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Showing papers in "Zamm-zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik in 1986"


Journal ArticleDOI
TL;DR: Several new numerical integration formulas on the surface of a sphere in three dimensions are derived in this article, which are superior to the existing ones in that for the same degree of approximation they require fewer integration points for functions with central or planar symmetry.
Abstract: Several new numerical integration formulas on the surface of a sphere in three dimensions are derived. These formulas are superior to the existing ones in that for the same degree of approximation they require fewer integration points for functions with central or planar symmetry. Furthermore, a general method of deriving the integration formulas, which achieves conceptual simplicity at the expense of extensive numerical work left for a computer, is demonstrated. In this method, the coefficients of the integration formula are determined from a system of linear algebraic equations directly representing the conditions for a certain number of terms of the three-dimensional Taylor series expansion of the integrated function about the center of the sphere to vanish, while the unknown locations of the integration points are determined from a condition for the next term (or terms) of the expansion to vanish, and if it cannot be made to vanish, then from a condition for minimizing the magnitude of this term (or these terms). Finally, we formulate a new condition of optimality of the integration formulas which is important for the integration error in certain applications. Es werden verschiedene neue numerische Integrationsformeln auf der Oberflache einer dreidimensionalen Kugel abgeleitet. Diese Formeln sind gegenuber den bereits existierenden insofern besser, als sie fur den gleichen Approximationsgrad fur Funktionen mit zentraler oder ebener Symmetrie weniger Integrationspunkte erfordern. Ferner wird eine allgemeine Methode zur Ableitung der Integrationsformeln bewiesen, die auf Kosten eines einem Computer zu uberlassenden extensiven numerischen Aufwandes begriffliche Einfachheit erreicht. Bei dieser Methode werden die Koeffizienten der Integrationsformel aus einem System linearer algebraischer Gleichungen bestimmt, das direkt die Bedingungen dafur darstellt, das eine gewisse Anzahl von Termen der dreidimensionalen Taylor-Reihenentwicklung der integrierten Funktion um den Kugelmittelpunkt verschwindet. Dagegen werden die unbekannten Lagen der Integrationspunkte aus einer Bedingung dafur bestimmt, das der nachste Term (die nachsten Terme) der Entwicklung verschwindet, und wenn dieser nicht zum Verschwinden gebracht werden kann, aus einer Bedingung zur Minimierung der Grose dieses Terms (dieser Terme). Schlieslich wird eine neue Optimalitatsbedingung der Integrationsformeln formuliert, die fur den Integrationsfehler in gewissen Anwendungen von Bedeutung ist.

405 citations


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TL;DR: In this article, convergence studies of discretization methods for Volterra integral and integro-differential equations are presented, and the results are all given in a form designed to be of most use to numerical analysts.
Abstract: Generalizations of the classical Gronwall inequality when the kernel of the associated integral equation is weakly singular are presented. The continuous and discrete versions are both given; the former is included since it suggests the latter by analogy. This work is motivated by convergence studies of discretization methods for Volterra integral and integro-differential equations. The results are all given in a form designed to be of most use to numerical analysts. Es werden Verallgemeinerungen der klassischen Gronwallschen Ungleichung fur den Fall angegeben, das der Kern der zugeordneten Integralgleichung schwach singular ist. Es wird sowohl die stetige als auch die diskrete Version angegeben. Die stetige wurde mit einbezogen, weil sie eine analoge Behandlung der diskreten anregt. Die Arbeit wurde durch Konvergenzuntersuchungen von Diskretisierungsmethoden fur Volterrasche Integral- und Integro-Differentialgleichungen motiviert. Samtliche Ergebnisse werden in einer Form gegeben, die sehr brauchbar fur Spezialisten in Numerischer Analysis ist.

126 citations


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TL;DR: In this paper, the stochastic motions of oscillators driven by white noise are investigated by using several theoretical methods: analytical and numerical calculations of the stationary probability distribution, analysis of the Hopf bifurcation, computer simulations and study of Lyapunov exponents.
Abstract: The stochastic motions of Duffing-Van der Pol oscillators driven by white noise are investigated by using several theoretical methods: analytical and numerical calculations of the stationary probability distribution, analysis of the Hopf bifurcation, computer simulations and study of Lyapunov exponents. One observes a break of the radial symmetry and noise induced oscillations. Die stochastischen Bewegungen von Duffing-Van der Pol-Oszillatoren, die durch weises Rauschen angetrieben werden, werden mit Hilfe verschiedener theoretischer Methoden untersucht: Analytische und numerische Berechnungen der stationaren Wahrscheinlichkeitsverteilung, Untersuchung der Hopf-Bifurkation, Computer-Simulationen sowie das Studium der Lyapunov-Exponenten. Man beobachtet einen Bruch der radialen Symmetrie und rauschinduzierte Oszillationen.

