scispace - formally typeset

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Un processus qui ressemble au pont brownien

01 Jan 1987-Vol. 21, pp 270-275

Abstract© Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1987, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire de probabilités (Strasbourg) (http://portail. mathdoc.fr/SemProba/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

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SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG)
PHILIPPE BIANE
JEAN-FRANÇOIS LE GALL
MARC YOR
Un processus qui ressemble au pont brownien
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 21 (1987), p. 270-275
<http://www.numdam.org/item?id=SPS_1987__21__270_0>
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UN
PROCESSUS
QUI
RESSEMBLE
AU
PONT
BROWNIEN
Ph.
BIANE,
J.F.
LE
GALL
et
M.
YOR(*)
1.
.
ENONCE
DU
RESULTAT
PRINCIPAL.
Soit
(Bt,t >__
0)
mouvement
brownien
réel,
nul
en
0.
On
note
(Qt,t >__
0)
son
temps
local
en
0,
et
Tt
=
>
t}.
Le
processus
(X =
20142014
;
u ~
1)
est
nul
en
0
et
en
1,
et
la
normalisation
ainsi
effectuée
sur
le
mouvement
brownien
suggère
que
X
a
pour
variation
quadrati-
que
u.
Il
est
alors
naturel
de
chercher
à
comparer
ce
processus
et
le
pont
brownien
(p (u) ,u
1 ) .
On
a
le
Théorème
1
:
Désignons
pan
a
te
temps
local
de
p,
au
niveau
0,
et
à
1.
.
Alors, pour
toute
F :
:
borélienne,
on
a
:
(1.a)
1)] =
~]
j
2.
QUELQUES
ENONCES
VOISINS.
Avant
de
démontrer
le
théorème
1,
citons
d’autres
exemples
intéressants
de
"re-
normalisation"
du
mouvement
brownien,
ou
de
processus
de
Bessel,
qui
nous
permet-
tront,
par
la
suite,
de
compléter
le
théorème
1.
(2.1)
Il
est
bien
connu
que,
si
g1 =
sup{s
1
:
Bs
=
0},
alors
( g 1
Bug1 ; u ~
1)
est
un
pont
Brownien
qui
est,
>
en
outre,
>
indépendant
de
g1.
(2. 2)
ChlIDg
[2]
]
a
étudié
le
méandre
brown ien
(m(u) ~
1 1-g1
|B
g1+u
(1-g1
)| ;
u ~
1).
On
a
le
Théorème 2
([n) :
:
Pour
toute
fonctionnelle
J=
:
C
(
[ 0,
J
];IR+)
~IR+,
borélienne,
>
on a
E[F(m(u) ; u ~
1)] = E[F(Ru ; u ~
1]
03C0 2 1 R1]
11
)
le
de
de
dimension
3,
,
de
C.
(2.3~
Considérons
maintenant
0)
processus
de
Bessel
de
dimension
d -
2(v+1)
>
2
(ou,
ce
qui
est
équivalent,
d’indice v >
0),
et
L = sup{t :
t
Rt =1}.
On
a
alors
le
(*)
)
UNIVERSITE
PARIS
VI -
Laboratoire
de
Probabilités -
4,
place Jussieu -
Tour
56
3ème
Etage -
Couloir
56-66 -
75252
PARIS
CEDEX
05

271
Théorème
3
:
Pour
toute
fonctionnele F :
C
( [ 0,1
]
i
~
R+,
borélienne, on a
:
E[F(1 L RuL ; u ~ 1)] = E[F(Ru ; u ~ 1) 203BD R21].
Démonstration :
L’identité
découle
de
ce
que :
-
d’une
part,
le
processus
(R,u
t),
conditionnellement
à
L
=
t,
a
même
loi
que
t),
conditionnellement
à
Rt =
1
;
-
d’autre
part,
pour
toute
fonction
f :
-~
1R,+ ,
boré 1 ienne,
on
a :
Cette
identité
découle
de
ce
que,
d’après
Getoor
[3]
(voir
aussi
Pitman-Yor
[6]),
ona :
_
dt)
=
v 1 v+1 e -l/2t
dt
alors
que :
1
P(R1
f
dx)
=
1
x 2v+1 e -x2/2
dx.
Corollaire
4
:
Soit
T
=
:
Bt
=
1}.
.
Pour
toute
fonctionnelle F
:
C ( [0,1 j ;
IR) ~IR+,
borélienne,
E[F(2014 (7 -
BuT)
;
u ‘ >>] -
; u ~ 1)
1 2R21]
1
J
ic.i
un
processus
de
Bessel
de
3,
,
de
0.
Démonstration :
Elle
découle
du
théorème
3,
et
du
théorème
de
retournement
de
Williams
[7]
selon
lequel :
(B ,u __
T)(d) (1-RL-u
; u ~
L).
3.
DEMONSTRATIDN
DES
THEOREMES
1
et
2.
(~.Z~
En
[1]
]
(théorème
6.1)),
les
auteurs
donnent
un
résumé
des
principales
formules
de
la
théorie
des
excursions
browniennes.
En
particulier,
les
identités
suivantes
ont
lieu,
entre
mesures
o-finies
sur
l’espace
des
fonctions
conti-
nues
w
définies
sur
un
intervalle
[0,~(w)]
]
c
(3.a)
)
~0
0
v2ïTu
P s
désigne
la
loi
du
mouvement
brownien
issu
de
0,
et
arrêté
en
T
s
;
Qu
désigne
la
loi
du
pont
brownien
de
longueur
u ;
(3.6)
)
~0
0
Ru
désigne
la
loi
du
méandre
brownien
de
longueur
u ;

