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Un processus qui ressemble au pont brownien

01 Jan 1987-Vol. 21, pp 270-275
TL;DR: In this paper, the conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions) of the agreement with the séminaire de probabilités (Strasbourg) are discussed.
Abstract: © Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1987, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire de probabilités (Strasbourg) (http://portail. mathdoc.fr/SemProba/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

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SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG)
PHILIPPE BIANE
JEAN-FRANÇOIS LE GALL
MARC YOR
Un processus qui ressemble au pont brownien
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 21 (1987), p. 270-275
<http://www.numdam.org/item?id=SPS_1987__21__270_0>
© Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1987, tous droits réservés.
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UN
PROCESSUS
QUI
RESSEMBLE
AU
PONT
BROWNIEN
Ph.
BIANE,
J.F.
LE
GALL
et
M.
YOR(*)
1.
.
ENONCE
DU
RESULTAT
PRINCIPAL.
Soit
(Bt,t >__
0)
mouvement
brownien
réel,
nul
en
0.
On
note
(Qt,t >__
0)
son
temps
local
en
0,
et
Tt
=
>
t}.
Le
processus
(X =
20142014
;
u ~
1)
est
nul
en
0
et
en
1,
et
la
normalisation
ainsi
effectuée
sur
le
mouvement
brownien
suggère
que
X
a
pour
variation
quadrati-
que
u.
Il
est
alors
naturel
de
chercher
à
comparer
ce
processus
et
le
pont
brownien
(p (u) ,u
1 ) .
On
a
le
Théorème
1
:
Désignons
pan
a
te
temps
local
de
p,
au
niveau
0,
et
à
1.
.
Alors, pour
toute
F :
:
borélienne,
on
a
:
(1.a)
1)] =
~]
j
2.
QUELQUES
ENONCES
VOISINS.
Avant
de
démontrer
le
théorème
1,
citons
d’autres
exemples
intéressants
de
"re-
normalisation"
du
mouvement
brownien,
ou
de
processus
de
Bessel,
qui
nous
permet-
tront,
par
la
suite,
de
compléter
le
théorème
1.
(2.1)
Il
est
bien
connu
que,
si
g1 =
sup{s
1
:
Bs
=
0},
alors
( g 1
Bug1 ; u ~
1)
est
un
pont
Brownien
qui
est,
>
en
outre,
>
indépendant
de
g1.
(2. 2)
ChlIDg
[2]
]
a
étudié
le
méandre
brown ien
(m(u) ~
1 1-g1
|B
g1+u
(1-g1
)| ;
u ~
1).
On
a
le
Théorème 2
([n) :
:
Pour
toute
fonctionnelle
J=
:
C
(
[ 0,
J
];IR+)
~IR+,
borélienne,
>
on a
E[F(m(u) ; u ~
1)] = E[F(Ru ; u ~
1]
03C0 2 1 R1]
11
)
le
de
de
dimension
3,
,
de
C.
(2.3~
Considérons
maintenant
0)
processus
de
Bessel
de
dimension
d -
2(v+1)
>
2
(ou,
ce
qui
est
équivalent,
d’indice v >
0),
et
L = sup{t :
t
Rt =1}.
On
a
alors
le
(*)
)
UNIVERSITE
PARIS
VI -
Laboratoire
de
Probabilités -
4,
place Jussieu -
Tour
56
3ème
Etage -
Couloir
56-66 -
75252
PARIS
CEDEX
05