62 citations


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TL;DR: In this article, a non-perturbative theory of crack dislocations is developed on the basis of an advanced boundary integral formulation of crack problems, which is applicable to the cracked body with any crack profile and the topics discussed include the formulation of cracks problems in elastostatics, elastodynamics, and thermoelasticity.
Abstract: In this paper the non-perturbative theory of crack dislocations is developed on the basis of an advanced boundary integral formulation of crack problems. The distribution of crack dislocations is determined by the boundary integro-differential equations derived from the regularized integral representation of the stress field. The method is applicable to the cracked body with any crack profile and the topics discussed include the formulation of cracks problems in: (i) elastostatics; (ii) elastodynamics; and (iii) thermoelasticity. In der vorliegenden Arbeit wird die Theorie der Risversetzungen auf der Basis einer qualifizierten Randintegralformulierung von Risproblemen entwickelt. Die Verteilung der Risversetzungen wird von der Randintegrodifferentialgleichung, die aus der regularisierten Integraldarstellung des Spannungsfeldes abgeleitet wird, bestimmt. Dir Methode ist auf jede Risform anwendbar, und es werden Risprobleme in der Elastostatik, Elastodynamik und Thermoelastizitat diskutiert.

45 citations



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TL;DR: In this paper, the advantages of using interval methods for the numerical solution of initial value problems for ordinary differential equations are discussed, and a survey article dealing with the advantages and disadvantages of interval method for numerical solutions of ODEs is presented.
Abstract: This is a survey article It deals with the advantages of using interval methods for the numerical solution of initial value problems for ordinary differential equations Dieser Ubersichtsartikel beschaftigt sich mit den Vorteilen, die sich bei der Anwendung intervallmathematischer Methoden zur numerischen Losung von Anfangswertproblemen fur gewohnliche Differentialgleichungen ergeben

24 citations


Journal ArticleDOI
TL;DR: In this article, a procedure for the numerical evaluation of the Fredholm eigenvalues of a plane Jordan curve is described, in some special cases the exact eigenvalue is given.
Abstract: Es wird ein Verfahren zur numerischen Berechnung der Fredholmschen Eigenwerte ebener Jordankurven beschrieben. Fur einige spezielle Kurven werden die exakten Eigenwerte angegeben. We describe a procedure for the numerical evaluation of the Fredholm eigenvalues of a plane Jordan curve. In some special cases we give the exact eigenvalues.

20 citations


Journal ArticleDOI
TL;DR: In this paper, a new explicit, direct Runge-Kutta-Nystrom formula-pair of order 10(11) with 17 function evaluations per step is presented.
Abstract: Es wird ein neues explizites, direktes Runge-Kutta-Nystrom-Formelpaar der Ordnung 10(11) mit insgesamt 17 f-Werten pro Schritt fur Anfangswertaufgaben bei gewohnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung der speziellen Form y′ = f(x, y) aufgestellt. Die Gute dieses Verfahrens wird anhand von zwei numerischen Beispielen demonstriert. For initial value problems in ordinary second-order differential equations of the special form y′ = f(x, y), a new explicit, direct Runge-Kutta-Nystrom formula-pair of order 10(11) with 17 function evaluations per step is presented. Two numerical examples demonstrate the efficiency of the new formula-pair.

20 citations


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TL;DR: In this article, a new approach is proposed for the solution of mixed boundary value problems in potential theory, where exact solutions in closed form are obtained for a half-space with a circular line of division of boundary conditions.
Abstract: A new approach is suggested for the solution of mixed boundary value problems in potential theory. Exact solutions in closed form are obtained for a half-space with a circular line of division of boundary conditions. Several examples are considered to demonstrate the effectiveness of the proposed technique. Zur Losung gemischter Randwertprobleme in der Potentialtheorie wird ein neuer mathematischer Ansatz vorgeschlagen. Fur einen Halbraum mit einer Kreislinie zur Trennung der Randwertbedingungen erhalt man exakte Losungen in geschlossener Form. Es werden verschiedene Beispiele betrachtet, die die Effektivitat der vorgeschlagenen Technik demonstrieren.

