Forms of the equations of motion of a continuous medium

§. 1. In einem frühem Aufsätze (dieses Journal, Bd. 54, p. 254) habe ich ein Theorem entwickelt, welches die Integration der hydrodynamischen Gleichungen für die stationäre Bewegung zurückführt auf ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung; oder auf die Aufgabe, ein gewisses Integral zu einem Minimum zu machen, bei welchem die zu integrirende Function die lebendige Kraft darstellt. Dies wurde erreicht, indem die Geschwindigkeiten durch zwei neue Functionen ausgedrückt wurden, welche Constanten gleich gesetzt, Integrale der hinzutretenden gewöhnlichen Differentialgleichungen waren, und die Continuitätsgleichünr identisch erfüllten. Die Ausdehnung dieses Verfahrens auf den Fall der niestationären Bewegung führte zu sehr verwickelten Gleichungen, welche keine Zurückführung auf ein Problem der Variationsrechnung gestatteten. Indefs habe ich gefunden, dafs auch dieser allgemeine Fall immer auf ein solches Problem zurückgeführt werden kann, und zwar auf das Integral einer Function, welche sich von der lebendigen Kraft nur um ein hinzutretendes Glied unterscheidet. Die Substitution, welche zu diesem Resultate führt, ist eine wesentlich andere als die in dem erwähnten Aufsatz angewandte. Aber beide haben dies gemein, dafs sie die Bestimmung des Druckes von der übrigen Behandlung der Aufgabe sondern, und auf Gleichungen fuhren, welche, indem sie von den äufseren Kräften unabhängig sind, Bewegungen allgemeinster Natur darstellen, deren eine Flüssigkeit fähig ist; endlich, dafs die angewandten neuen abhängigen Variabein, Cojistanlen gleich gesetzt, Integrale des hinzutretenden Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen bilden. Während aber jene Substitution für die stationäre Bewegung auf zwei partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung führte, kommt m dem vor* liegenden Falle das Problem zurück auf drei Differentialgleichungen, von denen zwei von der ersten, eine von der zweiten Ordnung.

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Forms of the equations of motion of a continuous medium

References

Ueber die Integration der hydrodynamischen Gleichungen.

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