271
Théorème
3
:
Pour
toute
fonctionnele F :
C
( [ 0,1
]
i
~
R+,
borélienne, on a
:
E[F(1 L RuL ; u ~ 1)] = E[F(Ru ; u ~ 1) 203BD R21].
Démonstration :
L’identité
découle
de
ce
que :
-
d’une
part,
le
processus
(R,u
t),
conditionnellement
à
L
=
t,
a
même
loi
que
t),
conditionnellement
à
Rt =
1
;
-
d’autre
part,
pour
toute
fonction
f :
-~
1R,+ ,
boré 1 ienne,
on
a :
Cette
identité
découle
de
ce
que,
d’après
Getoor
[3]
(voir
aussi
Pitman-Yor
[6]),
ona :
_
dt)
=
v 1 v+1 e -l/2t
dt
alors
que :
1
P(R1
f
dx)
=
1
x 2v+1 e -x2/2
dx.
Corollaire
4
:
Soit
T
=
:
Bt
=
1}.
.
Pour
toute
fonctionnelle F
:
C ( [0,1 j ;
IR) ~IR+,
borélienne,
E[F(2014 (7 -
BuT)
;
u ‘ >>] -
; u ~ 1)
1 2R21]
1
J
ic.i
un
processus
de
Bessel
de
3,
,
de
0.
Démonstration :
Elle
découle
du
théorème
3,
et
du
théorème
de
retournement
de
Williams
[7]
selon
lequel :
(B ,u __
T)(d) (1-RL-u
; u ~
L).
3.
DEMONSTRATIDN
DES
THEOREMES
1
et
2.
(~.Z~
En
[1]
]
(théorème
6.1)),
les
auteurs
donnent
un
résumé
des
principales
formules
de
la
théorie
des
excursions
browniennes.
En
particulier,
les
identités
suivantes
ont
lieu,
entre
mesures
o-finies
sur
l’espace
des
fonctions
conti-
nues
w
définies
sur
un
intervalle
[0,~(w)]
]
c
(3.a)
)
~0
0
v2ïTu
P s
désigne
la
loi
du
mouvement
brownien
issu
de
0,
et
arrêté
en
T
s
;
Qu
désigne
la
loi
du
pont
brownien
de
longueur
u ;
(3.6)
)
~0
0
Ru
désigne
la
loi
du
méandre
brownien
de
longueur
u ;

272
L
S a
désigne
la
loi
du
processus
de
Bessel
de
dimension
3,
arrêté
à
son
dernier
temps
de
passage
en
a.
(3.2~
Les
théorèmes
1
et
2
découlent
respectivement
de
(3.a)
et
(3.b).
La
démonstration
du
théorème
2
à
partir
de
( 3. ~ )
étant
faite
en
[ 1 ] ,
montrons
com-
ment
le
théorème
1
découle
de
(3.a).
.
D’après
3 . a ) ,
on
a,
pour
toute
fonctionnelle
F :
C ( [ 0,1 ]
R)
-~ lR+,
borélienne,
et
toute
fonction
h :
lR+ ~
1R+
borélienne :
~0 ds
E[F( 1
B
;
u s
1 )
h(T )
]
=
h(u)
.
v ~
1)]
l
ce
qui
équivaut,
par
scaling,
à :
ds
E[F( 1
B
;
u
1 )
]’
=
r~
du
h(u)
E[F( y) ’
v ~
1 )
.
0
03C41
u03C41
1
0
203C0u
En
faisant
le
changement
de
variables
t
=
1
dans
le
membre
de
gauche,
il
vient
(3.c)
; u ~ 1)] = 2 03C0
E[F(p(v) ;
1)].
Cette
identité
équivaut
à
(1.a)
,
une
fois
remarqué
le
fait
que
le
temps
local
de
(X =E
1
B
;
u ~
1)
au
niveau
0,
et
au
temps
1,
est
1
.
u
~- uT
~
J-.-
4.
QUELQUES
REMARQUES
RELATIVES
AU
THEOREME
Z.
.
(4.Z)
Notons 03BB
le
temps
local
au
niveau
0,
et
au
temps
1,
du
pont
brownien.
Nous
venons
de
remarquer
que
le
temps
local
de
(X -
1 03C41
B
u03C41
;
u 5
1)
au
niveau
0
et
au
temps
1
est
_1
.
v"T1
On
a
donc,
d’après
la
formule
ou
mieux
(3.c)
:
pour
toute
fonction
f :
R
-~
borélienne,
(4.a)
]
=
E[
n
f ( ~ )
].
2T
1
~
Or,
1
(d)
,
N
désigne
une
variable
gaussienne,
réelle,
centrée,
réduite.
~7
On
déduit
alors
de
(4,a)
que :
;4.b)
>
x
(d)
!~!
I
(g)
,
~1
désigne
la
valeur
au
temps
1
du
mouvement
brownien complexe
issu
de
0,
et e
une
variable
exponentielle
de
paramètre
1.

