Zur Bedeutung diskreter Arbeitsweisen im Mathematikunterricht

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Summary

6 Ergebnisse der empirischen Untersuchun g................................................... 161

• Hierzu werden zunächst bestehende fachdidaktische Vorschläge für die einzelnen Teilgebiete der Diskreten Mathematik analysiert.
• Diese Arbeitsweisen werden auf verschiedenen Handlungsebenen analysiert, der Ebene der mathematischen Objekte, der Darstellungsebene und der Werkzeugebene.
• Im siebten Kapitel werden die Ergebnisse der empirischen Untersuchung unter Berücksichtigung der drei Arbeitsebenen Objekt, Darstellung und Werkzeug sowie im Hinblick auf den Lernerfolg und den Verständniszuwachs zusammengefasst und diskutiert.
• Differenzenfunktion entwickelt und die Problemlösekompetenz gefördert werden.

1.1 Kombinator ik

• Die Anfänge der Kombinatorik – man versteht darunter im weiteren Sinne die Beschäftigung mit natürlichen Zahlen oder endlichen Mengen – waren zunächst eng mit zahlentheoretischen Fragestellungen verbunden.6.
• Jahrhundert und 6 Einen Überblick über die historische Entwicklung der Kombinatorik gibt Flachsmeyer 1972, S. 215 ff .
• 7 Magische Quadrate sind Zahlenquadrate, deren Zeilen-, Spalten-, und Diagonalsummen denselben Wert liefern.
• Arithmetische Folgen k-ter Ordnung sind Folgen, deren k-te Differenzenfolge konstant und deren (k–1)-te Differenzenfolge nicht konstant ist.
• 16 Neben dem Versuch, die algebraische Sicht der Analysis weiterzuentwickeln und mit kombinatorischen Mitteln zu systematisieren, leisteten die Arbeiten der kombinatorischen Schule auch einen wichtigen Beitrag zur Etablierung einer eigenständigen Disziplin Kombinatorik (vgl. Jahnke 1999, S. 161 ff) .

1.2 Graphentheor ie

• Die Entwicklung der Graphentheorie begann mit einer Arbeit Eulers aus dem Jahr 1736 über das so genannte Königsberger Brückenproblem.
• Euler erstellte ein abstraktes Wegenetz, indem er verschiedene Landgebiete durch Punkte und die jeweili gen Brückenverbindungen durch Linien darstellte.
• Im Jahre 1936 erschien mit dem Lehrbuch von König eine erste umfassende Darstellung der Graphentheorie für den deutschen Sprachraum.
• Die Entwicklung der Graphentheorie in den 30er Jahren war wesentlich durch das Interesse an Eigenschaften mathematischer Strukturen bzw.
• 20 Es handelte sich hierbei um das Schlegeldiagramm eines regulären Dodekaeders.

1.4 Komplexitätstheor ie

• Durch die Möglichkeiten der elektronischen Datenverarbeitung gewann die Entwicklung von Lösungsverfahren zur Konstruktion optimaler Konfigurationen an Bedeutung.
• Von einer bestimmten Anzahl von Produktionsstätten sollen Waren zu einer bestimmten Anzahl von Abnehmerstätten transportiert werden.
• Zur Abschätzung des Zeitaufwands definiert man die Zeitkomplexität als eine Funktion ( )nf , welche die Anzahl der (Rechen-)Schritte angibt, die der Algorithmus zur Lösung eines Problems vom Umfang n maximal benötigt.
• Die Klasse NP besteht aus Problemen, bei denen eine Verifizierung einer gegebenen Lösung mit polynomialem Zeitaufwand möglich ist.
• Die Lösung dieses Problems ist dabei nicht schwerer als die des zugehörigen Optimierungsproblems.

2 Diskrete Mathematik im Mathematikunterr icht

• Diskrete Mathematik stellt kein „Standardthema“ des derzeitigen Mathematikunterrichts dar.
• Dennoch waren diskrete Inhalte und Themen immer wieder Gegenstand der didaktischen Diskussion.
• Im Rahmen dieses Kapitels sollen zunächst Ansätze dieser Diskussion vorgestellt und die wesentlichen Argumentationslinien aufgezeigt werden.
• Dabei wird wie im ersten Kapitel eine inhaltli che, fachgebundene Perspektive eingenommen.
• Zur Analyse der didaktischen Bedeutung diskreter Mathematik im Mathematikunterricht wird daran anschließend ein Sichtwechsel vorgenommen.

2.1 Rückblick auf die Entwicklung diskreter Mathematik im Mathematikunterr icht

• Das didaktische Potenzial diskreter Themengebiete wie Kombinatorik, Graphentheorie und Kryptographie wurden in der Vergangenheit im Allgemeinen fachgebunden diskutiert.
• Eine breitere Sicht auf das gesamte Spektrum der Diskreten Mathematik zeigte sich Ende der 80er Jahre insbesondere in den USA.
• Den Hintergründen für diese Entwicklung und den Zielen, die mit einer möglichen Integration diskreter Themen in den Mathematikunterricht verbundenen wurden, soll im Folgenden nachgegangen werden.

2.1.1 Kombinator ik als (eigenständiger) Unterr ichtsgegenstand

• In der didaktischen Diskussion um die Bedeutung und Einordnung kombinatorischer Fragestellungen lassen sich zwei Sichtweisen unterscheiden.
• Aufgrund der wachsenden Bedeutung statistischer Fragestellungen wird heute jedoch verstärkt gefordert, den kombinatorischen „Vorlauf“ innerhalb der Stochastik der Sekundarstufe II auf ein Minimum zu beschränken und der beurteilenden Statistik eine größere Beachtung zu schenken.
• In den 80er Jahren sprechen sich Danckwerts und Vogel (1983a) für die Behandlung der Kombinatorik als eigenständigen Unterrichtsgegenstand aus und geben in dem MUThemenheft „Kombinatorik“ zahlreiche Beispiele, die sowohl dem Abzählaspekt als auch dem Existenz- und Optimierungsaspekt Rechnung tragen.
• Abzählprobleme werden dabei unter einem neuen didaktischen Blickwinkel betrachtet: Anhand der Methode der erzeugenden Funktionen lässt sich diese Beziehung in der Sekundarstufe II formal weiterführen und vertiefen sowie die Bedeutung der Algebra beim Lösen kombinatorischer Probleme verdeutlichen.53.

2.1.2 Graphentheoretische Elemente im Mathematikunterr icht

• In Zusammenhang mit Bestrebungen, Elemente der Geometrie im Grundschulunterricht zu etablieren, wird von der deutschen Mathematikdidaktik mit Beginn der 70er Jahre verstärkt auch für eine Integration graphentheoretischer Inhalte in den Mathematikunterricht der Grundschule plädiert.
• Im Rahmen einer propädeutischen Behandlung geometrischer, graphentheoretischer bzw.
• Die Graphentheorie kann als ein Teilgebiet der kombinatorischen Topologie aufgefasst werden.
• Die Lehrpläne der Grundschulen sehen diese im Rahmen einer geometrischen Propädeutik nicht mehr vor, da ihre Behandlung weder aus entwicklungspsychologischer noch aus fachwissenschaftli cher Sicht gerechtfertigt erscheint.

2.1.3 Codierungstheor ie und Kryptographie als Gegenstand des Mathematik-

• Und/oder Informatikunterr ichts Erste Vorschläge zur Integration der Informationstheorie bzw.
• Das von ihm herausgegebene MU-Themenheft „ Informationstheorie“ führt zunächst in die wesentlichen Begriffe dieser Theorie ein und zeigt anschließend für die Schule relevante Aspekte auf.
• Im Mathematikunterricht sieht man demgegenüber in der Behandlung von Kryptographie und Codierungstheorie eine Möglichkeit, allgemeine Lernziele wie Modellbilden und Problemlösen zu betonen, sowie viele traditionelle Lerninhalte wie Stellenwertsysteme, Primzahlen, Teilerfremdheit, Prozentrechnung und Statistik anwendungsorientiert zu üben.62 Dabei ist das Vermitteln einer informatorischen Grundbildung an keine durchgängige Computernutzung gebunden, wie Herget (1989) herausstellt .
• Damit werden Inhalte der Codierungstheorie insbesondere für einen anwendungsorientierten Mathematikunterricht bedeutsam.

