HAL Id: jpa-00244254
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Méthode itérative de calcul des concentrations en
éléments donneurs et accepteurs d’un semiconducteur
faiblement dopé : application au cas de GaAs de type n
Didier Lemoine, C. Pelletier, S. Rolland, R. Granger
To cite this version:
Didier Lemoine, C. Pelletier, S. Rolland, R. Granger. Méthode itérative de calcul des concentrations en
éléments donneurs et accepteurs d’un semiconducteur faiblement dopé : application au cas de GaAs de
type n. Revue de Physique Appliquée, Société française de physique / EDP, 1977, 12 (5), pp.877-883.
�10.1051/rphysap:01977001205087700�. �jpa-00244254�
877
MÉTHODE
ITÉRATIVE
DE
CALCUL
DES
CONCENTRATIONS
EN
ÉLÉMENTS
DONNEURS
ET
ACCEPTEURS
D’UN
SEMICONDUCTEUR
FAIBLEMENT
DOPÉ :
APPLICATION
AU
CAS
DE
GaAs
DE
TYPE
n
D.
LEMOINE,
C.
PELLETIER,
S.
ROLLAND
et
R.
GRANGER
Institut
National
des
Sciences
Appliquées,
Département
de
Génie
Physique,
35031
Rennes
Cedex,
France
(Reçu
le
13
janvier
1977,
accepté
le
1 er
février
1977)
Résumé.
2014
Lors
de
la
recherche
des
concentrations
en
impuretés
dans
un
semiconducteur,
il
a
toujours
été
fait
abstraction
jusqu’à
présent
de
la
valeur
réelle
du
facteur
de
dispersion
rH
qui
a
été
prise
constante
et
égale
à
1.
Or,
cette
valeur
peut
dans
certains
cas
atteindre
et
même
dépasser
1,5.
Une
méthode
numérique
itérative
est
développée
ici
dans
le
cas
de
GaAs
de
type
n,
permettant
de
calculer
à
la
fois
la
valeur
du
facteur
de
dispersion
rH
en
fonction
de
la
température
et
les
concen-
trations
en
impuretés
de
l’échantillon
considéré.
Abstract.
2014
Up
to
now,
the
methods
used
to
obtain
the
concentrations
of
impurities
in
a
semiconductor
disregard
the
actual
value
of the
dispersion
factor
rH
which
has
been
taken
constant
and
equal
to
1.
However,
this
dispersion
factor
is
not
a
constant
and
its
values
can
reach
and
even
exceed
1.5
in
some
cases.
A
numerical
iterative
method
is
proposed
here
for
n-GaAs
that
enable
both
the
value
of
the
dispersion
factor
rH
as
a
function
of
temperature
and
impurity
concentrations
of
the
sample
to
be
calculated.
REVUE
DE
PHYSIQUE
APPLIQUÉE
TOME
12,
MAI
1977,
PAGE
877
Classification
Physics
Abstracts
8.220
-
8.224 -
8.272
1.
Introduction.
-
Les
propriétés
d’un
matériau
semi-conducteur
dépendent
de
sa
concentration
en
impuretés
qu’il
est
donc
important
de
connaître
avec
précision.
Jusqu’alors,
cette
détermination
a
générale-
ment
été
effectuée
à
partir
des
mesures
électriques
de
résistivité p
et
de
mobilité
de
Hall
PH
et
selon
deux
méthodes :
-
La
première
consiste
en
l’étude
de
la
variation
de
la
concentration
électronique
en
fonction
de
la
tem-
pérature
dans
le
domaine
d’ionisation
des
centres
d’impuretés
[1].
Considérant
le
cas
des
matériaux
de
type
n,
qui
sont
étudiés
ici,
la
densité
en
électrons
libres
est
liée
à
la
valeur
de
la
concentration
en
centres
donneurs
ND,
à
celle
en
centres
accepteurs
NA
et
à
l’énergie
d’activation
thermique --D
des
électrons
du
niveau
d’impuretés
donneur
vers
la
bande
de
conduc-
tion.