273
L’identité
en
loi
(4.6)
peut
bien
sûr
être
déduite
directement
de
la
connaissance
de
la
loi
conjointe
de
eB1 ;
~1)
ou
bien
encore
du
résultat
(2.?)
qui
entraîne :
l1 (d)
g1.03BB
avec
g1
i
et a
indépendantes.
Or,
on
sait
par
ailleurs
que :
°
avec
g1
et e
indépendantes,
et
e
variable
exponentielle
de
paramètre
1.
(4.2)
Inversement,
ayant
remarqué
l’identité
en
loi
(4.b),
dont
(4.a) découle,
on
peut
donner
une
démonstration
plus
intuitive
du
théorème
1,
que
celle,
rigou-
reuse,
mais
un
peu
formelle,
donnée
en
(3.2).
En
effet,
il
suffit
alors
de
montrer
que :
u __ 1 )
1
- a2) (d)
( (p (u) ~u ~
1)1
I
~ - a 1 )’
ce
qui
équivaut,
par
scaling
d’une
part,
et
par
définition
de
p d’autre
part,
à :
((B ,u s
1)
=
1)
(d)
((B ,u s
1)!B~ =
0 ; Q -
x)
l’on
a
posé
x
=
1/a.
Or,
conditionner
par
(Tx
=
1 )
revient
à
conditionner
par
B1 =
0
et * 1 =
x.
(4.3)
Pour
compléter
la
description
de
X,
donnons
sa
représentation
comme
semi-martingale,
précisément :
X
est
la
somme
d’un
mouvement
brownien,
et
d’un
processus
à
variation
bornée.
En
effet,
lorsqu’on
fait
le
grossissement
initial
de
la
filtration
du
mouvement
brownien
B
avec
la
variable
T1’
>
on
obtient
(cf :
[5],
Récapitulatif,
par
ex.)
dans
la
filtration
ainsi
grossie :
(4.c)
+ rtAT
i
ds
~
~ ~ ~
t
t ~~
J
°
*~
+
l
T
-s
avec
0)
mouvement
Brownien
indépendent
de
r..
On
en
déduit,
par
scaling
de
rapport
T1 ’
:
(4.d)
Xt =
t+
t0
ds sgn(Xs) {1 L1-Ls+|Xs| - L1-Ls+|Xs| 1-s
}
l’on
a
noté :
Lu
=
1 1 R
uT
1
1)
le
temps
local
en
0
de
(X
u,u ~
1)
et
’*2014
03B2t03C41 ; t ~ 1)
un
nouveau
mouvement
brownien.

Citations
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01 Jan 1998
TL;DR: In this paper, a Brownian crook who spent a month in a large metropolis is described, and the number of nights he spent in hotels A, B, C... is known; but not the order, nor his itinerary.
Abstract: Imagine a Brownian crook who spent a month in a large metropolis. The number of nights he spent in hotels A, B, C... etc. is known; but not the order, nor his itinerary. So the only information the police has is total hotel bills....

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Abstract: The scaling property of Brownian motion is exploited systematically in order to extend Paul Levy's arc sine law to Brownian motion perturbed by its local time at 0. Other important ingredients of the proofs are some Ray-Knight theorems for local times.

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TL;DR: Aldous and Pitman as discussed by the authors studied asymptotic distributions as n → ∞, of various functional of a uniform random mapping of the set {1,..., n}, by constructing a mapping-walk and showing these random walks converge weakly to a reflecting Brownian bridge.
Abstract: Author(s): Aldous, D; Pitman, J | Abstract: Aldous and Pitman (1994) studied asymptotic distributions as n → ∞, of various functional of a uniform random mapping of the set {1,..., n}, by constructing a mapping-walk and showing these random walks converge weakly to a reflecting Brownian bridge. Two different ways to encode a mapping as a walk lead to two different decompositions of the Brownian bridge, each defined by cutting the path of the bridge at an increasing sequence of recursively defined random times in the zero set of the bridge. The random mapping asymptotics entail some remarkable identities involving the random occupation measures of the bridge fragments defined by these decompositions. We derive various extensions of these identities for Brownian and Bessel bridges, and characterize the distributions of various path fragments involved, using the Levy-lto theory of Poisson processes of excursions for a self-similar Markov process whose zero set is the range of a stable subordinator of index α ∈ (0,1).