2.1.4 Zur Beziehung „Diskrete Mathematik – Kontinuierliche Mathematik“

• Zwischen diskreter und kontinuierlicher Mathematik63 gibt es viele Beziehungen.
• Diskrete Verfahren können Näherungslösungen für kontinuierliche Probleme, wie etwa aus dem Bereich der Algebra und Analysis, liefern.
• Darüber hinaus gibt es für zahlreiche kontinuierliche Konzepte ähnliche, vergleichbare diskrete Begriffe und Verfahren.
• So bestehen Verbindungen oder sogar Analogien zwischen der diskreten und kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsrechnung, zwischen der Differenzen- und der Differentialrechnung und zwischen der Theorie der Differenzengleichungen und der Differenzialgleichungen.
• Im Zentrum dieser Diskussion stand eine „klassische“ kontinuierliche Disziplin, die Analysis.

2.1.5 Sichtweisen auf diskrete Mathematik im Mathematikunterr icht

• In den vorstehend skizzierten Begründungsansätzen zur Behandlung bestimmter diskreter Inhalte zeigen sich viele Beziehungen zu Inhalten und Zielen des gegenwärtigen Mathematikunterrichts.
• Betrachtet man die didaktische Diskussion, erscheinen drei Sichtweisen oder Aspekte besonders bedeutsam, die in Beziehung zur Rolle diskreter Mathematik in der historischen Entwicklung gesehen werden können.
• Begriffsbildungsaspekt Diskrete (und damit „elementare“) Begriffe und Methoden können im Rahmen des Ma- thematikunterrichts zur Vorbereitung bzw.
• Mit der Behandlung diskreter Modelle im Mathematikunterricht können einige dieser Anwendungen aufgezeigt sowie Modellbildungsaktivitäten initii ert werden.
• Zur Verdeutlichung dieser Auffassung sollen im Folgenden einige diskrete Inhalte detailli ert im Hinblick auf die Ziele eines problemorientierten Mathematikunterrichts, eines anwendungsorientierten Mathematikunterrichts sowie hinsichtlich ihres Beitrags zum Lernen für den Mathematikunterricht bedeutsamer Begriffe analysiert werden.

2.2 Diskrete Mathematik als Feld zum Problemlösen

• Die Mathematik als systematische, deduktive Wissenschaft entwickelt sich durch einen Prozess des Experimentierens, Vermutens und Widerlegens ständig weiter.75 Forderungen, den induktiven Aspekt bzw.
• In den kognitionspsychologischen Modellen zur Beschreibung menschlichen Wissens wird in diesem Zusammenhang von zwei verschiedenen Wissensstrukturen ausgegangen, die in einer Wechselbeziehung zueinander stehen.
• Wert auf ein selbstständiges, aktives, entdeckendes Lernen gelegt wird (vgl. Blum 1998).

2.2.1 Abzählprobleme

• Bei Abzählproblemen geht es um das Zählen gewisser Objekte und um das Finden und Aufstellen einer Zählfolge in expliziter, rekursiver oder Summendarstellung.
• Conway & Guy behandeln u. a. ausführlich die figurierten Zahlen – auch unter Berücksichtigung der dritten Dimension – sowie die Fibonacci-Zahlen, die hinsichtlich ihrer Bedeutung in der Botanik analysiert werden.
• Eine weitere Lösungsstrategie, die zu einer Summenformel führt, setzt bei der expliziten Formel für die Folge der Dreieckszahlen D an, die mit Hil fe eines CAS einfach berechnet werden kann: 2 )1( )( 1 +== ∑ = nn inD n i .
• So lassen sich die Polygonalzahlen durch ein Polynom 2. Grades darstellen.
• Wie bei der Kreisaufgabe kann auch hier die explizite Formel durch die Analyse der Differenzenfolgen gewonnen werden.

2.2.2 Graphentheoretische Probleme

• Graphentheoretische Fragestellungen lassen sich häufig in interessante Anwendungskontexte einbetten bzw.
• 92 Kießwetter & Rosenkranz (1982) schlagen in diesem Zusammenhang vor, die Begriffsbezeichnungen den Schülern zunächst selbst zu überlassen.
• So seien Bezeichnungen wie Knoten, Netz, Gerüst häufig näher liegend als die entsprechenden „ungewohnten“ Fachtermini Ecke, Graph, Baum.
• Als Konstruktionsprobleme werden Probleme bezeichnet, die durch einen Algorithmus gelöst werden können.
• - Existenzsätze Charakterisierung der eulerschen Graphen (vgl. z. B. Kirsch 1979), einfache Sätze über Flächenfärbungen (vgl. z. B. Nussbaum & Stowasser 1970, Henn 1979).

2.3 Beitrag diskreter Mathematik zur Begr iffsbildung

• Die meisten grundlegenden mathematischen Begriffe haben eine lange Geschichte.
• Dabei werden Eigenschaften und Beziehungen zu anderen mathematischen Inhalten analysiert und auftretende Widersprüche geklärt.
• 99 Fischer & Malle (1985, S. 156 f.) führen als Beispiel u. a. den Diriclet’schen Funktionsbegriff an, bei dem der Aspekt der „Glattheit“ gegenüber früheren Vorstellungen von Funktionen (wie etwa bei Euler) verloren gegangen ist.
• Unterricht sollte daher bei elementaren Begriffen und Methoden ansetzen.
• Im Rahmen eines sinnvoll fortschreitenden Exaktifizierungsprozesses kann man sich dann allmählich von konkreten Vorstellungen und Vorerfahrungen lösen und eine stärkere Formalisierung anstreben.

2.3.1 Einführung des Var iablen- und Termkonzepts

• Gegenstand der elementaren Algebra ist das Erlernen der Formelsprache, d. h. der Umgang mit dem Variablen- und Termbegriff .
• Ist der Umgang mit Variablen und Termen in den ersten beiden Phasen noch von inhaltli chen Überlegungen geprägt, so rücken anschließend zunehmend syntaktische Aspekte in den Vordergrund.
• In diesem Zusammenhang werden Regeln für Termumformungen erarbeitet und die Formelsprache wird genutzt, um mathematische Probleme zu lösen (vgl. Vollrath 1994, S. 92 f.).

2.3.2 Beitrag zur Entwicklung des Funktionsbegr iffs

• Der Funktionsbegriff ist ein zentraler Begriff der Mathematik und besitzt in vielen außermathematischen Anwendungsgebieten eine große Bedeutung.
• Damit gewinnen nicht nur diskrete Umweltsituationen, sondern auch elementare Abzählprobleme beim Zugang zum Funktionsbegriff an Bedeutung.
• Im Umgang mit dem Funktionsbegriff und dessen Darstellungen wird hierbei ein Beitrag zur Entwicklung „ funktionalen Denkens“ geleistet.
• Arithmetische Folgen zweiter Ordnung dar, deren Änderung von Stufe zu Stufe konstant zunimmt.
• Eine weitere Möglichkeit zur Betonung des Änderungsaspekts ergibt sich im Rahmen einer vorbereitenden oder auch ergänzenden diskreten Modelli erung außermathematischer Situationen.

2.3.3 Diskrete Vorbereitung der Analysis

• Ein zentrales Anliegen des Analysisunterrichts ist die Entwicklung des Ableitungsbegriffs.
• Zum anderen erhält das Arbeiten mit dem Differenzenquotienten selbst eine eigenständige Bedeutung.
• Funktionswerte )n(f am Graph abzulesen, schrittweise die Differenzen )1( nfnf −+ zu berechnen und diese dann der Differenzenfunktion zuzuordnen.

