Measurement of birefringence using polarization phase-shifting Mach–Zehnder interferometer
Abstract: An interferometric method for quantitative evaluation of the magnitude and direction of birefringence of an arbitrarily oriented birefringent sample is developed and presented. The analysis shows that full-field analysis of a spatially varying birefringence is possible by suitably combining several interferogram frames obtained by varying the polarization parameters involved. The preliminary experimental result for a uniformly birefringent sample with a known direction of birefringence is presented. © 2015 Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers
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...Opto-Electronic Engineering, 2020, 47(2): 190254 1 引 言 激光棒是固体激光器的核心工作物质,其透射波 前质量可以衡量激光棒的折射率非均匀性、两端面平 行差以及剩余应力等指标,直接影响了激光器输出激 光的模式和能量。美国检测与材料协会于 20 世纪 80 年代正式确立激光棒波前检测的标准方法,规定采用 干涉测量的方法,将待测激光棒放置于干涉腔中,并 通过干涉图标准判读方法进行相位解算。陈进榜等[1] 采用 LTY80 型棱镜干涉仪对小口径激光棒进行了测 量,讨论了干涉图与激光棒端面平行差的关系并详细 介绍了手工作图法获得波前畸变的分析过程。何勇等 [2]将移相干涉技术引入激光棒测量领域,采用改进的 泰曼-格林型光路并结合四步移相算法实现了 Ф5 mm 口径的激光棒波前畸变检测。吴志飞等[3]在斐索干涉 仪中对比了单双通法测量激光棒的优劣,并采用棱镜 反射单通方案测量了口径为 Ф6 mm 激光棒的透射波 前,有效提高了检测精度。 马赫-曾德尔干涉仪中参考光与测试光分光路传 输,可以独立调节并进行光程补偿,其属于单通干涉 仪即测试光单次透过被测件,扩展了干涉仪的测量范 围,避免了一般干涉仪中测试光束两次通过被测件引 入的回程误差和四次边缘衍射,对大像差、小口径的 被测对象,优势尤为突出。 马赫-曾德尔干涉仪中常用的波面恢复技术是基 于单帧干涉图的处理方法。Bone等[4]首先提出了二维 快速傅里叶变换方法,并用该方法对单幅载频干涉图 进行处理以提取相位信息[5]。然而,对于小口径的测 试件而言,增加条纹数量则意味着更大的倾斜角度, 导致相干光之间的夹角增大,引入较大回程误差[6], 在测量长度较长的小口径激光棒时,相干光之间的剪 切量增大,导致较大的波前遮拦,加剧边缘衍射效应。 在移相干涉测量技术中,压电陶瓷晶体(PZT)是最 为常见的移相器件[7],在适当的电压作用下,压电陶 瓷产生微米量级的微位移,驱动反射镜实现移相[8]。 在马赫-曾德尔干涉仪中,利用压电陶瓷晶体在斜 45° 方向上推动反射镜,改变相干光束间的光程差,以实 现移相。但是,压电装置较为昂贵,需要放大器和控 制系统,增加了干涉仪结构复杂度,不适用于小口径 干涉仪。 另一种常用的移相方式是波长调谐移相[9]。以激 光器作为移相器,通过改变其输出波长实现移相,简 化了干涉仪的装置结构。电流调制波长移相方案中, 激光器注入电流的变化会引起输出光功率与激光器相 干长度的改变[10-12],导致移相干涉图的背景光强和对 比度不一致,在利用干涉图进行相位解算时会出现较 大误差。Brid等[13]采用光栅作为选频器件,通过机电 调谐的方法,实现了稳定的高精度波长调谐。但是, 光栅调制的频率不高,移相速度慢,激光器的整体价 格昂贵,难以用于现场检测的一体化结构干涉仪中。 偏振移相技术也是马赫-曾德尔干涉仪中常用的 时域移相方法。Santa等[14]在测量双折射材料的幅值和 方向时,通过旋转偏振片引入相移;Tania等[15]采用偏 振移相术得到全内反射液体样本的折射率和相位分 布。然而偏振移相术系统结构复杂,且很难控制偏振 器件的透振方向,容易导致移相误差,影响测量结果。 Carlos 等[16]基于等厚干涉光路提出了一种新型的 移相方式,以激光点源作为移相器,在垂直于光轴方 向上移动点光源,改变入射到等厚干涉腔中的光束倾 角,从而实现点源移位移相干涉。但是,该方案仅适 用于反射式、有一定腔长的等厚干涉光路[17],无法应 用于传统的等光程马赫-曾德尔干涉仪。 本文提出了一种变倾角移相马赫-曾德尔干涉仪 方案。以反射镜为移相器,调制入射到马赫-曾德尔干 涉模块中准直光束的倾角;以小口径激光棒作为待测 件,增加等光程马赫-曾德尔干涉仪中参考光与测试光 的光程差。当入射到干涉模块的光束倾角发生变化时, 两路光的光程差随之变化。该方法避免了一般泰曼型 或斐索型干涉仪在测量激光棒透射波前时产生的多次 干涉现象,改善了光束两次透过激光棒的边缘衍射效 应,突出了马赫-曾德尔干涉仪单次透过待测小口径激 光棒的结构优势。采集到系列移相干涉图后,根据随 机移相算法[18]解算相位。 190254-3 2 理论推导 2.1 变倾角移相原理 图 1(a)为变倾角移相原理光路图,平行光束入射 到马赫-曾德尔干涉腔中,形成一对相干光。