SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG)
PHILIPPE BIANE
JEAN-FRANÇOIS LE GALL
MARC YOR
Un processus qui ressemble au pont brownien
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 21 (1987), p. 270-275
<http://www.numdam.org/item?id=SPS_1987__21__270_0>
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UN
PROCESSUS
QUI
RESSEMBLE
AU
PONT
BROWNIEN
Ph.
BIANE,
J.F.
LE
GALL
et
M.
YOR(*)
1.
.
ENONCE
DU
RESULTAT
PRINCIPAL.
Soit
(Bt,t >__
0)
mouvement
brownien
réel,
nul
en
0.
On
note
(Qt,t >__
0)
son
temps
local
en
0,
et
Tt
=
>
t}.
Le
processus
(X =
20142014
;
u ~
1)
est
nul
en
0
et
en
1,
et
la
normalisation
ainsi
effectuée
sur
le
mouvement
brownien
suggère
que
X
a
pour
variation
quadrati-
que
u.
Il
est
alors
naturel
de
chercher
à
comparer
ce
processus
et
le
pont
brownien
(p (u) ,u
1 ) .
On
a
le
Théorème
1
:
Désignons
pan
a
te
temps
local
de
p,
au
niveau
0,
et
à
1.
.
Alors, pour
toute
F :
:
borélienne,
on
a
:
(1.a)
1)] =
~]
j
2.
QUELQUES
ENONCES
VOISINS.
Avant
de
démontrer
le
théorème
1,
citons
d’autres
exemples
intéressants
de
"re-
normalisation"
du
mouvement
brownien,
ou
de
processus
de
Bessel,
qui
nous
permet-
tront,
par
la
suite,
de
compléter
le
théorème
1.
(2.1)
Il
est
bien
connu
que,
si
g1 =
sup{s
1
:
Bs
=
0},
alors
( g 1
Bug1 ; u ~
1)
est
un
pont
Brownien
qui
est,
>
en
outre,
>
indépendant
de
g1.
(2. 2)
ChlIDg
[2]
]
a
étudié
le
méandre
brown ien
(m(u) ~
1 1-g1
|B
g1+u
(1-g1
)| ;
u ~
1).
On
a
le
Théorème 2
([n) :
:
Pour
toute
fonctionnelle
J=
:
C
(
[ 0,
J
];IR+)
~IR+,
borélienne,
>
on a
E[F(m(u) ; u ~
1)] = E[F(Ru ; u ~
1]
03C0 2 1 R1]
où
11
)
le
de
de
dimension
3,
,
de
C.
(2.3~
Considérons
maintenant
0)
processus
de
Bessel
de
dimension
d -
2(v+1)
>
2
(ou,
ce
qui
est
équivalent,
d’indice v >
0),
et
L = sup{t :
t
Rt =1}.
On
a
alors
le
(*)
)
UNIVERSITE
PARIS
VI -
Laboratoire
de
Probabilités -
4,
place Jussieu -
Tour
56
3ème
Etage -
Couloir
56-66 -
75252
PARIS
CEDEX
05
271
Théorème
3
:
Pour
toute
fonctionnele F :
C
( [ 0,1
]
i
~
R+,
borélienne, on a
:
E[F(1 L RuL ; u ~ 1)] = E[F(Ru ; u ~ 1) 203BD R21].
Démonstration :
L’identité
découle
de
ce
que :
-
d’une
part,
le
processus
(R,u
t),
conditionnellement
à
L
=
t,
a
même
loi
que
t),
conditionnellement
à
Rt =
1
;
-
d’autre
part,
pour
toute
fonction
f :
-~
1R,+ ,
boré 1 ienne,
on
a :
Cette
identité
découle
de
ce
que,
d’après
Getoor
[3]
(voir
aussi
Pitman-Yor
[6]),
ona :
_
dt)
=
v 1 v+1 e -l/2t
dt
alors
que :
1
P(R1
f
dx)
=
1
x 2v+1 e -x2/2
dx.
Corollaire
4
:
Soit
T
=
:
Bt
=
1}.
.
Pour
toute
fonctionnelle F
:
C ( [0,1 j ;
IR) ~IR+,
borélienne,
E[F(2014 (7 -
BuT)
;
u ‘ >>] -
; u ~ 1)
1 2R21]
où
1
J
ic.i
un
processus
de
Bessel
de
3,
,
de
0.
Démonstration :
Elle
découle
du
théorème
3,
et
du
théorème
de
retournement
de
Williams
[7]
selon
lequel :
(B ,u __
T)(d) (1-RL-u
; u ~
L).
3.
DEMONSTRATIDN
DES
THEOREMES
1
et
2.
(~.Z~
En
[1]
]
(théorème
6.1)),
les
auteurs
donnent
un
résumé
des
principales
formules
de
la
théorie
des
excursions
browniennes.
En
particulier,
les
identités
suivantes
ont
lieu,
entre
mesures
o-finies
sur
l’espace
des
fonctions
conti-
nues
w
définies
sur
un
intervalle
[0,~(w)]
]
c
(3.a)
)
~0
0
v2ïTu
où
P s
désigne
la
loi
du
mouvement
brownien
issu
de
0,
et
arrêté
en
T
s
;
Qu
désigne
la
loi
du
pont
brownien
de
longueur
u ;
(3.6)
)
~0
0
où
Ru
désigne
la
loi
du
méandre
brownien
de
longueur
u ;
272
L
S a
désigne
la
loi
du
processus
de
Bessel
de
dimension
3,
arrêté
à
son
dernier
temps
de
passage
en
a.