3.1 Entwicklung mathematischen Denkens aus Handlungen

• Behavioristische Lerntheorien, wie etwa die Theorien von B. F. Skinner oder R. M. Gagné , betrachten Lernen als ein Phänomen, das durch Reiz-Reaktions-Modelle erklärt werden kann.
• Diese Ansätze beschränken sich streng auf das Beschreiben beobachtbaren Verhaltens von Lebewesen und lehnen die Annahme innerer Prozesse als unzulässig ab.
• Diese Theorien sowie daran anschließende Arbeiten stellen eine psychologische Grundlage des heutigen Mathematikunterrichts dar.
• Auf einige der wesentlichen Inhalte wird im Folgenden eingegangen.

3.1.4 Der Verinnerlichungs- und Verallgemeinerungsprozess aus der Sicht des

• Kl agenfur ter EFQUIM-Projekts129 Nach Piaget und Aebli sind Handlungen der Ursprung mathematischen Denkens.
• „Mathematische Objekte können durch Handlungen konstruiert werden und zwar als Beziehungen oder Systeme von Beziehungen zwischen bzw.
• (Dörfler 1988a, S. 66) Indem die Aufmerksamkeit nicht nur auf die Elemente der Handlung und auf gewisse Zwischenstadien, sondern auch auf die Veränderung der Handlungselemente im Verlauf der Handlung gerichtet wird, werden mathematische Operationen konstruiert.
• Ein so verstandener Wissenserwerb betont die konstruktive, individuelle Aufbauleistung des Lernenden, die jedoch zusätzlich einer Steuerung von außen bzw.
• Dörfler (1988b) unterscheidet in diesem Zusammenhang verschiedene Arten von Prototypen: figurale, operative und symbolische Prototypen.

3.2 Konsequenzen für den Mathematikunterr icht

• Im Anschluss an die oben skizzierten Handlungstheorien entstanden verschiedene Konzepte zur Realisierung eines „operativen“ Mathematikunterrichts, die sich an einigen Stellen zu didaktischen Prinzipien verdichten lassen.
• Diese Prinzipien können – wie im Folgenden aufgezeigt wird – nicht nur bei Begriffsbildungsprozessen, sondern auch beim Beweisen zur Anwendung kommen.

3.2.1 Operative Pr inzipien

• In den 70er Jahren schloss Fricke (1970) an die Überlegungen Piagets und Aeblis an und formulierte die so genannte „operative Methode“ für den Rechenunterricht der Grundschulen.
• In diesem Zusammenhang formulierte Wittmann das folgende „operative Prinzip der Mathematikdidaktik“ :.
• Zech nennt als weitere Unterprinzipien: - Rückschaltprinzip: Bei Schwierigkeiten auf einer abstrakteren Stufe sollte ein Wechsel auf eine konkretere Stufe möglich sein.
• Weiterhin sollten auch unterschiedliche Anwendungskontexte berücksichtigt werden.
• Mit dem Prinzip des operativen Durcharbeitens (im engeren Sinne) werden die ursprünglich mit der Beweglichkeit von Begriffen und Operationen verbundenen Aspekte der Assoziativität, der Reversibilit ät und der Kompositionsfähigkeit angesprochen.

3.2.2 Spezielle Var ianten des operativen Pr inzips

• Durch mehrere Arbeiten von Hering131 wurde in den 80er Jahren das operative Prinzip auch auf den Sekundarstufenunterricht übertragen.
• Neben dem Aspekt des Verinnerlichungsprozesses thematisierte Hering insbesondere die „steuernden Einflüsse“ des operativen Prinzips bei heuristischen Aktivitäten und beim Beweisen.
• Dieses so genannte „operative Beweisen“ bezeichnet Wittmann (1985b, S. 11) genauso wie die „operative Begriffsbildung“ als „Spezialfall des operativen Prinzips“ .132 Aufgrund ihrer besonderen Bedeutung für diskrete Inhalte sollen diese beiden Spezialfälle im Folgenden noch einmal genauer analysiert und anhand von Beispielen verdeutlicht werden.

3.2.3 Kr itische Bemerkungen zum Einsatz operativer Pr inzipien

• Das operative Prinzip stellt ein zentrales Unterrichtsprinzip zur Organisation von Lern- und Erkenntnisprozessen dar.
• Zur Verwirklichung des aktiv-entdeckenden Lernens Wenngleich das aktiv-entdeckende Lernen eine Grundidee des operativen Prinzips ist, werden im Rahmen einer kriti sche Auseinandersetzung mit diesem Unterrichtsprinzip Grenzen und Gefahren deutlich.
• Dennoch macht die Entwicklung allgemeiner Begriffe den Vergleich und die Vernetzung verschiedener bereits existierender Erfahrungsbereiche und damit eine Variation der Darstellungsebenen erforderlich.

3.3 Diskrete Arbeitsweisen im Mathematikunterr icht

• Dem Begriff des „Handelns“ kommt im Rahmen der skizzierten Theorien eine besondere Bedeutung zu.
• Handlungen sind Tätigkeiten mit hochgradiger Bewusstheit und Zielgerichtetheit.
• So argumentierten die Schüler häufig geometrisch, wenn aus den angegebenen tabellarischen Funktionswerten keine einfache Gesetzmäßigkeit abzulesen war, so etwa bei der Symmetrie und beim asymptotischen Verhalten.
• Untersucht man das Arbeiten mit einem Computeralgebrasystem oder einem Tabellenkalkulationsprogramm, betrachtet man in der Regel die Ebenen numerisch, graphisch, symbolisch.
• Um einen Bezug dieses Arbeitens zu mathematischen Objekten herzustellen, müssen die Darstellungen bzw.

3.4 Modelle zur Analyse des Verständnisses

• Handlungen stellen nach den oben skizzierten Lerntheorien eine Basis für die kognitive Konstruktion von Begriffen dar.
• Charakteristisch für die Verständnismodelle von Voll rath (1984) und Skemp (1979) ist, dass sie verschiedene Formen oder Stufen des Verstehens unterscheiden und diese durch gewisse nachprüfbare Fähigkeiten und Kenntnisse in Verbindung mit dem Begriff beschreiben.
• Bei der im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Untersuchung (vgl. Kap.
• Sie können das Konzept der Differenzenfolge in das Konzept der Z-Funktionen und deren Differenzenfunktionen einordnen.
• - Vertreter des „ interpretativen Paradigmas“ bezeichnen daher dieses Modell i n Abgrenzung zum deskriptiven Verstehensbegriff als „normativ“ oder „defizitorientiert“ , da das Handeln des Schülers an Verfahren und Ergebnissen gemessen wird, die als richtig oder ideal eingeschätzt werden.

4 Tabellenkalkulationsprogramme: Didaktisch-methodische Möglichkeiten – konkrete Arbeitsweisen

• Bei vielen diskreten Inhalten insbesondere aus dem Bereich der Kombinatorik, der Differenzengleichungen und der diskreten Analysis fallen häufig zeitaufwändige, aber elementare Berechnungen an.
• Durch den Einsatz neuer Technologien kann dieser operative Aufwand reduziert und die Aufmerksamkeit des Lernenden stärker auf übergeordnete Fragestellungen gerichtet werden.
• Während Computeralgebrasysteme (CAS) wie DERIVE vorrangig das Arbeiten auf der symbolischen Ebene unterstützen, ermöglichen Tabellenkalkulationsprogramme (TKP) einen vielfältigen Umgang mit tabellarisch aufbereiteten numerischen Daten.
• Dabei spiegelt der zellenartige Aufbau der TKP-Arbeitsblätter die mit diskreten Prozessen verbundenen Vorstellungen in besonderer Weise wider (vgl. Weigand 2001a, S. 3).
• In diesem Kapitel sollen die didaktische Bedeutung von TKP bei der Gestaltung von Lehrund Lernprozessen näher analysiert und die damit verbundenen neuen Möglichkeiten des Arbeitens und Operierens im Sinne der Klassifizierung von Kapitel 3.3 herausgestellt werden.