La
détermination
de
ND,
NA
et
--D
s’effectue
alors
à
partir
de
la
variation
de
la
concentration
en
électrons
de
la
bande
de
conduction
en
fonction
de
la
tempéra-
ture
T
en
utilisant
une
technique
de
moindres
carrés ;
ces
concentrations
électroniques
sont
déduites
direc-
tement
des
mesures
expérimentales
de
résistivité
et
de
mobilité
de
Hall.
-
La
seconde
méthode
repose
sur
l’analyse
de
la
mobilité
des
porteurs
libres
en
fonction
de
la
tempé-
rature
[2] :
celle-ci
dépend
des
concentrations
ND
et
NA
de
manière
significative
quand
les
mécanismes
de
diffusion
sur
les
impuretés
à
l’état
neutre
ou
ionisé
prennent
une
part
appréciable
à
la
limitation
de
mobi-
lité
des
porteurs
libres.
Dans
une
première
approche,
la
relation
de
Brooks-Herring
[3]
qui
relie
le
temps
de
relaxation
correspondant
à
la
dispersion
par
les
impuretés
ionisées
aux
paramètres
ND
et
NA, fut le
plus
souvent
utilisée
seule
pour
estimer
les
densités
en
éléments
d’impuretés :
le
domaine
de
température
sur
lequel
l’analyse
est
réalisée
est
alors
choisi
en
suppo-
sant
que
l’effet
des
autres
processus
de
dispersion
peut
être
négligé
[4].
Le
point
faible
de
ces
deux
types
d’investigation
est
de
confondre
dans
tous
les
cas,
mobilité
de
conduction
lÀ
et
mobilité
de
Hall
PH
ce
qui
équivaut
à
prendre
1
pour
valeur
du
facteur
de
diffusion
rH.
Or,
la
valeur
de
ce
terme rH
dépend
essentiellement
du
mode
de
disper-
sion
des
électrons
et
de
ce
fait,
varie
avec
la
tempé-
rature.
Ainsi,
dans
le
cas
de
GaAs
de
type
n,
si
la
simplification
consistant
à
considérer rH
égal
à
l’unité
peut
encore
se
justifier
lorsque
la
dispersion
des
élec-
trons
est
due
aux
modes
optiques
polaires
(l’erreur
est
alors
estimée
de
l’ordre
de
20 %
[5,
8],
il
en
est
autre-
ment
lorsque
le
processus
de
diffusion
dépend
forte-
ment
de
l’énergie
d’un
porteur
libre
comme
c’est
le
cas
pour
la
dispersion
par
les
impuretés
ionisées
[6].
Le
facteur
de
diffusion rH
peut
alors
atteindre
et
même
dépasser
la
valeur
1,5,
sa
valeur
dépendant
du
dopage
et
de
la
température ;
prendre
rH
= 1
revient
ainsi
à
faire
une
erreur
systématique
importante.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:01977001205087700
878
La
nouvelle
méthode
d’investigation
de
type
itératif
qui
est
proposée
ici
permet
de
calculer
le
facteur
de
diffusion
rH
et
tient
compte
effectivement
de
sa
valeur
dans
la
détermination
de
ND,
NA
et
a,.
Elle
sera
appli-
quée
à
titre
d’illustration
au
cas
de
GaAs
de
type
n.
2.
Principe
de
la
méthode.
-
Les
résultats
expéri-
mentaux
nécessaires
pour
conduire
cette
analyse
sont
la
résistivité
p(T)
et
la
mobilité
de
Hall
PH(T),
la
valeur
de
cette
dernière
étant
obtenue
pour
des
valeurs
de
l’induction
magnétique
faibles.
On
déduit
alors
la
concentration
électronique
de
Hall
nH(T)
par :
Les
grandeurs
03BCH(T) et
nH(T)
sont
reliées
respecti-
vement
à
la
mobilité
de
conduction p(T)
et
à
la
concen-
tration
réelle
d’électrons
libres
n(T)
par
les
relations :
et
Dans
le
cas
où
la
dispersion
des
porteurs
est
due
à
un
processus
élastique
caractérisé
par
un
temps
de
relaxa-
tion
03C4(03B5),
la
mobilité
de
Hall
03BCH
pour
un
matériau
non
dégénéré
s’exprime,
dans
la
limite
des
faibles
inductions
magnétiques,
par
la
relation
[7] :
où
m*
est
la
masse
effective
de
l’électron,
r
>
est
une
moyenne
du
temps
de
relaxation,
avec
1’P
>
exprimée
par :
où x
est
l’énergie
d’un
électron
en
unités
kB
T
Le
principe
de
cette
méthode
d’analyse
proposée
repose
entièrement
sur
la
possibilité
de
décrire
les
mécanismes
de
dispersion
des
électrons
par
l’intermé-
diaire
d’un
temps
de
relaxation
i(s), ce
qui
impose
une
limitation
du
domaine
de
température
analysé.