17 citations


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Y. Başar1
TL;DR: In this paper, the authors derived tensor equations and boundary conditions for shells with finite deformations by using variational methods and then transformed them into an operator representation in order to show that the structure of consistent theories can be described by a single operator defined by means of the calculus of variation.
Abstract: Fur Schalentragwerke endlicher Verformungen werden konsistente Feldgleichungen und Randbedingungen auf variationstheoretischer Grundlage entwickelt. Nach Uberfuhrung der tensoriellen Beziehungen in Operatordarstellung wird sodann gezeigt, das die Struktur konsistenter Formulierungen durch einen einzigen, variationstheoretisch definierten Operator bestimmt wird. Die abschliesende Aufspaltung der nichtlinearen Operatoren in verwandte Anteile untermauert die Konsistenz der hergeleiteten Theorie und macht zugleich die weiteren konsistenten Formulierungsvarianten nichtlinearer Theorien sichtbar. In this paper consistent basic equations and boundary conditions are derived for shells with finite deformations by using variational methods. The derived tensor equations are then transformed into an operator representation in order to show that the structure of consistent theories can be described by a single operator defined by means of the calculus of variation. The final splitting of the nonlinear operators into related parts shows further possibilities for the formulation of consistent nonlinear theories.

16 citations


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TL;DR: In this paper, the response due to an axisymmetric time-fluctuating temperature distribution applied at the free liquid surface of a viscoelastic cylindrical liquid column has been determined analytically.
Abstract: The response due to an axisymmetric time-fluctuating temperature distribution applied at the free liquid surface of a viscoelastic cylindrical liquid column has been determined analytically. The amplitudes of the radial and axial velocity distributions as well as the free surface elevation have been presented as functions of the “reduced” forcing frequency of the oscillatory temperature and have numerically been evaluated for an axial sinusoidal temperature field for various surface-tension parameters τ * v/v2, relaxation time parameters τ * v/v2 and axial wave number parameters ka. It was found, that visco-elasticity as described by the Maxwell model has quite some influence upon the liquid motion. It shows for smaller relaxation more viscous, for larger relaxation times more elastic behavior. Larger relaxation time parameter exhibits increased amplitudes and fluctuating response behavior of the liquid. In addition there is a deflection of the liquid surface for vanishing oscillatory temperature frequency Ω. This means, that in the steadystate the surface is already deflected.

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TL;DR: In this article, an operator method of regularization with unbounded accretive operator is proposed for the numerical computation of the normal derivative of solutions to linear partial differential equations of second order from the boundary values of the solutions.
Abstract: For the numerical computation of the normal derivative of solutions to linear partial differential equations of second order from the boundary values of the solutions an operator method of regularization with unbounded accretive operator is proposed. The method is applied to the numerical solution of Abel's integral equation. Zur numerischen Berechnung der Normalableitung von Losungen linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung aus den Randwerten der Losungen wird eine Operatormethode der Regularisierung mit unbeschranktem akkretivem Operator vorgeschlagen. Die Methode wird zur numerischen Losung der Abelschen Integralgleichung angewandt.

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TL;DR: In this article, the authors investigated the discrepancy between the onset of chaotic motions found numerically and the results of analytical approximation by an analytical-numerical method of trigonometric iteration.
Abstract: For the example of Duffing's oscillator, the discrepancy between the onset of chaotic motions found numerically and the results of analytical approximation is investigated by an analytical-numerical method of trigonometric iteration. A fanning of the approximate response curves is found which corresponds to the non-convergence of the approximations and the onset of chaotic motions. Fur das Beispiel des Duffingschwingers wird die Diskrepanz zwischen dem numerisch gefundenen Einsetzen chaotischer Bewegungen und den Ergebnissen der analytischen Naherung mit Hilfe einer analytisch-numerischen Methode der trigonometrischen Iteration untersucht. Ein Auffachern der approximativen Resonanzkurven wird gefunden, welches der Nichtkonvergenz der Naherungen und dem Einsetzen chaotischer Bewegungen entspricht.