4.1.2 Beitrag zur Entwicklung des Folgenbegr iffs

• Beim Arbeiten mit einem TKP steht zunächst das Tabellenblatt im Vordergrund.
• Das Arbeiten mit der Darstellung Tabelle stärker zu betonen.
• Auch hierbei lassen sich bestimmte „ Invarianten“ feststellen, die wesentliche Eigenschaften des Begriffs darstellen und damit zur Konstruktion eines operativen Prototyps beitragen können.
• Die Folgen der Klasse { }10, <<= aay nn fallen dagegen monoton und nähren sich dabei asymptotisch Null (vgl. Abb. 24).
• Im Rahmen einer empirischen Untersuchung zu Übersetzungsquali fikationen von Schülern zwischen den Darstellungsformen Funktionsgleichung, -graph und -tabelle stellte Müller-Phili pp (1994) fest, dass ein computerunterstützter Unterricht insbesondere zu einer Verbesserung der Leistungen bei Übersetzungsprozessen Graph-Term und umgekehrt führen kann.

4.1.3 Entdecken und Beweisen kombinator ischer Beziehungen

• Die spezielle Struktur des Tabellenblatts eines TKP kann bei der Konstruktion einfacher Beweise für kombinatorische Formeln visuelle Hil festellungen bieten.
• Diese Beziehung spiegelt sich in den Handlungen wider, d. h. dem Anklicken entsprechender Zellen und dem anschließenden Kopieren der jeweili gen Formeln.
• Abb. 25: Detektiv-Option: Visualisieren der rekursiven Struktur des Pascal’schen Dreiecks Bündelt man dagegen die Pfeile nach der Ausgangszelle bzw.
• Da die Zellen über die obige Rekursionsbeziehung additiv miteinander verbunden sind, wird ohne weitere algebraischen Umformungen offensichtlich, dass sich die Zeilensumme von Zeile zu Zeile verdoppelt.

4.2.1 Erkunden von Begr iffseigenschaften

• Durch den Einsatz eines TKP können Eigenschaften ganzer Funktionenklassen hinsichtlich der Einwirkungen von Parametern auf das Monotonie- und Änderungsverhalten oder hinsichtli ch bestimmter Eigenschaften, wie Symmetrie und asymptotisches Verhalten, untersucht werden.
• Da die symbolische Ebene beim Arbeiten mit einem TKP eine geringere Bedeutung besitzt und lediglich über die Verwendung relativer Zellbezüge in die numerische Ebene integriert ist, erfolgt die experimentelle Analyse in einem Wechselspiel zwischen numerischen und graphischen Darstellungen, also (fast) ausschließlich auf einer präformalen Ebene.
• Experimentiere auch hier mit Wachstumsfaktoren kleiner als 1. Beim Variieren des Parameters c bleibt die Differenzenfunktion dagegen invariant.
• Betrachtet man wiederum die rekursive Beziehung f(n) )f(n)f(n −+=+ 122 , stellt man fest, dass die Folgenglieder dem Gesetz einer arithmetischen Folge folgen (vgl. Abb. 30).

4.2.2 Experimentelles Arbeiten im Problemlöseprozess

• Problemlösen gestaltet sich in der Regel als ein Wechselspiel zwischen experimentell - induktiven und systematisch-deduktiven Methoden und sollte in diesem Sinne auch im Mathematikunterricht vermittelt werden.
• Lösung können häufig verschiedene heuristisch-experimentelle Strategien angewendet werden (vgl. Kap. 2.2).
• In diesem Zusammenhang kann z. B. das Beweisverfahren der vollständigen Induktion hinzugezogen werden.
• B. Fragestellungen im Umfeld der „Tilgungsgleichung“ durch Verändern der Startwerte bzw.
• Experimentelles Lösen einer lokalen Problemstellung Darüber hinaus kann durch ein experimentelles Lösen von Gleichungen bzw, also known as Abb. 32.

4.2.3 Modellbildung und Simulation

• Häufig interessiert man sich in der empirischen Forschung für den funktionalen Zusammenhang zweier beobachtbarer Variablen.
• Bei diesen Aktivitäten erweist sich ein TKP als ein wichtiges Experimentierwerkzeug.
• So können Schüler der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen eine der beiden Populationen ausstirbt.
• So wurden unterschiedliche Flugkurven erfolgreicher Korbwürfe mit dem Basketball untersucht und graphisch dargestellt (vgl. Abb. 34).

4.3 Tabellenkalkulationsprogramme als Lernsysteme

• Computerlernsysteme gibt es bereits seit Anfang der 60er Jahre.176.
• Man ging hier von einer Anfangsgeschwindigkeit von etwa 130 km/h aus.
• Selbstgesteuertes und aktives Lernen war im Rahmen der PU selten möglich: Die Interaktion mit dem Programm umfasste lediglich die Auswahl des jeweili gen Kapitels oder Moduls, das Vor- und Zurückblättern innerhalb der Kapitel, das Aufnehmen von Texten oder graphisch aufbereiteten Informationen und das Überprüfen des dabei gelernten Wissens.
• Hier zeigen sich Parallelen zur genetischen Erkenntnistheorie Piagets, wonach das Individuum seine kognitive Struktur in Wechselwirkung mit der Umwelt selbst generiert.
• Im Rahmen einiger Aufgaben, so etwa bei dem Modul „Dreieckszahlen“ , wurden darüber hinaus experimentelle Lernumgebungen geschaffen.

4.4 Diskrete Arbeitsweisen in einer TKP-gestützten Lernumgebung

• Zur Einschätzung der Möglichkeiten und Grenzen eines TKP im Mathematikunterricht reicht eine didaktische Analyse der softwaretechnischen Komponenten nicht aus.
• Daneben sind auch Schwierigkeiten im Umgang mit einer TKP-gestützten Lernumgebung zu untersuchen.
• Indem eine Folge durch Kopieren der entsprechenden Zellbezüge mit Funktionales Arbeiten umfasst zum einen das TKP-unterstützte Ablesen aus graphischen oder tabellarischen Darstellungen, wobei lokale Aspekte betont werden.

5 Planung und Durchführung d er empirischen Untersuchung

• Das Ziel der im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten empirischen Untersuchung ist es, die Arbeitsweisen und das Verständnis von Schülern im Umgang mit einer auf dem Tabellenkalkulationsprogramm (TKP) Excel basierenden Lernumgebung zu einem ausgewählten diskreten Lerngegenstand zu erfassen und zu analysieren.
• Die mit der Untersuchung verbundenen Fragestellungen, die zugrunde liegende Methode und die Überlegungen zu Datenerhebung und -auswertung werden im Folgenden erläutert, und es werden die beteili gten Lerngruppen vorgestellt .
• Im Zentrum der empirischen Untersuchung stand der Begriff der „Differenzenfunktion“ (vgl. Kap. 2.3.3).
• Das zu diesem Zweck konzipierte Lern- und Versuchsprogramm wird ausführlich in Kapitel 5.6 vorgestellt .
• Abschließend wird über die Durchführung der Untersuchung berichtet.

5.3 Überlegungen zur Datenerhebung

• Im Zentrum der Untersuchung steht die Analyse der Arbeitsweisen der Probanden beim Umgang mit einer TKP-gestützten Lernumgebung.
• Es stellt sich somit zunächst die Frage, wie diese Daten erhoben und aufgezeichnet werden können.

