Nombre maximal d'hyperplans instables pour un fibré de Steiner

TLDR: In this article, Dolgachev et Kapranov et al. present a suite exacte result on the fibres logarithmiques of Steiner's fibres, showing that (n+k+1) hyperplans distincts are (n +k+2) infeasible.

Abstract: Soit ${\cal S}_{n,k}$ la famille des fibres de Steiner S sur ${\bf P}_n$ definis par une suite exacte ( $k>0$ ) \[ 0\rightarrow kO_{{\bf P}_n}(-1) \longrightarrow (n+k)O_{{\bf P}_n}\longrightarrow S \rightarrow 0 \] Nous montrons le resultat suivant : Soient $S\in{\cal S}_{n,k}$ et $H_1,\cdots,H_{n+k+2}$ des hyperplans distincts tels que $h^0(S^{\vee}_{H_i}) \neq 0$ . Alors il existe une courbe rationnelle normale $C_n\subset{\bf P}_{n}^{\vee}$ telle que $H_{i}\in C_n$ pour $i=1, ..., n+k+2$ et $S\simeq E_{n+k-1}(C_n)$ , ou $E_{n+k-1}(C_n)$ est le fibre de Schwarzenberger sur ${\bf P}_n$ appartenant a ${\cal S}_{n,k}$ associea la courbe $C_n\subset{\bf P}_{n}^{\vee}$ . On en deduit qu'un fibre de Steiner $S\in{\cal S}_{n,k}$ , s'il n'est pas un fibre de Schwarzenberger, possede au plus (n+k+1) hyperplans instables; ceci prouve dans tous les cas un resultat de Dolgachev et Kapranov ([DK], thm. 7.2) concernant les fibres logarithmiques.

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HAL Id: hal-01991069
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Nombre maximal d’hyperplans instables pour un bré
de Steiner
Jean Vallès
To cite this version:
Jean Vallès. Nombre maximal d’hyperplans instables pour un bré de Steiner. Mathematische
Zeitschrift, Springer, 2000. �hal-01991069�

Nombre maximal d’hyperplans instables
pour un fibr´e de Steiner
Jean Vall`es
Algebraic Geometry
R
´
ESUM
´
E — Soit S
n,k
la famille des fibr´es de Steiner S sur P
n
d´efinis par une suite exacte (k > 0)
0 → kO
P
n
(−1) −→ (n + k)O
P
n
−→ S → 0
Nous montrons le r´esultat suivant : Soient S ∈ S
n,k
et H
1
, · · · , H
n+k+2
des hyperplans distincts
tels que h
0
(S
∨
H
i
) 6= 0. Alors il existe une courbe rationnelle normale C
n
⊂ P
∨
n
telle que H
i
∈ C
n
pour i = 1, ..., n + k + 2 et S ' E
n+k−1
(C
n
), o`u E
n+k−1
(C
n
) est le fibr´e de Schwarzenberger sur
P
n
appartenant `a S
n,k
associ´e `a la courbe C
n
⊂ P
∨
n
.
On en d´eduit qu’un fibr´e de Steiner S ∈ S
n,k
, s’il n’est pas un fibr´e de Schwarzenberger, poss`ede
au plus (n + k + 1) hyperplans instables; ceci prouve dans tous les cas un r´esultat de Dolgachev et
Kapranov ([DK], thm. 7.2) concernant les fibr´es logarithmiques.
ABSTRACT — Let S
n,k
denote the family of Steiner’s bundle S on P
n
defined by the exact
sequence (k > 0)
0 → kO
P
n
(−1) −→ (n + k)O
P
n
−→ S → 0
We show the following result : Let S ∈ S
n,k
and H
1
, · · · , H
n+k+2
distincts hyperplanes such
that h
0
(S
∨
H
i
) 6= 0. Then it exists a rational normal curve C
n
⊂ P
∨
n
such that H
i
∈ C
n
for
i = 1, ..., n + k + 2 and S ' E
n+k−1
(C
n
), where E
n+k−1
(C
n
) is the Schwarzenberger’s bundle on
P
n
which belongs to S
n,k
associated to C
n
⊂ P
∨
n
It implies that a Steiner’s bundle S ∈ S
n,k
, if it isn’t a Schwarzenberger’s bundle, possesses no
more than (n + k + 1) unstable hyperplanes; this proves in any case a result of Dolgachev and
Kapranov ([DK], thm 7.2) about logarithmic bundles.
1 Introduction
Soient H = {H
1
, · · · , H
n+k+1
} un arrangement de (n + k + 1)-hyperplans de P
n
= P
n
(C)
(on dira aussi par abus de langage qu’un hyperplan H de P
n
est un point de P
∨
n
) en
position lin´eaire g´en´erale et E(H) = Ω
P
n
(log
S
H
i
) le fibr´e logarithmique associ´e `a H (i.e.
le fibr´e vectoriel des 1-formes diff´erentielles sur P
n
`a pˆoles logarithmiques sur le diviseur
S
H
i
, voir [De]). Dans [DK] les auteurs montrent que E(H) ∈ S
n,k
(th´eor`eme 3.5) o`u S
n,k
est la famille des fibr´es de Steiner S d´efinis par une suite exacte
0 → kO
P
n
(−1) −→ (n + k)O
P
n
−→ S → 0
Dolgachev et Kapranov conjecturent que pour k > 0 l’association H → E(H) est bijective
sauf si H ∈ C
n
o`u C
n
∈ P
∨
n
est une courbe rationnelle normale; dans ce cas le fibr´e loga-
rithmique est le fibr´e de Schwarzenberger E
n+k−1
(C
n
) ([Sch1]) associ´e `a C
n
. Ils montrent
1