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H. Stumpf1
TL;DR: In this paper, the Lagrangian equations of the unrestricted rotation shell theory were derived by applying the stationarity principle of total potential energy under the assumption of small strains, and the equilibrium equations, the static boundary conditions and also the geometric boundary conditions are non-rational partial differential equations.
Abstract: Under the assumption of small strains the Lagrangian equations of the unrestricted rotation shell theory can be derived by applying the stationarity principle of total potential energy. It is shown that for a non-rational change of the curvature tensor the equilibrium equations, the static boundary conditions and also the geometric boundary conditions are non-rational partial differential equations. A nonlinear operator description is introduced allowing to formulate in a compact form the unrestricted rotation shell theory as well as the energy-consistent simplified theories including the linear shell theory and various types of moderate and large rotation shell theories. The equations of an incremental deformation analysis, the stability and the postbuckling equations are derived and it is shown that they can be represented as functions of the Gâteaux differentials of the introduced shell operators. As an example of a highly nonlinear shell structure a torus under ring-load is calculated numerically by applying the shallow shell theory, a moderate and a large rotation shell theory. Unter der Annahme kleiner Verzerrungen konnen die Lagrangeschen Gleichungen der nichtlinearen Schalentheorie unbegrenzter Rotationen durch Anwendung des Stationaritatsprinzips der potentiellen Gesamtenergie hergeleitet werden. Es last sich zeigen, das fur einen nichtrationalen Krummungsanderungstensor die Gleichgewichtsbedingungen, die statischen Randbedingungen und auch die geometrischen Randbedingungen nichtlineare partielle Differentialgleichungen sind. Es wird eine Operatorschreibweise eingefuhrt, die eine kompakte Formulierung sowohl der Schalentheorie unbegrenzter Rotationen als auch der vereinfachten, energiekonsistenten Theorien ermoglicht, wozu die lineare Theorie und die Theorien moderater und groser Rotationen gehoren. Die Gleichungen fur eine inkrementelle Verformungsberechnung, die Stabilitatsgleichungen und die Nachbeulgleichungen werden hergeleitet, und es wird gezeigt, das diese als Funktionen der Gâteaux-Differentiale der eingefuhrten Schalenoperatoren dargestellt werden konnen. Durch vergleichende Anwendung der Theorie flacher Schalen sowie einer Theorie moderater und groser Rotationen wird als Beispiel einer stark nichtlinearen Schalenstruktur ein Torus unter Ringlast numerisch berechnet.


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TL;DR: In this paper, a large amplitude free vibration of an elastic beam of a variable cross-section is analyzed, and a simple method for static deflections of the beam is proposed, which is shown how approximate solutions can be obtained by using Galerkin's method, and the effect of the variation of crosssection is investigated.
Abstract: Large amplitude free vibration of an inextensible thin elastic beam of a variable cross-section is analysed. Although large deflections and rotations are considered the strains are small. It is shown how approximate solutions can be obtained by using Galerkin's method, and the effect of the variation of cross-section is investigated. For the beam of constant cross-section the results are compared with those of paper [3] and the exact solution of the special case of an ordinary differential equation obtained in the paper is considered. Additionally, a simple method for static deflections of the beam is proposed. Es werden freie Schwingungen groser Amplitude eines dunnen elastischen Balkens fester Lange mit variablem Querschnitt untersucht. Obwohl grose Auslenkungen und Drehungen betrachtet werden, sind die Dehnungen klein. Es wird gezeigt, wie man mittels des Galerkinverfahrens Naherungslosungen erhalt, und es wird der Effekt des variablen Querschnitts untersucht. Fur den Balken mit konstantem Querschnitt werden die Ergebnisse mit denen aus der Arbeit [3] verglichen, und es wird. die exakte Losung fur den Spezialfall einer in dieser Arbeit gewonnenen gewohnlichen Differentialgleichung betrachtet. Zusatzlich wird eine einfache Methode fur statische Auslenkungen vorgeschlagen.