5.3.1 Beobachtungsform

• Eine der wichtigsten Grundtechniken zur Erhebung qualitativen Datenmaterials stellt neben der nicht-standardisierten oder halb-standardisierten Befragung die Methode der Beobachtung dar.191 Beobachtungsmethoden werden insbesondere zur Erfassung von Verhaltensweisen eingesetzt und bilden daher im Hinblick auf unsere Untersuchungsziele einen geeigneten Rahmen.
• Bei diesem methodischen Vorgehen ist jedoch zu bedenken, dass durch die aktive Teilnahme der Versuchsleiterin am Unterrichtsgeschehen Sicht- und Arbeitsweisen der Schüler beeinflusst werden können.
• Das Interesse an individuellen Arbeitsweisen macht es jedoch erforderlich, dass für jeden Schüler ein eigener Computer bereitsteht.
• Bei den unterschiedlichen Beobachtungsformen orientiert man sich im Rahmen der Differenzierungsmethoden Wissenschaftlichkeit, Standardisierung, Transparenz, Beobachterrolle, Partizipationsgrad, Realitätsbezug und Natürlichkeit der Situation unterschiedlich stark an qualitativen bzw.

5.4 Überlegungen zur Auswertung der erhobenen Daten

• Im Rahmen der Auswertung und Interpretation des verschriftli chten Datenmaterials können verschiedene Methoden Anwendung finden.
• Bei der Methode der kategorienentwickelnden Interpretation „wird versucht, ohne explizite Vorgaben Sinneinheiten im Text zu isolieren und zu klassifizieren“ (a. a. O., S. 47).
• Im Rahmen unserer Untersuchung werden alle vier Methoden berücksichtigt.
• So wird beim Feststellen der Art und Häufigkeit der gewählten Darstellungen und der Art des gewählten Rollbalkens (bzw. Parameters) kategoriengeleitet vorgegangen.
• Auch hier werden Kategorien zu bilden sein.

2. Teil : Arbeiten mit Darstellungen von Folgen/Z-Funktionen und Differenzenfolgen/-

• Funktionen (Aufgabe 2, 3, 5) Das Konzept der Differenzenfolgen wird um das der Differenzenfunktionen erweitert.
• Die Schüler sollen Differenzenfolgen/-funktionen berechnen sowie Beziehungen zwischen Eigenschaften von Differenzenfolgen/-funktionen und deren Ausgangsfolgen/-funktionen anhand verschiedener Darstellungen erkennen und beschreiben.

3. Teil : Lösen eines Zählproblems (Aufgabe 4)

• Die Schüler sollen ein Zählproblem lösen, d. h. eine rekursive und explizite Darstellung der Zählfolge angeben.
• In Zusammenhang mit der Suche nach einer expliziten Formel werden verschiedene Impulse zur Lösungsfindung gegeben.
• Dabei können die Schüler ihre Kenntnisse über Z-Funktionen und Differenzenfunktionen anwenden.
• Da die Ergebnisse des Vortests mit den Studierenden – wie geplant – zu einer Überarbeitung des Versuchsprogramms führten, unterscheiden sich Umfang und auch die Formulierungen der einzelnen Aufgaben bei der Programmversion der Studierenden von denen der Schüler.
• Die Testversionen der Schülergruppen A/B und der Schülergruppe C sind im Wesentlichen vergleichbar.

5.6.3 Aufgabe 3: Quadratische Z-Funktionen

• In dieser Aufgabe wird das Konzept der Differenzenfolge um das der Differenzenfunktion erweitert.
• Abb. 56: Aufgabe 3b – Fragestellung Abb. 57: Aufgabe 3b – Graph und Tabelle Bei dieser Aufgabe sollen die Probanden ähnlich wie bei Aufgabe 2b die Differenzenfunktion und ihre Beziehung zur Ausgangsfunktion zur Beschreibung des Änderungsverhaltens der Ausgangsfunktion nutzen.
• Wir betrachten wieder eine quadratische Z-Funktion f. Ergänzen Sie in der Tabelle die fehlenden Funktionswerte f(–4) und D(2).
• Die Probanden können zur Beantwortung der Frage sowohl mit dem Graph als auch mit der Tabelle arbeiten.

5.6.5 Aufgabe 5: Noch eine Z-Funktion

• Die Graphik zeigt die Darstellung einer Z-Funktion f. Skizzieren.
• Sie auf dem Arbeitsblatt den Verlauf der Differenzenfunktion D. Abb. 71: Aufgabe 5 Gegenstand dieser Aufgabe ist eine spezielle kubische Funktion, deren Differenzenfunktion durch „graphisches Differenzenbilden“ (als Analogie zum graphischen Differenzieren) gefunden werden soll .
• Die Termdarstellung der Funktion ist nicht gegeben, um zu vermeiden, dass die Differenzen numerisch-algorithmisch mit Hil fe der Formel ( ) ( ) ( )nfnfnD −+= 1 be- rechnet und erst nachträglich in die Zeichnung eingetragen werden.
• Die Möglichkeit des numerischen Berechnens ist jedoch prinzipiell auch beim Arbeiten mir dem Graph gegeben, indem die Probanden die Funktionswerte durch ein Deuten auf die jeweili gen Koordinatenpunkte ablesen und anschließend miteinander verknüpfen.
• Dieses Arbeiten spiegelt jedoch inhaltli ches Wissen über die Bedeutung der Differenzenfunktion wider und soll daher als Alternative zum „Abschätzen“ der Änderungen und dem Anfertigen einer „echten“ Skizze berücksichtigt werden.

5.7 Versuchsdurchführung

• Die gesamte Untersuchung wurde in öffentlichen Rechnerräumen der Universität Gießen durchgeführt.
• Die Studierenden bearbeiteten das Testprogramm im Rahmen einer Übung zur Vorlesung „Computer im Mathematikunterricht“ , die Schüler wurden zum Zwecke der Untersuchung für jeweils einen Vormittag vom Schulunterricht befreit.
• Im Folgenden werden der Ablauf der Untersuchung sowie die aus den Ergebnissen der Voruntersuchung resultierenden Veränderungen des Programms erläutert.

5.7.1 Voruntersuchung mit den Studierenden

• Der Vortest mit den Studierenden fand in einem Rechnerraum der Universitätsbibliothek statt.
• Diese Schwierigkeiten lassen sich zum einen auf die mangelnden Excel-Kenntnissen der Studierenden200, zum andern auch auf die Programmkonstruktion zurückführen.
• Auf der Basis dieser Beobachtungen konnte das Lernprogramm wie geplant im Hinblick auf die Hauptuntersuchung überarbeitet werden (vgl. Kap. 5.7.2).
• Da zu erwarten war, dass ein inhaltli ches Arbeiten durch das zu geringe technische Grundlagenwissen beeinträchtigt und möglicherweise sogar verhindert werden würde, wurden diese Studierenden im Rahmen der Auswertung nicht berücksichtigt.
• Insgesamt wurde somit eine Auswahl von 21 Studierenden in den Vergleich einbezogen.

5.7.2 Überarbeitung des Versuchsprogramms

• Im Hinblick auf die Hauptuntersuchung wurde das Programm der Studierenden unter inhaltl ichen Gesichtspunkten verändert.
• Gegenstand der ursprünglichen Aufgabe, die aus drei Aufgabenteilen bestand, waren polynomiale Z-Funktionen dritten und vierten Grades.
• Eine inhaltli che Deutung ihrer Beobachtungen bereitete den Studierenden große Schwierigkeiten, so dass im Rahmen der Hauptuntersuchung auf eine explizite Behandlung kubischer Z-Funktionen verzichtet wurde.
• Weiterhin wurde noch einmal auf die wesentlichen Steuerungs- und Kontrollelemente des Programms hingewiesen.

5.7.3 Hauptuntersuchung mit den Schülern

• Untersuchung mit der Schülergruppe A und B Die Hauptuntersuchung mit den Schülern der Schulen Damit wurde vermieden, dass der Spaltenname und der Name der in dieser Spalte berechneten Differenzenfunktion D übereinstimmen.
• In diesem Zusammenhang wurden einige der Informationsblätter aus dem Programm entfernt.
• Die besondere Behandlung dieser beiden Aufgaben wird im Rahmen der Auswertung berücksichtigt.
• Untersuchung mit der Schülergruppe C Die Durchführung der Untersuchung mit den Schülern der Gruppe C verlief im Sinne der oben beschriebenen Planung.

