Vol. XXV, 1974 75
Relative semisimpliziale Approximation
WritER BOS zum Ged~chtnis
Von
RUDOLF FRITSCH
Es sei A c X ein Paar yon semisimplizialen Mengen. Eine A enthaltende Unter.
teilung X' yon X ist eine semisimpliziale Menge X' zusammen mit einem HomSo-
mo~smus h: I X'] -~
I X l,
derart, dab I X'J als Vn~rte~=g ~on I zt im S~e
yon [7] w 9 aufgefaBt werden kann, A semisimpliziale Teflmenge yon X' is~ und g~lt
(1) h/IAl
=(l~l~l/I)
Satz 1. Sei A c X ein Paar semisimplizialer Merg]en mit eruglichem 1) X;/erner sei
Y eine beliebige semisimpliziale Menge und / : [ X[ ---> I Y] eine stetige Abbildung mit
(2)
1/1~1
=
Igl
]i~r eine semisimpliz~ale Abbildung g : ,4 --> Y. Dann gibt es eine A enthaltende Unter.
teilung X' von X und eine semisimpliziale Abbildung ]' : X' --+ Y mit
(3) Irl
___/rel.
]A I .
Ffir simpliziale Komplexe findet sieh dieser Satz z. B. in [8] ; Rourke und Sanderson
haben eine entspreehende Aussage ffir simpliziale Mengen 2) bewiesen ([6] Theorem
5.1). Die semisimpliziale Approximation wurde z.T. bereits yon Kan in [4] behandelt
(vgl. dazu den ttinweis naeh Satz 3).
Aussagen fiber die Existenz "A enthaltertder Unterteilungen yon X" liefert
Satz 2. Seien n eine nati~rliche Zahl und das Quadrat
SdnA an.4 J- A
(4) sd'(~cx)l, 1~
SdnX----~T-->nX
ein Pushout. Dann gibt es einen gomSomorphismus nh : ]nX I '-> [ X I mit
(5)
nh --~ [nrlrel.
I AI,
~ra~t, ~ I nXI aZ~ Unterteilung von IX[ au/ge/aflt werden kann.
1) Da die Inklusion [Aw Xn] C [ X[ fiir jedes n die ttomotopieerweitertmgseigenschaft ([1], 1.2)
hat, ergibt ein leichter InduktionssehluB, dafi die Behaupttmg yon Satz 1 auch fiir unendliche X
gilt.
~) Zur Terminologie vgl. [2], in [6] heiBen die simplizialen Mengen ,,A-sets".
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R. FRITSCH
ARCH. MATH.
(Hier bezeichnet Sd n die in [4] w 7 definierte n-lathe lqormalunterteilung und
d n : Sd n --> Id die zugehSrige natfirliehe Transformation; nr : nX ---> X ist die dutch
die Gleichung
(6) nr
0 n 1 ~---
dnX
eindeutig bestimmte semisimpliziale Abbildung.)
Wir beweisen diesen Satz dureh vollst/~ndige Induktion naeh n.
Sei zun/~chst n = 1. Ffr jedes x ~ Xq und jedes q bezeiehne cx:A [q]--> X die
eharakteristische Abbildung und Ix : zJq -> Ax den. surjektiven Tell von Ill o Sdncz I"
Wir definieren ferner Abbildungen hx : Aq -+ zJq wie in [3] nnter der Ab~nderung der
Definition der Operatoren @i (falls x/~ I e A): In [3] bezeichnet 03" den surjektiven
Operator in der kanonischen DarsteUung yon x#i. Ist nun x#~ e A, so setzen wir
start dessen ~j := ([dim/~j] --> [0]); entsprechend sind natiirlich die Qkj und ~I ab-
zu~ndern. Mit diesen Festsetzungen gilt Bedingung (A) aus [3] und Bedingung (B)
aus [3] sinngem~$ ffir nicht entartete x mit x ~ A ; man beweist das genauso wie in [3].
Ferner ist aber die Transformation
hx o l~ :t
einwertig und damit stetig ; insbesondere
ist fiir x e A
(7)
hx o l~ 1 =
id.
Diese Aussagen zusammen liefern, dab die Fa,milie der Abbfldungen
hz
o F~ t einen
HomSomorphismus lh: ]iX I --> I X I induziert. Die gesuehte Homotopie erh/~lt man
nun noch aus der Tatsache, dab auch die Transformationen ((1
-- t) hx q- t dx) o ~l
fiir
alle t e [0, 1] einwertig und damit stetig sind.
Zum SchluB yon n auf n -4- 1 betrachten wit das Diagramm
Sd n+l A * Sd a A ~A
(8) Sdn+lX " ~ " n+lX
SdnX-~nX
Es ist so konstruiert, dab die drei Quadrate Pushouts sind. Der bereits bewiesene
l~all n = 1 zeigt, dab ~ eine SdnA enthaltende Unterteflung yon SdnX ist, vermSge
eines HomSomorphismus s ])~l -+ [ SdnX l, fox den gilt:
(9)
~_~ I~l re1. I SdnA I .