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TL;DR: In this article, a new mixed finite element solution of the Dirichlet problem of fourth order elliptic linear partial differential operators with variable coefficients is presented. But the problem is not addressed in this paper.
Abstract: This paper deals with a new mixed finite element solution of the Dirichlet problem of fourth order elliptic linear partial differential operators with variable coefficients. As examples, bending problems of elastic plates having variable thickness have been considered, for which the algorithm of this method allows a simultaneous determination of the deflection, the curvature components and the „actual” bending and twisting moments of the plate, the „actual” bending and twisting moments being the components of the Lagrange multiplier of this method. Suitable error estimates are obtained under necessary regularity assumptions on the solution. Die vorliegende Arbeit behandelt eine neue gemischte Finite-Elemente-Losung des Dirichletschen Problems fur lineare elliptische partielle Differentialoperatoren vierter Ordnung mit variablen Koeffizienten. Als Beispiele werden Biegeprobleme elastischer Platten von variabler Dicke betrachtet, fur die der fur diese Probleme entwickelte Algorithmus eine gleichzeitige Bestimmung von Auslenkung, Krummungskomponenten und den „aktuellen” Biege- und Torsionsmomenten der Platte erlaubt. Die „aktuellen” Biege- und Torsionsmomente sind die Lagrange-Multiplikatoren in dieser Methode. Unter den dazu notwendigen Regularitatsvoraussetzungen an die Losung werden geeignete Fehlerabschatzungen gewonnen.

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TL;DR: In this paper, a method is developed in order to find tensorial constitutive equations based upon empirical stress-strain relations, which can be achived by using interpolation methods for tensor functions which are developed by the author in a former paper.
Abstract: Im Aufsatz wird ein Verfahren vorgeschlagen, das eine unmittelbare Ubertragung beliebiger einachsiger Stoffgesetze auf eine tensorwertige Funktion gestattet. Benutzt wird eine Interpolationsmethode fur Tensorfunktionen, die vom Verfasser bereits in einem fruheren Aufsatz vorgestellt wurde. Als Beispiele werden das Norton-Baileysche Kriechgesetz und die nichtlineare Dehnungs-Spannungsbeziehung von Ramberg und Osgood tensoriell verallgemeinert. In this paper a method is developed in order to find tensorial constitutive equations based upon empirical stress-strain relations. For engineering applications it is important to generalize uni-axial relations to multi-axial states of stress. This can be achived by using interpolation methods for tensor functions which are developed by the author in a former paper. Some examples are discussed. For instance, the Norton-Bailey creep law and the Ramberg-Osgood stress-strain relation are generalized to tensorial constitutive equations.

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TL;DR: In this article, the transient thermal stress problem for an infinite body containing a penny-shaped crack is considered, and the numerical results are obtained as a function of the Fourier number.
Abstract: Es wird das Problem der Ubergangswarmespannung fur einen unendlichen Korper mit einen pfennigformigen Ris behandelt. Das elastische Medium wird durch ein zeit- und ortsabhangiges Temperaturfeld auf der Risoberflache abgekuhlt. Mit einem Differenzenverfahren fur die Zeitvariable kann man die analytische Losung bezuglich der Ortsvariablen erhalten. Die Bestimmung der Temperatur wird auf die Losung einer dualen Integralgleichung fur Eulersche Variable reduziert. Das Warmespannungsproblem fuhrt auf eine singulare Integralgleichung bekannten Typs. Die numerischen Ergebnisse werden als Funktionen der Fourier-Zahl dargestellt. In this paper the transient thermal stress problem for an infinite body containing a penny-shaped crack is considered. The elastic medium is assumed to be cooled by time and position dependent temperature on the penny-shaped crack surface. Using the finite difference method for a time variable, we may obtain the analytical solution with respect to the position variable. The temperature solution reduces to a dual integral equation for spatial variables. The formulation for the thermal stress problem results in a singular integral equation which is of well-known type. The numerical results are obtained as a function of the Fourier number.