其中一路 光经反射镜折转形成参考光,另一路光经反射镜折转 后入射到激光棒中,形成测试光;图 1(b)为光束经过 待测激光棒的等效光路图,当平行光束垂直入射到激 光棒中,即光束倾角 θ为 0时,参考光与测试光的传 播方向相同,此时这两路光之间存在光程差为 0 ( 1)L n= −Δ , (1) 式中:L 和 n 分别表示激光棒的厚度和折射率,可理 解为透射式的等倾干涉。 改变移相反射镜的倾角,使得经该反射镜折转后 入射到干涉腔中的平行光束与光轴的夹角为 θ,倾斜 光束经过图 1(b)后,此时参考光与测试光的光程差为 2 2[ (sin ) cos ]nAC CD AB L n θ θ= + − = − −Δ 。(2) 由式(2)可知,参考光与测试光的光程差Δ随入射 到干涉腔中平行光束的倾角 θ而变,每幅干涉图中相 应的相位量ϕθ与倾角 θ的关系可以表示为 2( 1) [ ( 1) / 2 ]θφ kL n kL n n θ≈ − + − , (3) 其中每幅干涉图中对应的移相量为 2[ ( 1) / 2 ]θδ kL n n θ≈ − , (4) 式中:k=2π/λ为波数,λ为入射光的波长。由式(4)可 知,改变入射到干涉腔中的光束倾角,可以在干涉图 中引入不同的移相量,实现了移相干涉测量。 综上,移相反射镜实现了光束变倾角,待测激光 棒增加了参考光与测试光的光程差,两者作为关键元 件,使得马赫-曾德尔干涉系统中相干光之间的光程差 发生变化,从而实现了变倾角移相干涉测量。 2.2 随机移相算法 采集到系列移相干涉图后,利用随机移相算法进 行待测激光棒的相位恢复,该算法主要是采用最小二 乘方法求解线性回归模型的迭代算法[18]。变倾角时间 移相干涉图的背景和调制度可认为是时间不变量,此 时测量得到的干涉条纹光强可表示为 ( , , ) ( , ) ( , )cos ( , ) ( , , )I x y t A x y B x y φ x y x y t= + +⎡ ⎤⎣ ⎦Δ , (5) 式中:A(x, y),B(x, y)分别是干涉图的背景光强和调制 度,φ(x, y)是待测相位,Δ(x, y, t)=δ(t)+α(t)x+β(t)y,α(t) 和 β(t)分别为 x和 y方向的倾斜系数,δ(t)为移相量。 最小二乘法求解线性回归模型的迭代算法主要包括以 下计算步骤:首先对干涉图背景、调制度和待测相位 进行初始估计,初始估计不要求有较高的精度;接着 对式(5)中的时间相关量即移相量和倾斜系数进行线 性一阶近似,得到干涉光强的迭代值与实际测量值之 间的误差,运用最小二乘法,得到迭代更新后的移相 量及倾斜系数;然后根据计算结果,进一步更新迭代 后的干涉图光强,并计算优值函数: 2 m k 1 1( ) [ ( , ) ( , )]/ ( ) 2 N i i i i χ t I r t I r t B r N = = −⎡ ⎤⎣ ⎦∑ 。 (6) 当优值函数满足 χ(t) ε时,终止迭代。其中 ε为 迭代精度,一般设定为一个小量;最后根据收敛后的 计算结果求解出精确的相位分布,进而计算出待测激 光棒的透射波前质量。具体的计算流程如图 2所示。 3 实验结果 图 3 为变倾角时间移相马赫-曾德尔干涉仪的系 统光路图。其中,光源采用中心波长为λ=632.8 nm的 He-Ne 激光器,激光束经光纤耦合后形成点光源,点 光源发出的扩散光经物镜准直后形成口径为 Ф25....
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...格昂贵,难以用于现场检测的一体化结构干涉仪中。 偏振移相技术也是马赫-曾德尔干涉仪中常用的 时域移相方法。Santa等[14]在测量双折射材料的幅值和 方向时,通过旋转偏振片引入相移;Tania等[15]采用偏...
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...However, determination of spatially varying retardance calls for special techniques [18,19,20]....
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...EQ-TARGET;temp:intralink-;e011;326;741 ðδx þ δyÞ 1⁄4 ðδ1 − δ2Þ þ ðζx − ζyÞ i:e:; δ 1⁄4 ðδx þ δyÞ − ðζx − ζyÞ; (11)...
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...54(11) Optical Engineering 54(11), 113112 (November 2015)...
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...54(11) Sircar and Bhattacharya: Measurement of birefringence using polarization phase-shifting Mach–Zehnder interferometer...
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...EQ-TARGET;temp:intralink-;e010;63;151δy 1⁄4 −ðδ2 þ ψ þ ζyÞ; (10)...
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...EQ-TARGET;temp:intralink-;e008;63;376 tan δx − tan δy 1⁄4 1⁄2tanðδ∕2Þ 1⁄22 cosð2φÞ i:e:; δ 1⁄4 2 tan−1 ðtan δx − tan δyÞ 2 cosð2φÞ : (8)...
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