272
L
S a
désigne
la
loi
du
processus
de
Bessel
de
dimension
3,
arrêté
à
son
dernier
temps
de
passage
en
a.
(3.2~
Les
théorèmes
1
et
2
découlent
respectivement
de
(3.a)
et
(3.b).
La
démonstration
du
théorème
2
à
partir
de
( 3. ~ )
étant
faite
en
[ 1 ] ,
montrons
com-
ment
le
théorème
1
découle
de
(3.a).
.
D’après
3 . a ) ,
on
a,
pour
toute
fonctionnelle
F :
C ( [ 0,1 ]
R)
-~ lR+,
borélienne,
et
toute
fonction
h :
lR+ ~
1R+
borélienne :
~0 ds
E[F( 1
B
;
u s
1 )
h(T )
]
=
h(u)
.
v ~
1)]
l
ce
qui
équivaut,
par
scaling,
à :
ds
E[F( 1
B
;
u
1 )
]’
=
r~
du
h(u)
E[F( y) ’
v ~
1 )
.
0
03C41
u03C41
1
0
203C0u
En
faisant
le
changement
de
variables
t
=
1
dans
le
membre
de
gauche,
il
vient
(3.c)
; u ~ 1)] = 2 03C0
E[F(p(v) ;
1)].
Cette
identité
équivaut
à
(1.a)
,
une
fois
remarqué
le
fait
que
le
temps
local
de
(X =E
1
B
;
u ~
1)
au
niveau
0,
et
au
temps
1,
est
1
.
u
~- uT
~
J-.-
4.
QUELQUES
REMARQUES
RELATIVES
AU
THEOREME
Z.
.
(4.Z)
Notons 03BB
le
temps
local
au
niveau
0,
et
au
temps
1,
du
pont
brownien.
Nous
venons
de
remarquer
que
le
temps
local
de
(X -
1 03C41
B
u03C41
;
u 5
1)
au
niveau
0
et
au
temps
1
est
_1
.
v"T1
On
a
donc,
d’après
la
formule
ou
mieux
(3.c)
:
pour
toute
fonction
f :
R
-~
borélienne,
(4.a)
]
=
E[
n
f ( ~ )
].
2T
1
~
Or,
1
(d)
,
N
désigne
une
variable
gaussienne,
réelle,
centrée,
réduite.
~7
On
déduit
alors
de
(4,a)
que :
;4.b)
>
x
(d)
!~!
I
(g)
,
~1
désigne
la
valeur
au
temps
1
du
mouvement
brownien complexe
issu
de
0,
et e
une
variable
exponentielle
de
paramètre
1.

