

Abstract: In nicht-newtonschen Flussigkeiten kann eine Instabilitat bei schleichender Stromung auftreten. Die Energiemethode zur Stabilitatsuntersuchung liefert hierfur ein Stabilitatskriterium, vorausgesetzt, man kennt das Stoffgesetz der Flussigkeit. Es wird gezeigt, wie man sich eine relevante Stoffgleichung, ausgehend von der Grundstromung, deren Stabilitat zu untersuchen ist, durch ein Storungsverfahren verschaffen kann. Am Beispiel ebener viskometrischer Grundstromung wird unter Beschrankung auf ebene Storungen ein einfaches, experimentell gut bestatigtes Ergebnis fur die Stabilitatsgrenze hergeleitet. Instability in creeping flow of non-Newtonian liquids is possible. The energy method for stability investigations leads to a stability criterion provided the constitutive law of the liquid is known. It is shown how one can derive a relevant constitutive equation by a perturbation procedure, using the flow whose stability is to be investigated as basis for the perturbation. Plane viscometric flow, with restriction to plane disturbances, is treated as an example. A simple result for the stability limit is obtained which agrees with experimental evidence.

The Frictionless Contact of Cracked Elastic Bodies

Abstract: In this paper a method was developed for solving the general mixed boundary-value problem in static elasticity by numerically integrating a system of singular integral equations describing the boundary conditions of the problem, as well as the single-valuedness of the displacements. The method was adapted to the solution of frictionless contact problems, in the case when one of the contacted bodies contains a crack. The solution of the problem yields not only the stress distribution along the contact zone but also the stress intensity factors at the tips of the crack, as well as the unknown contact length in cases of the praxis, where the contact zone is not assumed infinitesimal. The method was applied with success to the inclusion problem of an infinite cracked plate. Es wird eine Methode zur Losung des allgemeinen gemischten Randwertproblems in der statischen Elastizitatstheorie hergeleitet. Das singulare Integralgleichungssystem, das sowohl die Randbedingungen des Problems als auch die Eindeutigkeit der Verschiebungen beschreibt, wird numerisch integriert. Die Methode wurde zur Losung des Kontaktproblems ohne Reibung angewendet fur den Fall, das einer der sich beruhrenden Korper einen Ris aufweist. Die Losung des Problems liefert nicht nur die Spannungsverteilung entlang der Kontaktzone, sondern auch die Spannungsintensitatsfaktoren an den Risspitzen und die unbekannte Lange der Kontaktflache, die in praktischen Fallen nicht als infinitesimal klein angenommen wird. Die Methode wurde erfolgreich auf das Einschliesungsproblem fur eine Platte unendlicher Ausdehnung mit Rissen angewendet.

Die exakte Berechnung der Moore-Penrose-Inversen einer Matrix durch Residuenarithmetik

Abstract: Mit Hilfe der Residuenarithmetik konnen Matrixinverse und Losungen von linearen Gleichungssystemen exakt (rundungsfehlerfrei) berechnet werden. Nach einer kurzen Einfuhrung in die Residuenarithmetik und einem Uberblick uber bisher erzielte Ergebnisse wird in dieser Arbeit eine neue und effektivere Methode zur exakten Berechnung der Moore-Penrose-Inversen A+ einer ganzzahligen Matrix A beschrieben. Sie beruht auf neuen Formeln fur einen gemeinsamen ganzzahligen Nenner der (rationalen) Elemente von A+. Das Verfahren kann auch zur Losung allgemeiner linearer Gleichungssysteme verwendet werden. Matrix inverses and solutions of systems of linear equations can be computed exactly (without rounding errors) using residue arithmetic. After a short introduction to residue arithmetic and a survey of some achieved results this paper describes a new and more effective method to compute the Moore-Penrose inverse A+ of an integer matrix A. It rests on new formulas for a common integer denominator of the (rational) elements of A+. The procedure can also be used to solve general systems of linear equations.

Solution of Large Sparse Nonlinear Systems by Monotone Convergent Iterations and Applications

Abstract: In this paper we describe a family of Gauss-Seidel-iterations for the solution of large sparse nonlinear systems of equations Fx = 0. The mapping F is off-diagonally antitone and strictly diagonally isotone. For suitable starting vectors every method of this family is monotonically convergent with respect to both sides. The iteration processes will be applied among others to the numerical solution of boundary value problems of quasilinear potential equations. Wir beschreiben in dieser Arbeit eine Familie von Gaus-Seidel-Iterationen zur Losung groser, schwach besetzter nichtlinearer Gleichungssysteme Fx = 0. Die Abbildung F ist auserhalb der Diagonale antiton und in der Diagonale streng isoton. Fur geeignete Starvektoren ist jede Methode dieser Familie monoton konvergent bezuglich beider Seiten. Die Iterationsprozesse werden u. a. auf die numerische Losung von Randwertproblemen quasilinearer Potentialgleichungen angewendet.

A Boundary-Layer Theory for the Orthotropic Plate

Abstract: The purpose of this paper is to show that the equations of three dimensional anisotropic elasticity can be split into two independent systems. Whereas it has been known since the pioneering work by K. O. Friedrichs and R. F. Dressler [5] that this was the case for isotropic materials it is by no means obvious that this is true in general. We consider in what follows only the case where the traction is specified on the lateral surface and the upper and lower surfaces; furthermore, the plate is to be in a state of equilibrium. We shall proceed to solve asymptotically the differential equations of the problem. Mit diesem Artikel soll gezeigt werden, das die Gleichungen der raumlichen anisotropen Elastizitat in zwei unabhangige Systeme zerlegt werden konnen. Seit der bahnbrechenden Arbeit von K. O. Friedrichs und R. F. Dressler [5] ist es bekannt, das dies fur isotrope Materialien moglich ist; es ist jedoch keinesfalls klar, das es allgemein gilt. Es wird nun der Fall betrachtet, das die Spannungen auf der seitlichen sowie der unteren und oberen Flache angegeben sind und die Platte im Gleichgewichtszustand ist. Im weiteren sollen die Differentialgleichungen asymptotisch gelost werden.

Structure of Waves in a Time Dependent Hydromagnetic Plane Couette Flow

Abstract: On obtient des solutions exactes pour la distribution de vitesse. La structure des ondes est analysee pour des cas particuliers du champ de vitesse et du gradient de pression. On obtient l'expression generale pour la distribution de vitesse dans le cas d'un champ magnetique transversal constant

Diskretisierungsverfahren zur Lösung singulär gestörter Randwertprobleme

Abstract: In der vorliegenden Arbeit wird die Konvergenz und Stabilitat von Diskretisierungsverfahren fur singular gestorte Zweipunktrandwertaufgaben untersucht. Einige Resultate lassen sich auf den zweidimensionalen Fall ubertragen. Daruberhinaus wird die Konvergenz im globalen Gebiet (ohne Grenzschichten) untersucht. This paper is concerned with the convergence and stability of discretization methods for singularly perturbed two-poin boundary value problems. Some results can be transferred to the two-dimensional case. Moreover the convergence is investigated at the global domains (without boundary layers).