Sei ~t eine solehe tIom0topie mit s = s und ~i = I r l" Wir definieren nun ffir alle
t e [0, 1] stetige Abbildungen
gt
durch die Forderung, dab die Quadrate
1
ISdnXl 9
Pushouts sind. Aus der Tatsache, dab dann fiir jedes t das ~ugere Rechteck in dem
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Diagramm
I~l -IAI
9 /1
(n) 1~I lXl--~ln+lX[
In+~X]
ISdnXl -
.
ein t~ashout ist, ergibt sich, dab die
gt
alle das gleiehe Ziel [ nX[ haben und, da sie
stetig yon t abhingen, eine Homotopie rel. I A ] bilden. Da ~0 ein Hombomorphismus
ist, ist auch go ein Hombomorphismus und die Zusammensetzung n+lh :----- nh o go ist
ein IKombomorphismus der gewiinschten Art.
Zum Beweis yon Satz 1 ben6tigen wir nun noch
Satz 3.
Unter den Voraussetzungen von Satz 1 gibt es eine natiArliche Zahl n und
eine semisimpliziale Abbildung /"
: SdnX
--> Y mit
(12)
II"I
=loldnXlrel. lSdnA[.
Fiir A = 0 ist das einer der Kanschen Approximationsss (Theorem (8.5) in [4]).
Wit fiihren den Beweis dutch Verfeinerung der Argxlmente in [4] und verwenden
dabei die dortige Notation. Auf Grund des Satzes in II 5.8 yon [5] ~bt es jedenfalls
eine semisimpliziale Abbildung _~ : X --> Ex ~176 Y mit
(la)
I:~1
=
le~ rl o/rel, lAI .
Aus der Endlichkeit yon X folgt nun/~hnlieh wie in [4], p. 463, die Existenz einer
nat/irhehen Zahl n und einer semisimphzialen Abbildung F : X --> Ex n Y mit
(14) IFI = lenrl o/rol. IAI.
Komposition mit dnX liefert jetzt
(15)
I~o4~Xl = le~rl olo la'xl r~.lSa"AI 9
Fiir die linke Seite k6rmen wir wegen der lqat/irlichkeit yon d n sehreiben
(16) _P o dnX = dn•x n Y o Sdn-~.
Nun bezeichne s Y: SdnExn Y--> Y die Coeins der Adjunktion Ex n --> Sd n, d.h.
die semisimpliziale Abbfldung, die unter dem Adjunktionsisomorphismus in die
Identit/~t yon Ex n Y fibergeht, weft d n Y unter dem Adjunktionsisomorphismus in
e n
]z fibergeht ([4] Lemma 7.2) gilt
(17) dnY---- s YoSdne n Y
und daher wegen der I~'attirlichkeit yon d n
(18) dnEx n Yo Sdne n Y---- e n Yod n Y= e n Yoe YoSdne n Y.
Aus Lemma (7.4) und Lemma (7.5) in [4] folgt, dab [Sdneny] eine Homotopie-
78 R. FRITSCH AP.CH. MATH.
~iquivalenz ist. Da Sdne n Y auBerdem injektiv und damit I Sdne n Y[ eine Cofaserung
ist, ist I Sdnen Y I eine ttomotopie~quivalenz unter ]Sd n Y l ([1], (2.29)), woraus folgt
(19) [dnExn Yl __
[enY[ol~Ylrel. ISdnY[.
Komposition mit I SdnFI liefer~ nun
(20) ]dnExn YoSdnF] ~
]enyo~YoSdnF[rel.[SdnA[.
(15), (16) und (20) zusammen ergeben
(21) lenYIo[eYoSdnFI = [en:Yio/oId"X[rel. lSd~A I.
Weft ten Yl eine Homotopie~iquivalenz unter I Y[ ist ([1], (2.29)), fol~
(22)
1~ :Yo Sd~_V' 1 =/o [doLl reL lSdnA I .
Also ist [" := s Yo Sdny die gesuchte Approximation zu ]'.
Wir kommen nun zum Beweis yon Satz 1. Das gesuchte/' ist durch das Diagramm
SdnA ----~A
gegeben und eindeutig bestimmt (n,
f' wie in
Satz 3). Da die geometrisehe Realisie-
rung Pushouts erhNt, liefert die Homotopie in Satz 3 eine Homotopie
(24) I/' I ~-
!
o I~ I ref. I A I-
Zusammen mit (5) er~bt das die Behauptung (3).
Literaturverzeiehnis
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[8] E. C. ZEEMANN, Relative simplicial approximation. Proc. Cambridge Phil. Soc. 60, 39--43
(1964).
Eingegangen am 8. 12. 1972
Anschrift des Autors:
Rudolf Fritsch
Faehbereieh Mathematik, Universit~t Konstanz, ]3-775 Konstanz