ce r´esultat pour k ≥ n + 2, en ´etudiant les droites de saut de E(H) (th´eor`eme 7.2, dit de
Torelli).
Dans cet article nous prouvons ce r´esultat pour tout k > 0 (corollaire 3.1). Notre preuve
repose sur l’´etude des restrictions de E(H), non pas aux droites, mais aux hyperplans de
P
n
. En effet il r´esulte de [DK] prop.2.3 que h
0
(E(H)
∨
H
i
) 6= 0 pour i = 1, · · · , n + k + 1.
Plus g´en´eralemment on d´efinit dans P
∨
n
l’ensemble W (S) des hyperplans instables d’un
fibr´e de Steiner S ∈ S
n,k
de la mani`ere suivante
H ∈ W (S) ⇔ h
0
(S
∨
H
) 6= 0
Le r´esultat de Dolgachev et Kapranov est une cons´equence directe du th´eor`eme suivant
qui affirme qu’un fibr´e de Steiner S ∈ S
n,k
, s’il n’est pas un fibr´e de Schwarzenberger,
poss`ede au plus (n + k + 1) hyperplans instables.
Th´eor`eme 3.1.Soient S ∈ S
n,k
et H
1
, · · · , H
n+k+2
des hyperplans distincts tels que
h
0
(S
∨
H
i
) 6= 0. Alors il existe une courbe rationnelle normale C
n
⊂ P
∨
n
telle que H
i
∈ C
n
pour i = 1, ..., n + k + 2 et S ' E
n+k−1
(C
n
).
On v´erifie par ailleurs que W (E
n+k−1
(C
n
)) = C
n
(proposition 2.2).
Dans la premi`ere partie on montre (proposition 2.1) que si S ∈ S
n,k
avec k > 1 et
H
1
∈ W (S) alors l’homomorphisme S → O
H
1
induit par une section non nulle de S
∨
H
1
est
surjectif et son noyau T
1
v´erifie T
1
∈ S
n,k−1
et W (S) ⊂ W (T
1
) ∪ H.
Apr`es k − 2 r´eductions on se ram`ene ainsi `a un fibr´e de Steiner T
k−2
∈ S
n,2
. Comme
tout fibr´e de Steiner de S
n,2
est un fibr´e de Schwarzenberger associ´e `a une courbe ra-
tionnelle normale C
n
⊂ P
∨
n
([DK], prop 6.8) on en d´eduit que T
k−2
' E
n+1
(C
n
) et que les
hyperplans instables de S sont des points de C
n
.
On conclut en utilisant la proposition 2.3 ´etablie dans la deuxi`eme partie qui affirme qu’un
fibr´e de Steiner S ∈ S
n,k
qui poss`ede n + k + 1 hyperplans instables osculateurs d’une
mˆeme courbe rationnelle normale est un fibr´e de Schwarzenberger (ce r´esultat g´en´eralise
le th´eor`eme 6.4 de [DK] concernant les fibr´es logarithmiques).
Dans la suite de ce texte nous ´ecrirons c.r.n. pour courbe rationnelle normale.
Ce probl`eme d’existence d’un nombre maximal d’hyperplans instables pour un fibr´e de Steiner m’a
´et´e pos´e par V.Ancona et G.Ottaviani. Je tiens `a les remercier tr`es chaleureusement pour cela
ainsi que pour les nombreuses discussions que nous avons eues sur ce th`eme.
Ce travail a ´et´e r´ealis´e dans le cadre d’un contrat de recherche europ´een (programme capital humain
et mobilit´e) entre La Scuola Normale Superiore di Pisa et L’Universit´e P.et M. Curie Paris VI.
2 Les fibr´es de Steiner
D´efinition 2.1. Un fibr´e vectoriel S de rang n sur P
n
est appel´e fibr´e de Steiner s’il
existe une suite exacte (k > 0)
0 → kO
P
n
(−1) −→ (n + k)O
P
n
−→ S → 0
Notation: On note S
n,k
la famille des fibr´es de Steiner d´efinis comme ci-dessus.
Remarque. Pour k > 0 on a h
0
(S
∨
) = 0. Pour k = 1, le fibr´e S est isomorphe `a Ω
∨
P
n
(−1).
2