Dans
ces
conditions,
le
calcul
du
facteur
de
dispersion
rH
(T)
revient
à
calculer
l’expression
03C42 >/ 03C4 >2
ainsi
qu’elle
apparaît
dans
la
relation
(4).
2.1
DESCRIPTION
SCHÉMATIQUE
DE
LA
MÉTHODE. -
Pour
GaAs
de
type
n,
les
centres
donneurs
sont
pra-
tiquement
tous
ionisés
à
la
température
ambiante
ce
qui
permet
d’estimer
ND - NA
à
partir
de
la
mesure
de
la
concentration
électronique
nH
(300
K)
compte
tenu
du
facteur
de
dispersion,
ce
qui
conduit
à :
Ce
terme rH
(300
K),
non
connu
au
départ,
apparaît
comme
le
seul
paramètre
ajustable
de
cette
méthode :
en
effet,
à
partir
d’une
valeur
choisie a
priori
pour
rH
(300
K),
(de
l’ordre
de
1,1
en
se
basant
sur
les
travaux
de
Kravchenko
[8]),
il
est
possible
de
se
fixer
une
première
évaluation
de
ND -
NA en
utilisant
la
relation
(6).
Pour
un
échantillon,
l’analyse
est
limitée
à
un
domaine
de
température
compris
entre
Tl
et
TM, et
nous
appellerons
cycle
de
calcul
numéro p
l’ensemble
des
opérations
permettant
d’obtenir
les
valeurs
de
,u,
JlH
et rH
à
partir
d’une
liste
de
concentrations
électro-
niques
n(p)(Ti)
en
fonction
de
la
température
Ti
(avec
Tl
Ti
TM)
(cf.
Fig.
1).
Chacune
des
variables
intervenant
dans
un
cycle
est
affectée
d’une
part
du
numéro
d’ordre
p
de
celui-ci
et
d’autre
part,
de
l’abréviation
« exp »
lorsqu’il
s’agit
d’une
valeur
obtenue
expérimentalement
ou
« calc »
lorsqu’elle
résulte
d’un
calcul
numérique.
Les
valeurs
intermé-
diaires
de
calcul
sont
notées
généralement
sans
abré-
viation.
Un
cycle
numéro
p
débute
par
le
calcul
des
concen-
trations
électroniques
n(p)(Ti)
à
partir
des
valeurs
expérimentales
nH p(T;)
sous
la
forme :
Au
début
du
premier
cycle
(p
=
1)
les
valeurs
de
r(p=0)H(Ti)
sont
prises
égales
à
1 ;
à
la
fin
du
cycle
numéro
p
la
valeur
de
r(p)H(T)
qui
sera
utilisée
dans
le
cycle
(p
+
1)
est :
Comme
cela
apparaît
sur
la
figure
1,
le
déroulement
d’un
cycle
se
décompose
essentiellement
en
deux
parties :
-
la
première
partie
consiste
en
l’évaluation
des
concentrations
ND
et
NA
et
de
l’énergie
d’activation
thermique
sD
à
partir
de
ND - NA
et
des
densités
électroniques
n(p)(Ti)
en
utilisant
l’équation
de
neu-
tralité
(cf. §
suivant)
et
une
méthode
de
moindres
carrés ;
-
dans
la
seconde
partie
on
calcule
à
partir
des
valeurs
de
ND,
NA
et
n(p)calc(Ti)
obtenues,
les
temps
de
relaxation
concernant
les
mécanismes
de
dispersion
des
électrons ;
on
évalue
ensuite
les
mobilités
03BC(p)calc(Ti),
03BC(p)calcH(Ti)
et
le
facteur
de
dispersion
r(p)calcH(Ti) à l’aide des
relations
(4).