(3.2~
Les
théorèmes
1
et
2
découlent
respectivement
de
(3.a)
et
(3.b).
La
démonstration
du
théorème
2
à
partir
de
( 3. ~ )
étant
faite
en
[ 1 ] ,
montrons
com-
ment
le
théorème
1
découle
de
(3.a).
.
D’après
3 . a ) ,
on
a,
pour
toute
fonctionnelle
F :
C ( [ 0,1 ]
R)
-~ lR+,
borélienne,
et
toute
fonction
h :
lR+ ~
1R+
borélienne :
~0 ds
E[F( 1
B
;
u s
1 )
h(T )
]
=
h(u)
.
v ~
1)]
l
ce
qui
équivaut,
par
scaling,
à :
ds
E[F( 1
B
;
u
1 )
]’
=
r~
du
h(u)
E[F( y) ’
v ~
1 )
.
0
03C41
u03C41
1
’
0
203C0u
En
faisant
le
changement
de
variables
t
=
1
dans
le
membre
de
gauche,
il
vient
(3.c)
; u ~ 1)] = 2 03C0
E[F(p(v) ;
1)].
Cette
identité
équivaut
à
(1.a)
,
une
fois
remarqué
le
fait
que
le
temps
local
de
(X =E
1
B
;
u ~
1)
au
niveau
0,
et
au
temps
1,
est
1
.
u
~- uT
~
J-.-
4.
QUELQUES
REMARQUES
RELATIVES
AU
THEOREME
Z.
.
(4.Z)
Notons 03BB
le
temps
local
au
niveau
0,
et
au
temps
1,
du
pont
brownien.
Nous
venons
de
remarquer
que
le
temps
local
de
(X -
1 03C41
B
u03C41
;
u 5
1)
au
niveau
0
et
au
temps
1
est
_1
.
v"T1
On
a
donc,
d’après
la
formule
ou
mieux
(3.c)
:
pour
toute
fonction
f :
R
-~
borélienne,
(4.a)
]
=
E[
n
f ( ~ )
].
2T
1
~
Or,
1
(d)
,
où
N
désigne
une
variable
gaussienne,
réelle,
centrée,
réduite.
~7
On
déduit
alors
de
(4,a)
que :
;4.b)
>
x
(d)
!~!
I
(g)
,
où
~1
désigne
la
valeur
au
temps
1
du
mouvement
brownien complexe
issu
de
0,
et e
une
variable
exponentielle
de
paramètre
1.
273
L’identité
en
loi
(4.6)
peut
bien
sûr
être
déduite
directement
de
la
connaissance
de
la
loi
conjointe
de
eB1 ;
~1)
ou
bien
encore
du
résultat
(2.?)
qui
entraîne :
l1 (d)
g1.03BB
avec
g1
i
et a
indépendantes.
’
Or,
’
on
sait
par
ailleurs
que :
°
avec
g1
et e
indépendantes,
et
e
variable
exponentielle
de
paramètre
1.
(4.2)
Inversement,
ayant
remarqué
l’identité
en
loi
(4.b),
dont
(4.a) découle,
on
peut
donner
une
démonstration
plus
intuitive
du
théorème
1,
que
celle,
rigou-
reuse,
mais
un
peu
formelle,
donnée
en
(3.2).
En
effet,
il
suffit
alors
de
montrer
que :
u __ 1 )
1
- a2) (d)
( (p (u) ~u ~
1)1
I
~ - a 1 )’
ce
qui
équivaut,
par
scaling
d’une
part,
et
par
définition
de
p d’autre
part,
à :
((B ,u s
1)
=
1)
(d)
((B ,u s
1)!B~ =
0 ; Q -
x)
où
l’on
a
posé
x
=
1/a.
Or,
conditionner
par
(Tx
=
1 )
revient
à
conditionner
par
B1 =
0
et * 1 =
x.
(4.3)
Pour
compléter
la
description
de
X,
donnons
sa
représentation
comme
semi-martingale,
précisément :
X
est
la
somme
d’un
mouvement
brownien,
et
d’un
processus
à
variation
bornée.
En
effet,
lorsqu’on
fait
le
grossissement
initial
de
la
filtration
du
mouvement
brownien
B
avec
la
variable
T1’
>
on
obtient
(cf :
[5],
Récapitulatif,
par
ex.)
dans
la
filtration
ainsi
grossie :
(4.c)
+ rtAT
i
ds
~
~ ~ ~
t
t ~~
J
°
*~
+
l
T
-s
avec
0)
mouvement
Brownien
indépendent
de
r..
On
en
déduit,
par
scaling
de
rapport
T1 ’
:
(4.d)
Xt =
t+
t0
ds sgn(Xs) {1 L1-Ls+|Xs| - L1-Ls+|Xs| 1-s
}
où
l’on
a
noté :
Lu
=
1 1 R
uT
1
1)
le
temps
local
en
0
de
(X
u,u ~
1)
’
et
’*2014
03B2t03C41 ; t ~ 1)
un
nouveau
mouvement
brownien.