6 Ergebnisse der empirischen Untersuchung

• Die Auswertung der empirischen Untersuchung stützt sich auf die Computerprotokolle und schriftli chen Aufzeichnungen von 53 Schülern und 21 Studierenden.
• Aufgrund von Problemen mit der Datenspeicherung und den damit verbundenen Datenverlusten insbesondere bei der Schülergruppe B (vgl. Kap. 5.7.3), kann die Anzahl der in die Auswertung einbezogenen Probanden von Aufgabe zu Aufgabe variieren.
• Ein Vergleich zwischen der Gruppe der Schüler und der Studierenden ist aufgrund des für die Schüler erweiterten und abgeänderten Testprogramms nicht bei allen Aufgaben möglich (vgl. Kap. 5.7.4).
• Im Folgenden werden nun die Ergebnisse der fünf Testaufgaben analysiert.

6.1 Ergebnisse zu Aufgabe 1

• Gegenstand dieser Aufgabe ist die „Streichholzfolge“, ein einfaches Zählproblem, dem eine lineare Gesetzmäßigkeit zugrunde liegt.
• Das iterative Aufbauprinzip der Streichholzfolge sollte zunächst verbal und anschließend mit Hil fe des Tabellenkalkulationsprogramms (TKP) Excel tabellarisch erfasst werden.
• Mit dem Begriff der Differenzenfolge wurde den Probanden im Anschluss ein Werkzeug bereitgestellt , das es erlaubt, die absoluten Änderungen bzw.
• Die mittlere Änderungsrate von Zählfolgen im „ Intervall “ [n, n+1] sowohl lokal als auch global zu beschreiben.

6.1.1 Ergebnisse zu Aufgabe 1a

• Die Probanden sollten im Rahmen dieser Aufgabe das iterative Aufbauprinzip der Streichholzfolge verbal beschreiben.
• Sämtliche Studierende sowie 94 % der Schüler erkannten das iterative Aufbauprinzip der Streichholzfolge, also die Änderung um 3 Streichhölzer von Stufe zu Stufe.
• Dabei hoben zusätzlich 38 % der Studierenden aber nur 10% der Schüler das Anfangsfolgenglied 5 explizit hervor.
• Dies ist wohl darauf zurückzuführen, dass die Schüler bisher wenig bzw.
• Letzteres mag auch ein Grund dafür sein, dass 6 % der Schüler die Aufgabe fehlerhaft bearbeiteten, indem sie die Anzahl der Streichhölzer, die von Stufe zu Stufe hinzukommen, mit 1 bzw.

6.1.2 Ergebnisse zu Aufgabe 1b

• Die Probanden hatten hier die Aufgabe, mit Hil fe einer rekursiven Formel die ersten 21 Folgenglieder der Streichholzfolge zu berechnen.
• Eine Unterscheidung in richtige und falsche Bearbeitungen erwies sich hinsichtlich der Beurteilung der Leistungen und des Lernfortschritts der Schüler und Studierenden als zu grob.
• Daher wird hier danach klassifiziert, ob die Probanden die Aufgabe beim ersten oder erst beim zweiten „Lösungsversuch“ richtig bearbeiteten, ob sie mehr als zwei Anläufe benötigten oder ob sie die Aufgabe fehlerhaft lösten.
• Auch wenn prozentual weniger Studierende als Schüler die Aufgabe im ersten Lösungsanlauf lösten, berechneten insgesamt 90 % der Studierenden aber nur 73 % der Schüler die 21 Folgenglieder der Streichholzfolge nach maximal zwei Lösungsanläufen erfolgreich.
• Möglicherweise hatte ein Teil der Studierenden die Aufgabe im ersten Anlauf „unterschätzt“ und erst im zweiten Versuch die nötige Konzentration zur Bearbeitung aufgebracht.

6.1.3 Ergebnisse zu Aufgabe 1c

• Bei dieser Aufgabe sollte mit Hil fe der in Aufgabe 1b berechneten Tabelle der Wert des 12.
• Zur Lösungsüberprüfung stand ein „Ok-Button“ zur Verfügung, der angab, ob das Ergebnis richtig oder falsch war.
• Die meisten Probanden hatten mit dieser Aufgabe keine Schwierigkeiten und gaben den Funktionswert bereits nach einmaligem Lesen der Tabelle richtig an (vgl. Tab. 11).

6.1.4 Ergebnisse zu Aufgabe 1d

• Bei dieser Aufgabe sollten die Probanden – ausgehend von einer vorgegebenen Streichhölzeranzahl – die Anzahl der möglichen Stufen einer entsprechenden „Streichholzleiter“ bestimmen, d. h. die Tabelle zum Ablesen eines Werts des Definitionsbereichs der Streichholzfolge verwenden.
• Hierbei mussten inhaltli che Gesichtspunkte beachtet werden.
• So wurde der als Anzahl der verfügbaren Streichhölzer angegebene Zahlenwert 60 nicht als Funktionswert angenommen.
• Tabelle zeigt, haben die Studierenden diese Aufgabe – erwartungsgemäß – etwas besser gelöst als die Schüler.

6.1.5 Ergebnisse zu Aufgabe 1e

• Ziel dieser Aufgabe war es, den Begriff der Differenzenfolge vorzubereiten.
• Hierzu sollten die Probanden zunächst mit Hil fe des TKP die Folge der Änderungen der Streichholzfolge beim Übergang von einem zum nächsten Folgenglied berechnen.
• Die entsprechende Formel war im Testprogramm vorgegeben, um technische Schwierigkeiten zu vermeiden und die Aufmerksamkeit der Probanden auf die inhaltli che Beziehung zwischen Folge und Differenzenfolge zu richten.
• Wie die folgende Tabelle verdeutlicht, haben Schüler und Studierende die Aufgabe etwa gleich gut bearbeitet.

6.1.6 Ergebnisse zu Aufgabe 1f

• Aufgabe 1f diente zur Einführung des Begriffs der Differenzenfolge.
• Das Ausfüllen des dort angegebenen „Lückentexts“ , mit Hil fe dessen die lokale Beziehung zwischen Folge und Differenzenfolge noch einmal deutlich herausstellt werden sollte, bereitete den Schülern keine größeren Probleme.
• Bei einer genaueren Untersuchung der Arbeitsweisen der Probanden müsste berücksichtigt werden, dass diese Aufgabe im Rahmen der Untersuchungsdurchführung mit der Schülergruppe C aus dem Testprogramm entfernt und in einem Lehrer-SchülerGespräch behandelt wurde.
• Da die Aufgabe hauptsächlich zur Festigung des bisher Gelernten diente, soll auf eine solche Analyse hier verzichtet werden.

6.1.7 Ergebnisse zu Aufgabe 1g

• Im Rahmen der bisherigen Aufgaben wurde die Streichholzfolge und deren Differenzenfolge ausschließlich anhand ihrer zeichnerischen bzw.
• Diese Aufgabe hatte erstmals die graphische Darstellung beider Folgen zum Gegenstand.
• Die Schüler und die Studierenden sollten hierbei die Eigenschaften beider Graphen verbal beschreiben.
• Die Antworten der Probanden lassen sich danach unterscheiden, ob geometrische oder funktionale Eigenschaften der jeweili gen Darstellungen hervorgehoben werden oder ob beim Beschreiben beider Graphen ein Bezug zum Aufbau der Ausgangsfolge hergestellt wird.
• Nachfolgend sind einige für die jeweili gen Kategorien prototypische Beschreibungen aufgeführt.