Si
l’écart
relatif
entre
les
valeurs
de
03BC(p-
1)calcH(Ti)
et
03BC(p)calcH(Ti)
est
constaté
trop
important
(cf.
test
défini
par
la
relation
(18),
un
nouveau
cycle
de
calcul
est
effectué
en
partant
de
nouvelles
valeurs
de
rH(Ti)
définies
par
la
relation
(8).
Dans
le
cas
contraire,
on
compare
la
liste
des
valeurs
de
03BC(p)calcH(Ti)
avec
celles
des
valeurs
expérimentales
03BCexpH(Ti).
Si
l’écart
entre
les
valeurs
expérimentales
et
calculées
de
la
mobilité
de
Hall
est
trop
important
(cf.
test
défini
par
la
relation
(19)
la
valeur
de rH
(300
K)
est
modifiée
en
conséquence
et
les
cycles
de
879
FIG.
1.
-
Schéma
de
principe
de
l’analyse
numérique.
[Diagram
of
the
numerical
analysis.]
calcul
précédents
sont
repris
à
partir
de
cette
nouvelle
valeur
du
facteur
de
diffusion
à
température
ambiante.
Un
ensemble
de
cycles
correspondant
à
une
même
valeur
de rH
(300
K)
est
appelé
une
boucle.
On
réalise
ainsi
plusieurs
boucles
de
manière
à
avoir
le
meilleur
accord
entre
les
valeurs
de
03BCH(Ti)
calculées
et
les
valeurs
expérimentales
par
ajustement
de rH
(300
K).
L’ordre
d’une
boucle
est
défini
par q :
en
particulier,
chaque
variable
intervenant
à
l’intérieur
d’un
cycle
sera
affectée
des
deux
indices
p et
q,
précisant
son
appar-
tenance
au
p-ième
cycle
de
la
q-ième
boucle
(cf.
Fig.
1).
2.2
DÉTAIL
D’UN
CYCLE.
2013 1re
partie :
recherche
des
valeurs
de
ND,
NA
et
8D.
A
une
température
T
où
le
régime
de
conduction
est
extrinsèque,
les
électrons
apportés
par
les
centres
donneurs
se
trouvent
soit
loca-
lisés
sur
les
niveaux
fondamental
et
excités
de
ces
centres,
soit
thermiquement
activés
dans
la
bande
de
conduction
en
densité
n(T).
Pour
un
semi-conducteur
non
dégénéré
de
type
n
ayant
une
bande
de
conduction
parabolique
à
symétrie
sphérique,
l’équation
de
neutralité
s’exprime
par
(1)
REVUE
DE
PHYSIQUE
APPLIQUÉE.
-
T.
12,
N°
5,
MAI
1977
avec
et
fll,
facteur
de
dégénérescence
du
niveau
1.
03B5l,
énergie
du
niveau
1.
BF,
énergie
de
Fermi.
En
analysant
le
nombre
de
porteurs
de
charge
par-
ticipant
à
la
conduction
dans
GaAs
de
type
n,
Eddolls
[1]
a
montré
que
lorsque
l’énergie
d’activation
ther-
mique
eD
est
inférieure
à
4
meV,
l’ensemble
des
états
excités
des
atomes
donneurs
forme
un
quasi
conti-
nuum
prolongeant
l’extrémum
de
la
bande
de
con-
duction.
Dans
ce
cas,
l’expression
(9)
se
simplifie
et
donne :
où fi
est
très
proche
de
1/2.
L’équation
(10)
est
utilisée
pour
évaluer
ND, NA
et
eD
par
une
méthode
de
moindres
carrés.
2e
partie :
recherche
des
mobilités
03BC
et
pH
et
du
fac-
teur
de
Hall
rH.
-
Cette
seconde
partie
d’un
cycle
de
calcul
est
basée
sur
l’analyse
des
mécanismes
de
dis-
persion
des
électrons
libres
sur
un
domaine
de
tem-
60
880
pérature
où
la
dispersion
par
les
impuretés
ionisées
est
importante.
Dans
le
cas
de
GaAs
de
type
n,
il
est
maintenant
bien
connu
[2],
[6]
que
ce
sont
les
diffusions
par
les
phonons
acoustiques
via
le
potentiel
de
défor-
mation
et
le
couplage
piézoélectrique
ainsi
que
la
dis-
persion
par
les
impuretés
neutres
qui
interviennent
simultanément
avec
la
diffusion
par
les
impuretés
ionisées
pour
limiter
la
mobilité
électronique
aux
basses
températures.