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Cites methods from "Un processus qui ressemble au pont ..."

  • ...The following Lemma was established by Biane, Le Gall and Yor [11] in the Brownian case, and extended to the Bessel case in [31, Theorem 5.3]....

    [...]

  • ...The following Lemma was established by Biane, Le Gall and Yor [11] in the Brownian case, and extended to the Bessel case in [31, Theorem 5....

    [...]

  • ...Following Pitman-Yor [35, x2], we make the following basic assumptions: B := (Bt; t 0) is a real or vector-valued strong Markov process, started at B0 = 0, with state space a cone contained in Rd for some d = 1; 2; : : :, and c adl ag paths....

    [...]

  • ...Compare with similar constructions in [11, 13, 25, 33]....

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TL;DR: In this article, an identity in distribution due to Knight for Brownian motion is extended in two different ways: first by replacing the supremum of a reflecting Brownians motion by the range of an unreflected Brownians, and second by replacing it by a recurrent Bessel process.
Abstract: An identity in distribution due to Knight for Brownian motion is extended in two different ways: first by replacing the supremum of a reflecting Brownian motion by the range of an unreflected Brownian motion and second by replacing the reflecting Brownian motion by a recurrent Bessel process. Both extensions are explained in terms of random Brownian scaling transformations and Brownian excursions. The first extension is related to two different constructions of Ito’s law of Brownian excursions, due to Williams and Bismut, each involving back-to-back splicing of fragments of two independent three-dimensional Bessel processes. Generalizations of both splicing constructions are described, which involve Bessel processes and Bessel bridges of arbitrary positive real dimension.

17 citations


Additional excerpts

  • ...Lemma 8 [3] Let X(u) := Bu = p ; 0 u 1....

    [...]

References
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375 citations


"Un processus qui ressemble au pont ..." refers background in this paper

  • ...Démonstration : Elle découle du théorème 3, et du théorème de retournement de Williams [7] selon lequel : (B ,u __ T)(d) (1-RL-u ; u ~ L)....

    [...]

  • ...D. Williams, Lect....

    [...]

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01 Jan 1981

265 citations


Additional excerpts

  • ...Cette identité découle de ce que, d’après Getoor [3] (voir aussi Pitman-Yor [6]),...

    [...]

  • ...Démonstration : L’identité découle de ce que : - d’une part, le processus (R,u t), conditionnellement à L = t, a même loi que t), conditionnellement à Rt = 1 ; - d’autre part, pour toute fonction f : -~ 1R,+ , boré 1 ienne, on a : Cette identité découle de ce que, d’après Getoor [3] (voir aussi Pitman-Yor [6]), ona : _ dt) = v 1 v+1 e -l/2t dt alors que : 1 P(R1 f dx) = 1 x 2v+1 e -x2/2 dx. Corollaire 4 : Soit T = : Bt = 1}....

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TL;DR: In this article, the valeur principale de Cauchy des temps locaux du mouvement brownien lineaire is examined, and a loi for diverses valeurs du temps is presented.
Abstract: On etudie la valeur principale de Cauchy des temps locaux du mouvement brownien lineaire. En particulier, on donne sa loi pour diverses valeurs du temps; les calculs utilisent la theorie des excursions du mouvement brownien et menent a des resultats simples, relies a une formule de P. Levy

196 citations


Additional excerpts

  • ...o On a maintenant, à l’aide de ces remarques : E[F(~ ~ k t ; t ~ 1)] - E F( ~ R tT ^ ; t 1) n ’ 0 2To (d’après le théorème 3) = E[F(R~ ; u s 1) ~ R -L~] l u 2 1 R1 2J (d’après le théorème 2) = E[F(m(u) ; u s 1)] ] REFERENCES : [1] Ph....

    [...]

  • ...2 ) l ([1]) l Notons kt = sup{y : Aa da....

    [...]

Frequently Asked Questions (1)
Q1. What are the contributions mentioned in the paper "Un processus qui ressemble au pont brownien" ?

In this paper, the conditions générales d'utilisation ( http: //www.numdam.org/conditions ).