C Beziehung zum iterativen Aufbau der Folge wird hergestellt

• - Funktion steigt konstant an, weil bei den Streichhölzern immer 3 hinzukommen.
• - Die Streichholzfolge beschreibt eine lineare Funktion, die beim Ausgangswert 5 beginnt und deren Werte jeweils um 3 zunehmen.

C Beziehung zur Folge A wird hergestellt

• - Es wird der Wert 3 beschrieben, der immer dazukommt. - D zeigt die Anzahl der Streichhölzer an, die hinzugefügt werden.
• - Da immer die gleiche Anzahl an Streichhölzern dazukommt, bilden die Werte eine Paral- lele zur x-Achse.

K Keine einzuordnende Antwort / keine Bearbeitung

• Bei dieser Unterscheidung wird berücksichtigt, dass eine Beschreibung verschiedene Sichtweisen widerspiegeln kann.
• Die folgenden beiden Tabellen geben die entsprechenden Häufigkeitsverteilungen wieder.
• Andererseits betonte mit 73 % immer noch die Mehrheit der Schüler funktionale Aspekte (Kategorie B).
• Bei der Gruppe der Studierenden überwog überraschenderweise eine geometrische Sicht auf den Graph der Differenzenfolge (Kategorie A).
• Dieser im Vergleich zu den Schülern etwas höhere Prozentsatz lässt sich auf Vorkenntnisse der Studierenden aus der Differenzialrechnung zurückführen.

6.1.8 Ergebnisse zu Aufgabe 1h

• Das Testprogramm der Studierenden wurde für die Schüler um die beiden Aufgabenteile 1h und 1j erweitert.
• Im Aufgabenteil 1h sollten die Schüler die Differenzenfolge einer geringfügig gegenüber Aufgabe 1a veränderten Streichholzfolge B berechnen.
• Anders als bei Aufgabe 1e werden bei dieser Aufgabe keine direkt visuell zugänglichen Lösungshinweise und Hil festellungen gegeben.

6.1.9 Ergebnisse zu Aufgabe 1j

• Die Schüler sollten bei dieser Aufgabe aus der Wertetabelle der Funktionen B und D den Wert des 9.
• Aufgrund einer ungünstigen Positionierung209 der Tabelle im Testprogramm der Schü- 209 Bei diesem Programm stimmten der Funktionsname der Differenzenfolge und der Name der Spalte, in der diese Folgenglieder numerisch aufgelistet waren, überein.
• Im Rahmen der Untersuchung mit der Schülergruppe C wurde die Tabelle auf dem ExcelBlatt zwei Spalten weiter nach rechts platziert, d. h. die Glieder der Folge D standen nun in Spalte G. Dies führte zu einer signifikanten Reduktion der Ablesefehler (ChiquadratVierfeldertest, 001,0=p ) und zu einer insgesamt besseren Bearbeitung der Aufgabe (vgl. Tab. 22 und 23).

6.2 Ergebnisse zu Aufgabe 2

• Im Rahmen dieser Aufgabe sollten die Probanden das Änderungsverhalten einer empirischen Folge untersuchen, d. h. einer Folge, die nicht durch eine einfache Gesetzmäßigkeit und damit auch nicht durch eine einfache algebraische Formel beschrieben werden kann.
• Aufgabe 2 umfasst Fragen zu lokalen und globalen Eigenschaften zweier Temperaturfolgen, die mit Hil fe der entsprechenden Differenzenfolgen auf der numerischen bzw.
• Bei zwei Aufgabenteilen konnten die Probanden zwischen der tabellarischen und der graphischen Darstellung wählen.

6.2.1 Ergebnisse zu Aufgabe 2a

• Bei dieser Aufgabe, die strukturell mit Aufgabe 1h übereinstimmt, war zunächst die Differenzenfolge der Folge der Durchschnittstemperaturen zu berechnen.
• Dabei lösten nur geringfügig mehr Studierende als Schüler die Aufgabe bereits im Rahmen des ersten Lösungsversuchs.
• Die technischen Schwierigkeiten der Probanden werden im Folgenden im Hinblick auf die bereits in Aufgabe 1h gebildeten Fehlerkategorien analysiert: I. Vergessen des „=“-Zeichens; II.
• Im Vergleich zu Aufgabe 1h traten bei den Schülern weniger häufig rein syntaktische Fehler und fehlerhafte Zellbezüge auf (Kategorie I und II).
• Im Vergleich zu den Schülern bereitete den Studierenden die Abgrenzung der Excel-Syntax von der algebraischen Syntax weniger Schwierigkeiten.

6.2.2 Ergebnisse zu Aufgabe 2b

• Die Probanden sollten bei dieser Aufgabe bestimmen, wie sich die Durchschnittstemperatur des Jahres 1984 gegenüber der des Jahres 1983 veränderte.
• Wert konnte sowohl aus der tabellarischen als auch aus der graphischen Darstellung der Temperaturfolge und deren Differenzenfolge entnommen werden.
• Die Aufgabe wurde nur von 26 % der Schüler und 33 % der Studierenden im ersten Versuch richtig gelöst, wurde aber von über der Hälfte der Probanden nach höchstens zwei Lösungsversuchen erfolgreich bearbeitet (vgl. Tab. 26).
• Während die Ergebnisse aus Aufgabe 2a für ein instrumentelles Verständnis im Umgang mit Differenzenfolgen sprechen, zeigt sich hier, dass das Erkennen und Interpretieren funktionaler Beziehungen bzw.
• Eigenschaften offensichtlich höhere Anforderungen an die Probanden stellt .

II . Arbeiten mit dem Graph

• Die gesamte Lösung ist hauptsächlich auf das Arbeiten mit dem Graph zurückzuführen.
• Man erkennt dies zum einen an den Bewegungen des Cursors, der den globalen Verlauf von D bzw.
• T „nachzeichnet“ ; zum anderen wird unmittelbar im Anschluss an das Arbeiten mit dem Graph zum Lösungsblatt gewechselt und eine Eingabe getätigt.
• Die Tabelle spielt – sofern sie ausgewählt wird – im Lösungsprozess keine Rolle.

III . Arbeiten mit Tabelle und Graph

• Die Aufgabe wird sowohl mit dem Graph als auch mit der Tabelle bearbeitet.
• Lediglich 10 % der Probanden haben beide Darstellungen zur Lösung hinzugezogen (Kategorie III ).
• Insgesamt 21 % der Schüler arbeiteten sowohl mit der Tabelle als auch mit dem Graph.
• Zwei Schüler arbeiteten sowohl mit der graphischen Darstellung der Temperaturfolge als auch mit deren Differenzenfolge und ermittelten die numerischen Werte T(1983), T(1984) und D(1983) durch das Deuten mit dem Cursorzeiger auf die entsprechenden Koordinatenpunkte.
• 57 Eingabe des Änderungswerts 1,1; Markieren des Kontrollkästchens „unter“ .

III . Fehlerhafte inhaltli che Deutung:

• Aufgabe 2b – Inhaltliche Fehlertypen Die Probanden, die dem Fehlertyp II zugeordnet werden können, hatten offensichtlich den Aufgabentext nicht richtig gelesen bzw, also known as 30.
• Beiden Fehlertypen lassen sich prozentual mehr Schüler als Studierende zuweisen.
• Dagegen bereitete das Arbeiten mit der lokalen Beziehung ( ) ( ) ( )nTnTnD −+= 1 beiden Probandengruppen vergleichbar große Schwierigkeiten (Fehlertyp I).
• Der graphischen Darstellung der Funktionswerte ließ diese Beziehung jedoch nicht „auf einen Blick“ erkennen, sondern erforderte ein äußerst konzentriertes Arbeiten mit den entsprechenden Darstellungen.