Tous
les
mécanismes
de
dispersion
cités
ci-dessus
correspondent
à
des
processus
quasi
élas-
tiques
et
peuvent
être
décrits
séparément
par
un
temps
de
relaxation.
Le
temps
de
relaxation
traduisant
l’effet
de
tous
les
mécanismes
est
alors
donné
par
[2] :
1;(s)
étant
le
temps
de
relaxation
correspondant
à
chacun
des
processus
individuels
et
qui
sont :
2022
potentiel
de
déformation
(phonons
acousti-
ques)
[9]
où
El
est
le
potentiel
de
déformation
et
CI,
la
constante
d’élasticité
longitudinale ;
4b
couplage
piézoélectrique
(phonons
acoutis-
ques)
[10]
où
h14
est
la
constante
piézoélectrique
et
C,
la
constante
d’élasticité
transversale ;
e
impuretés
neutres
[11
]
où
No
est
la
densité
d’impuretés
neutres
et
x
la
cons-
tante
diélectrique
statique ;
0
impuretés
ionisées
(relation
de
Brooks-Her-
ring)
[3]
avec
et
Une
correction
tenant
compte
de
l’interaction
électron-
électron
[12]
nécessaire
lorsque
la
concentration
électronique
est
supérieure
à
1015
cm- 3
est
introduite
sur
03C4I(03B5)
sous
la
forme
[6]
Ti
I
représentant
alors
le
temps
de
relaxation
de
la
dispersion
sur
les
impuretés
ionisées
incluant
l’effet
des
collisions
interélectroniques.
Les
valeurs
obtenues
en
fin
de
première
partie
de
cycle
pour
ND,
NA
et
n(p,q)calc(Ti)
permettent
le
calcul
du
temps
de
relaxation
global rfs)
selon
la
relation
(11),
puis
le
calcul
de
la
moyenne
de
i(s)
et
de
i2(E)
d’après
la
relation
(5).
Ces
valeurs
conduisent
à
la
détermina-
tion
de
la
mobilité
de
conduction
03BC(p,q)calc(Ti)
de
la
mobilité
de
Hall
03BC(p,q)calcH(Ti)
et
du
facteur
de
disper-
sion
r(p,q)calcH(Ti)
à
l’aide
des
relations
(2)
et
(4).
Comme
nous
l’avons
déjà
précisé,
la
connaissance
de
ces
valeurs
oriente
la
suite
de
l’analyse
soit
vers
le
commencement
d’un
nouveau
cycle,
soit
vers
le
commencement
d’une
nouvelle
boucle
de
cycles
ou
vers
l’arrêt
du
calcul
et
la
sortie
des
résultats
finals.
3.
Remarques.
-
Le
domaine
de
température
où
l’analyse
numérique
est
effectuée,
doit
être
choisi
et
limité
en
fonction
des
deux
critères
suivants :
-
La
conduction
par
impuretés
(de
type
hopping
ou
métallique)
doit
toujours
y
être
suffisamment
faible
pour
pouvoir
être
négligée
par
rapport
à
la
conduction
due
aux
électrons
libres.
Ceci
conduit
à
limiter
infé-
rieurement
le
domaine
de
température
considéré.
FIG.
2.
-
Variation
de
la
mobilité
de
Hall
pH
en
fonction
de
la
température
T pour
un
échantillon
de
n-GaAs. 1)
Zone
de
tem-
pérature
où
la
dispersion
est
caractérisée
par
un
temps
de
relaxa-
tion
(domaine
de
l’analyse).
2)
Zone
de
température
où
la
disper-
sion
n’est
pas
caractérisée
par
un
temps
de
relaxation
(phonons
optiques
essentiellement).
[Temperature
variation
of
the
Hall
mobility
pH
for
a n-type
GaAs
sample.
1)
Temperature
range
where
the
scattering
is
characterized
by
a
relaxation
time
(analysis
range).
2)
Tempera-
ture
range
where
the
scattering
is
not
characterized
by
a
relaxa-
tion
time
(optical
phonons
essentially).]