273
L’identité
en
loi
(4.6)
peut
bien
sûr
être
déduite
directement
de
la
connaissance
de
la
loi
conjointe
de
eB1 ;
~1)
ou
bien
encore
du
résultat
(2.?)
qui
entraîne :
l1 (d)
g1.03BB
avec
g1
i
et a
indépendantes.
Or,
on
sait
par
ailleurs
que :
°
avec
g1
et e
indépendantes,
et
e
variable
exponentielle
de
paramètre
1.
(4.2)
Inversement,
ayant
remarqué
l’identité
en
loi
(4.b),
dont
(4.a) découle,
on
peut
donner
une
démonstration
plus
intuitive
du
théorème
1,
que
celle,
rigou-
reuse,
mais
un
peu
formelle,
donnée
en
(3.2).
En
effet,
il
suffit
alors
de
montrer
que :
u __ 1 )
1
- a2) (d)
( (p (u) ~u ~
1)1
I
~ - a 1 )’
ce
qui
équivaut,
par
scaling
d’une
part,
et
par
définition
de
p d’autre
part,
à :
((B ,u s
1)
=
1)
(d)
((B ,u s
1)!B~ =
0 ; Q -
x)
l’on
a
posé
x
=
1/a.
Or,
conditionner
par
(Tx
=
1 )
revient
à
conditionner
par
B1 =
0
et * 1 =
x.
(4.3)
Pour
compléter
la
description
de
X,
donnons
sa
représentation
comme
semi-martingale,
précisément :
X
est
la
somme
d’un
mouvement
brownien,
et
d’un
processus
à
variation
bornée.
En
effet,
lorsqu’on
fait
le
grossissement
initial
de
la
filtration
du
mouvement
brownien
B
avec
la
variable
T1’
>
on
obtient
(cf :
[5],
Récapitulatif,
par
ex.)
dans
la
filtration
ainsi
grossie :
(4.c)
+ rtAT
i
ds
~
~ ~ ~
t
t ~~
J
°
*~
+
l
T
-s
avec
0)
mouvement
Brownien
indépendent
de
r..
On
en
déduit,
par
scaling
de
rapport
T1 ’
:
(4.d)
Xt =
t+
t0
ds sgn(Xs) {1 L1-Ls+|Xs| - L1-Ls+|Xs| 1-s
}
l’on
a
noté :
Lu
=
1 1 R
uT
1
1)
le
temps
local
en
0
de
(X
u,u ~
1)
et
’*2014
03B2t03C41 ; t ~ 1)
un
nouveau
mouvement
brownien.

Citations
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BookDOI
01 Jan 2006
Abstract: Preliminaries.- Bell polynomials, composite structures and Gibbs partitions.- Exchangeable random partitions.- Sequential constructions of random partitions.- Poisson constructions of random partitions.- Coagulation and fragmentation processes.- Random walks and random forests.- The Brownian forest.- Brownian local times, branching and Bessel processes.- Brownian bridge asymptotics for random mappings.- Random forests and the additive coalescent.

1,311 citations


Cites background from "Un processus qui ressemble au pont ..."

  • ...(The Brownian pseudo-bridge) [59] Let τ` := inf{t : Lt(B) > `} where Lt(B), t ≥ 0 is the local time process at 0 of an unconditioned Brownian motion B....

    [...]

  • ...The process B̃ := B∗[0, τ1], where τ1 is an inverse local time at 0 for the unconditioned Brownian motion B, is known as a Brownian pseudo-bridge, and there is the following absolute continuity relation between the laws of B̃ and B found in [59]: for each non-negative measurable function g on C[0, 1],...

    [...]


Journal ArticleDOI
Abstract: Some general formulae are obtained for size-biased sampling from a Poisson point process in an abstract space where the size of a point is defined by an arbitrary strictly positive function. These formulae explain why in certain cases (gamma and stable) the size-biased permutation of the normalized jumps of a subordinator can be represented by a stickbreaking (residual allocation) scheme defined by independent beta random variables. An application is made to length biased sampling of excursions of a Markov process away from a recurrent point of its statespace, with emphasis on the Brownian and Bessel cases when the associated inverse local time is a stable subordinator. Results in this case are linked to generalizations of the arcsine law for the fraction of time spent positive by Brownian motion.

353 citations


01 Jan 2014
TL;DR: (1 < p ≤ ∞) [LS87f] (2) [HR88a].
Abstract: (1 < p ≤ ∞) [LS87f]. (2) [HR88a]. (2m− 2) [KL88]. (A0, A1)θ1 [Xu87a]. (α, β) [Pie88a, Fin88a]. (d ≥ 1) [Wsc85a]. (λ) [DM85b]. (Z/2) [Car86b]. (nα) [Sch85h]. (φ)2 [BM89c]. (τ − λ)u = f [Wei87r]. (x, t) [Lum87, Lum89]. (X1 −X3, X2 −X3) [SW87]. 0 [Caz88, Kas86, Pro87]. 0 < p < 1 [Cle87]. 1 [Bak85a, DD85, Drm87, Eli88, FT88a, Gek86d, HN88, Kos86a, LT89, Pet89a, Pro87, Tan87, vdG89]. 1/4 [KS86e]. 1 ≤ q < 2 [Gue86]. 2 [BPPS87, Cam88, Cat85a, ES87b, Gan85e, Gol86a, HRL89g, Hei85, Hua86, Kan89, KB86, Li86, LT89, Mil87b, Mur85a, Qui85b, SP89, Shi85, Spe86, Wal85b, Wan86]. 2m− 2 [Kos88b]. 2m− 3 [Kos88b]. 2m− 4 [Kos88b]. 2× 2 [Vog88]. 3 [Aso89, BPPS87, BW85c, BG88b, Che86d, Fis86, Gab85, Gu87a, HLM85b, Kam89b, Kir89c, Lev85c, Mil85c, Néd86, Pet86, Ron86, Sch85b, ST88, Tur88b, Wan86, Wen85, tDP89, vdW86]. 4 [Bau88a, Don85a, FKV88, Kha88, Kir89l, SS86, Seg85b, Wal85b]. 5 [Ito89, Kir89e, SV85]. 5(4) [Cas86]. 5819539783680 [KSX87]. 6 [PH89, Žub88].