6.2.3 Ergebnisse zu Aufgabe 2c

• Die Aufgabenteile 2c, 2d und 2e wurden zusätzlich in das Testprogramm der Schüler aufgenommen.
• Aufgabe 2c – Lösungsversuche Insgesamt 28 der 40 Schüler, welche die Aufgabe im ersten Lösungsversuch lösten, führten die Rechnung im Kopf aus und übertrugen lediglich den numerischen Wert in die entsprechende Zelle, also known as 31.
• Dagegen verwendeten 12 Schüler zum Berechnen des numerischen Werts T(1989) die TKP-Adressen der in Beziehung stehenden Zellen.
• Zum anderen weist dieses Vorgehen darauf hin, dass die optische Anordnung der in Beziehung stehenden Zellen erkannt und die Zellen somit als „Vergegenständlichung“ von Variablen verwendet wurden.
• Die tabellarische Darstellung von Folge und Differenzenfolge war offensichtlich für diese Schüler als kognitiver Prototyp (im Sinne Dörflers) wirksam.

6.2.5 Ergebnisse zu Aufgabe 2e

• Bei dieser Aufgabe sollten die Schüler diejenigen Zeitintervalle angeben, in denen die durchschnittli chen Sommertemperaturen zugenommen haben.
• Zur Beantwortung dieser Frage konnten die Schüler, wie bereits in Aufgabe 2b, sowohl mit der Tabelle als auch mit dem Graph arbeiten.
• Sämtliche im Rahmen des Aufgabe möglichen Zeitintervalle waren auf dem TKP-Aufgabenblatt angegeben.
• Die Auswahl erfolgte durch das Markieren des jeweili gen Kontrollkästchens.

III . Arbeiten mit Graph und Tabelle

• Die Aufgabe wird sowohl mit dem Graph als auch mit der Tabelle bearbeitet.
• Eine Be- vorzugung einer der beiden Darstellungen ist nicht erkennbar.

V. Strategiewechsel Tabelle => Graph

• Teile der Aufgabe werden zunächst mit der Tabelle gelöst, die restliche Bearbeitung erfolgt mit dem Graph.
• 36: Strategien beim Arbeiten mit Darstellungen: Vergleich: Aufgabe 2b – Aufgabe 2e Weitere 8 % arbeiteten sowohl mit dem Graph von T als auch von D. Die übrigen Schüler zeigten keine Bildschirmaktivitäten beim Betrachten der graphischen Darstellungen, so dass in diesen Fällen keine Aussagen über die von ihnen analysierten Funktionen gemacht werden kann.
• Ein Grund für ihren Strategiewechsel ist daher nicht direkt ersichtlich.
• Teill ösungen wurden anschließend mit dem „OK-Button“ überprüft.

6.3 Ergebnisse zu Aufgabe 3

• Gegenstand der dritten Aufgabe ist die Funktionenklasse der quadratischen Z-Funktionen, d. h .
• Da im Rahmen der Versuchsdurch- führung technische Probleme mit dem Netzwerk des Hochschulrechenzentrums auftraten, waren einige Schüler der Gruppen A und B gezwungen, die Aufgabenteile 3a-3d ein zweites Mal zu bearbeiten (vgl. Kap. 5.7.3).
• Dadurch ist ein Vergleich mit den Arbeitsweisen und den Ergebnissen der anderen Schüler bei diesen Aufgaben nur bedingt und an ausgezeichneten Stellen möglich.

6.3.1 Ergebnisse zu Aufgabe 3a

• Bei dieser Aufgabe traten wie bereits bei den Aufgaben 1b, 1h und 2a nur bei wenigen Probanden inhaltli che Probleme auf.
• Die technischen Schwierigkeiten der Probanden werden im Folgenden im Hinblick auf die im Rahmen der Bearbeitung von Aufgabe 2a beobachteten Fehlermuster analysiert: I. Vergessen des „=“-Zeichens; II.
• Dabei werden im Rahmen von Aufgabe 3a nur die Schüler berücksichtigt, die diese Aufgabe nur einmal bearbeitet haben.
• Diese Schüler können wieder mehreren Fehlertypen zugeordnet werden.

6.3.2 Ergebnisse zu Aufgabe 3b

• Bei dieser Aufgabe, die in ihrer Struktur Aufgabe 2b ähnelt, sollte das Änderungsverhalten der Funktion f mit ( ) 1342 −−= nnnf beim Übergang von n=5 nach n=6 mit Hil fe der Differenzenfunktion analysiert werden.
• Die Schüler konnten hierbei zwischen den Darstellungen Tabelle und Graph wählen.
• Die Analyse der Arbeitsweisen der 15 Schüler, die von Netzwerkproblemen betroffen waren und die Aufgabe ein zweites Mal bearbeiten mussten, ist im Rahmen dieser Aufgabe nicht sinnvoll , da insbesondere die Auswahl und das Arbeiten mit den beiden Darstellungen das ursprüngliche Vorgehen der Probanden nur unzureichend widerspiegeln.
• Diese Schüler werden daher hier nicht berücksichtigt.
• Insbesondere haben 63 % der Schüler die Aufgabe bereits im ersten Lösungsanlauf fehlerfrei gelöst.

6.3.3 Ergebnisse zu Aufgabe 3c

• Gegenstand dieser „ Interpolationsaufgabe“, die in ihrer Struktur den Aufgaben 2c und 2d ähnelt, ist die quadratische Z-Funktion ( ) 207,41,1 2 +−−= nnnf und deren Differenzenfunktion.
• Die Schüler sollten hierbei die nicht in der tabellarischen Darstellung aufgeführten Funktionswerte ( ) 2,214 =−f und ( ) 2,102 −=D durch Verknüpfen geeigneter „benachbarter“ Funktionswerte bestimmen.
• Die mit der Tabelle interaktiv verbundene graphische Darstellung dient im Rahmen dieser Aufgabe zur visuellen Kontrolle der beiden gesuchten Funktionswerte.
• Aufgabe 3c ist kein Bestandteil des Versuchsprogramms der Gruppe C, so dass lediglich die Schülergruppen A und B in die folgende Auswertung einbezogen werden.
• Da über die Arbeitsweisen und inhaltli chen Schwierigkeiten der Probanden, welche die Aufgabe mehrfach bearbeitet haben, keine Aussagen gemacht werden kann, werden weiterhin nur die Schüler berücksichtigt, die nicht von Netzwerkproblemen betroffen waren.

6.3.4 Ergebnisse zu Aufgabe 3d

• Im Rahmen dieser Aufgabe sollte die Funktionenklasse ( ) cnnnf +−= 82 2 untersucht und der Einfluss des Parameters c auf die entsprechenden Differenzenfunktionen beschrieben und begründet werden.
• Zu Analysezwecken konnten die Probanden zwischen den Darstellungen Tabelle und Graph wählen und den Parameter c mit Hil fe eines Rollbalkens variieren.
• Im Folgenden werden zunächst die verbalen Beschreibungen der Probanden analysiert.
• Es ist davon auszugehen, dass sich ihre Argumentationen gegenüber der ersten Bearbeitung dieser Aufgabe nicht geändert haben.
• Aussagen über die Art und Weise ihres Umgangs mit den Darstellungen Graph und Tabelle sind jedoch nur bedingt möglich.

A Darstellungsabhängige Beschreibungen (Graph)

• Die Differenz zwischen den Punkten bleibt deshalb gleich und die Differenzenfunktion kann sich nicht ändern.
• - Die Parabel wird nur in ihrer Position, nicht in ihrer Form verändert.
• Es verändert sich nur der Achsenabschnitt, nicht die Form des Graphen. - D bewegt sich auf der y-Achse im positiven und negativen Bereich, auf der x-Achse hat sie einen festen Punkt. - D gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an. - Graph von D ist konstant.

A Darstellungsabhängige Argumentationen (Graph)

• - Die Differenzenfunktion gibt die Steigung der Funktion f an.
• Da sich bei einer Änderung des Parameters c die Steigung der Funktion nicht ändert, ändert sich D nicht.
• Die Differenz zwischen den Punkten bleibt deshalb gleich und die Differenzenfunktion kann sich nicht ändern.
• - