Modèles mathématiques de l'imprécis et de l'incertain en vue d'applications aux techniques d'aide à la décision

TL;DR: Cette these est d'abord motivee par le souci d'elucider certains liens existant entre la theorie des ensembles flous and celle des probabilites, en les replacant toutes deux dans un contexte plus general de mesures dites « d'incertitude ».

Abstract: Cette these est d'abord motivee par le souci d'elucider certains liens existant entre la theorie des ensembles flous et celle des probabilites, en les replacant toutes deux dans un contexte plus general de mesures dites « d'incertitude ». Sur cette base, on developpe des outils mathematiques susceptibles d'exprimer rigoureusement, de facon quantitative, les concepts duaux de possibilite et de necessite. On montre notamment qu'on peut par la generaliser les operations logiques ainsi que d'autres notions, telles que la cardinalite, a des ensembles dont les frontieres sont mal definies, representes par le biais d'une fonction d'appartenance, qu'on peut voir comme une distribution de possibilite. On developpe, dans le cadre de la theorie des possibilites, un calcul analogue a celui des fonctions de variables aleatoires, appele calcule des intervalles flous, qui generalise le calcule d'erreurs. Des elements d'analyse de fonctions floues, etendant l'analyse des correspondances, sont fournis, notamment l'integration de Riemann. Ces outils mathematiques sont appliques a la formulation et a la resolution de problemes d'analyse de la decision et de recherche operationnelle. On etudie plus particulierement l'agregation de critere, l'evaluation des decisions et le choix en environnement incertain et imprecisement decrit, les algorithmes de plus courts chemins dans les graphes imprecisement values, la programmation lineaire avec contraintes floues. On tente dans chaque cas de discuter les merites et les limites de la theorie des possibilites par rapport a celle des probabilites, tant sur le plan de leur pouvoir descriptif que sur celui des calculs qu'elles entrainent, et des resultats qu'elles permettent d'obtenir.