171 citations


Journal ArticleDOI
Abstract: Levy discovered that the fraction of time a standard one-dimensional Brownian motion B spends positive before time t has arcsine distribution, both for a fixed time when B t ¬=;0 almost surely, and for t an inverse local time, when B t =0 almost surely. This identity in distribution is extended from the fraction of time spent positive to a large collection of functionals derived from the lengths and signs of excursions of B away from 0. Similar identities in distribution are associated with any process whose zero set is the range of a stable subordinator, for instance a Bessel process of dimension d for 0

136 citations


Journal ArticleDOI
Abstract: For a random process $X$ consider the random vector defined by the values of $X$ at times $0 < U_{n,1} < ... < U_{n,n} < 1$ and the minimal values of $X$ on each of the intervals between consecutive pairs of these times, where the $U_{n,i}$ are the order statistics of $n$ independent uniform $(0,1)$ variables, independent of $X$. The joint law of this random vector is explicitly described when $X$ is a Brownian motion. Corresponding results for Brownian bridge, excursion, and meander are deduced by appropriate conditioning. These descriptions yield numerous new identities involving the laws of these processes, and simplified proofs of various known results, including Aldous's characterization of the random tree constructed by sampling the excursion at $n$ independent uniform times, Vervaat's transformation of Brownian bridge into Brownian excursion, and Denisov's decomposition of the Brownian motion at the time of its minimum into two independent Brownian meanders. Other consequences of the sampling formulae are Brownian representions of various special functions, including Bessel polynomials, some hypergeometric polynomials, and the Hermite function. Various combinatorial identities involving random partitions and generalized Stirling numbers are also obtained.

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References
More filters

BookDOI
01 Jan 1980

369 citations


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353 citations


"Un processus qui ressemble au pont ..." refers background in this paper

  • ...Démonstration : Elle découle du théorème 3, et du théorème de retournement de Williams [7] selon lequel : (B ,u __ T)(d) (1-RL-u ; u ~ L)....

    [...]

  • ...D. Williams, Lect....

    [...]


Book ChapterDOI
01 Jan 1981

255 citations


Additional excerpts

  • ...Cette identité découle de ce que, d’après Getoor [3] (voir aussi Pitman-Yor [6]),...

    [...]

  • ...Démonstration : L’identité découle de ce que : - d’une part, le processus (R,u t), conditionnellement à L = t, a même loi que t), conditionnellement à Rt = 1 ; - d’autre part, pour toute fonction f : -~ 1R,+ , boré 1 ienne, on a : Cette identité découle de ce que, d’après Getoor [3] (voir aussi Pitman-Yor [6]), ona : _ dt) = v 1 v+1 e -l/2t dt alors que : 1 P(R1 f dx) = 1 x 2v+1 e -x2/2 dx. Corollaire 4 : Soit T = : Bt = 1}....

    [...]


Journal ArticleDOI

215 citations


Journal Article
Abstract: On etudie la valeur principale de Cauchy des temps locaux du mouvement brownien lineaire. En particulier, on donne sa loi pour diverses valeurs du temps; les calculs utilisent la theorie des excursions du mouvement brownien et menent a des resultats simples, relies a une formule de P. Levy

195 citations


Additional excerpts

  • ...o On a maintenant, à l’aide de ces remarques : E[F(~ ~ k t ; t ~ 1)] - E F( ~ R tT ^ ; t 1) n ’ 0 2To (d’après le théorème 3) = E[F(R~ ; u s 1) ~ R -L~] l u 2 1 R1 2J (d’après le théorème 2) = E[F(m(u) ; u s 1)] ] REFERENCES : [1] Ph....

    [...]

  • ...2 ) l ([1]) l Notons kt = sup{y : Aa da....

    [...]


Frequently Asked Questions (1)
Q1. What are the contributions mentioned in the paper "Un processus qui ressemble au pont brownien" ?

In this paper, the conditions générales d'utilisation ( http: //www.numdam.org/conditions ).