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TL;DR: In this article, a numerical comparison is made between collocation, product integration and global methods for problems with a non-smooth solution, and it turns out that, when only relatively low accuracy is required, a good choice would be a second or third order collocation method of Branca.
Abstract: A numerical comparison is made between a number of important representatives of the following classes of methods: (i) collocation, (ii) product integration and (iii) global methods. Special attention is paid to the performance of these methods for problems with a non-smooth solution. It turned out that, when only relatively low accuracy is required, a good choice would be a second or third order collocation method of Branca. — A new collocation method which accounts for possible non-smoothness of the solution near the origin, turned out to be advantageous when high accuracy is required, both for problems with a non-smooth solution, and for problems with a smooth solution. Zwischen einer Anzahl wichtiger Vertreter folgender Verfahrensklassen: (i) Kollokationsverfahren, (ii) Produktintegrationsverfahren, (iii) globale Verfahren, wird ein Vergleich angegeben. Besondere Aufmerksamkeit gilt dabei der Herausbildung dieser Verfahren fur Probleme mit nicht-glatter Losung. Es zeigt sich, das dann, wenn nur relativ geringe Genauigkeit gefordert wird, ein Kollokationsverfahren vom Branca-Typ von zweiter oder dritter Ordnung eine gute Wahl bedeutet. — Ein neues Kollokationsverfahren, das mogliche Nicht-Glattheit der Losung in der Nahe des Ursprungs in Rechnung stellt, erweist sich als vorteilhaft, falls hohe Genauigkeit gefordert wird, und zwar sowohl fur Probleme mit nicht-glatter, als auch fur solche mit glatter Losung.


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TL;DR: In this paper, a function of second and third invariants of the translated deviator stress tensor is proposed for the description of experimentally observed deviations from the von Mises ellipse in the initial yield surface, as well as from translation, rotation or change in size and shape of a subsequent yield surface.
Abstract: A function of second and third invariants of the translated deviator stress tensor is proposed for the description of experimentally observed deviations from the von Mises ellipse in the initial yield surface, as well as from translation, rotation or change in size and shape of a subsequent yield surface. Application of the proposed relation is demonstrated by comparing it with some experimental data taken from the literature. Aus Experimenten geht hervor, das sowohl ursprungliche als auch nachfolgende Flieskurven nicht ausreichend durch die von Misessche Fliesbedingung beschrieben werden. Zur Beschreibung solcher Kurven wird eine Funktion der Invarianten des verschobenen Spannungsdeviators benutzt. Am Beispiel von experimentell ermittelten Kurven der Literatur wird die Anwendbarkeit dieser Funktion dokumentiert.



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TL;DR: In this article, the authors present a summary of recent and current studies concerning path independent integrals of fracture mechanics on the basis of general thermodynamic balances and determine the range of their apparent theoretical validity.
Abstract: Seit den Arbeiten von Rice und Tscherepanow zum J-Integral haben sich die integralen Riskriterien zu einem bedeutenden Schwerpunkt der Bruchmechanik entwickelt. Der vorliegende Artikel ist der Versuch einer aktuellen Trendanalyse dieses Forschungsgebietes. Das Ziel der Studie besteht darin, die modernen, verallgemeinerten Bruchkriterien unter einem vereinheitlichenden Standpunkt zusammenzufassen und zu bewerten. Since Rice and Cherepanov proposed the J-integral as an attractive fracture criterion much attention has been given to it. The present paper is an attempt at a summary of recent and current studies concerning path independent integrals of fracture mechanics on the basis of general thermodynamic balances. The study is primarily intended to relate modern generalized fracture criteria to an unified point of view and to determine the range of their apparent theoretical validity.




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TL;DR: In this paper, the amplitude equation for a resonance case is derived with the help of a small parameter method, and it is shown that the amplitude of the secondary regime is proportional to the cubic root amplitude of external force.
Abstract: Resonance effects in viscous flows produced by unsteady external forces are studied. With the help of a small parameter method the amplitude equation for a resonance case is derived. It is shown that the amplitude of the secondary regime is proportional to the cubic root amplitude of external force. Possible transitions between supercritical motions are investigated. The map of secondary regimes in dependence on the amplitude equation coefficients is given. Es werden Resonanzkrafte in zahen Flussigkeiten studiert, die durch instationare ausere Krafte hervorgerufen werden. Mit Hilfe der Methode des kleinen Parameters wird die Amplitudengleichung fur den Resonanzfall abgeleitet, und es wird gezeigt, das die Amplitude fur das sekundare Regime zur Kubikwurzel der Amplitude der auseren Kraft proportional ist. Auserdem werden mogliche Ubergange zwischen superkritischen Bewegungen studiert, und es wird eine Abbildung der sekundaren Regime in Abhangigkeit von den Koeffizienten der Amplitudengleichung angegeben.