Rappelons qu’un fibr´e vectoriel E est stable si pour tout sous-faisceau coh´erent sans torsion
F ⊂ E on a
deg(F )
rg(F )
<
deg(E)
rg(E)
et que les fibr´es de Steiner S ainsi d´efinis sont stables ([BS], th´eor`eme 2.7).
On dira qu’un hyperplan est instable pour le fibr´e S s’il appartient `a l’ensemble suivant
W (S) = {H ∈ P
∨
n
/h
0
(S
∨
H
) 6= 0}
Proposition 2.1. Soient S ∈ S
n,k
et H ∈ W (S). Les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees.
1) S
H
= O
H
⊕ T o`u T est un fibr´e de Steiner sur H (ou T = 0 si n = 1).
2) L’homorphisme S → O
H
(induit par une section non nulle de S
∨
H
) est surjectif et, pour
k > 1, son noyau, not´e S
0
, v´erifie S
0
∈ S
n,k−1
et W(S) ⊂ W (S
0
) ∪ {H}.
Remarque. Il r´esulte de 1) que h
0
(S
∨
H
) = h
0
(O
H
) = 1 et que cette section est partout
non nulle.
Preuve proposition 2.1. 1) Une section non nulle de t ∈ H
0
(S
∨
H
) induit un homomor-
phisme non nul t
∨
: S
H
−→ O
H
; notons T son noyau. L’homorphisme compos´e
H
0
(S) ⊗ O
H
→ S
H
t
∨
→ O
H
est non nul donc il est surjectif. Ceci prouve que t
∨
est surjectif et que l’application
H
0
(S
H
) → H
0
(O
H
) est surjective. On en d´eduit que T est un fibr´e vectoriel de rang n − 1
sur H et que S
H
= O
H
⊕ T .
Le lemme du serpent appliqu´e au diagramme commutatif suivant prouve que T est un
fibr´e de Steiner sur H.
0 −−−−→ kO
H
(−1) −−−−→ (n + k)O
H
−−−−→ S
H
−−−−→ 0


y


y
O
H
O
H


y


y
0 0
2) Il r´esulte de 1) que l’homorphisme compos´e S → S
H
→ O
H
induit par la section
t ∈ H
0
(S
∨
H
) est surjectif. Son noyau (not´e S
0
) est un fibr´e de rang n sur P
n
. Le lemme du
3

serpent appliqu´e au diagramme commutatif suivant prouve que S
0
est un fibr´e de Steiner
0


y
S
0


y
0 −−−−→ kO
P
n
(−1) −−−−→ (n + k)O
P
n
−−−−→ S −−−−→ 0


y


y


y
0 −−−−→ O
P
n
(−1) −−−−→ O
P
n
−−−−→ O
H
−−−−→ 0


y


y


y
0 0 0
La suite exacte (duale de la derni`ere colonne du diagramme ci-dessus)
0 −−−−→ S
∨
−−−−→ S
0
∨
−−−−→ O
H
(1) −−−−→ 0
montre que W (S) ⊂ W (S
0
) ∪ {H}.
2.1 Les fibr´es de Schwarzenberger
Soient F la vari´et´e d’incidence point-hyperplan de P
n
, p et q les morphismes de projections
sur P
n
et P
∨
n
.
Consid´erons le diagramme d’incidence suivant (o`u ¯p et ¯q sont les morphismes de projections
p et q restreints `a X = q
−1
(C
n
) )
X
¯q
−−−−→ C
n
¯p


y
P
n
On note O
C
n
(
m
n
) le fibr´e en droite sur C
n
de degr´e m correspondant `a O
P
1
(m) via
l’isomorphisme P
1
' C
n
.
D´efinition 2.2. Soit m un entier relatif, on appelle fibr´e de Schwarzenberger associ´e `a
C
n
le fibr´e vectoriel de rang n suivant
E
m
(C
n
) = ¯p
∗
¯q
∗
O
C
n
(
m
n
)
Cette d´efinition est donn´ee par Schwarzenberger ([Sch1], th´eor`eme 4). Pour m ≥ n les
fibr´es E
m
(C
n
) sont des fibr´es de Steiner ([DK], prop. 6.3 ou [Sch1], prop.2).
Pour n = 2 le r´esultat qui suit est d´emontr´e par Schwarzenberger ([Sch1], prop.8). Cepen-
dant comme sa preuve ne semble pas se g´en´eraliser facilement aux cas n > 2, nous en
donnons bri`evement une d´emonstration.
4

Frequently asked questions

Q1. What are the contributions in this paper?

The Archive ouverte pluridisciplinaire HAL ( HAL ) this paper is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. 

Q2. What is the definition of a fibré of Schwarzenberger?

Réciproquement on montre qu’un fibré de Steiner S ∈ Sn,k qui possède n+k+1 hyperplans instables osculateurs d’une c.r.n. est un fibré de Schwarzenberger. 

Q3. What is the simplest way to explain the commutative process?

Le lemme du serpent appliqué au diagramme commutatif suivant prouve que T est un fibré de Steiner sur H.0 −−−−→ kOH(−1) −−−−→ (n + k)OH −−−−→ SH −−−−→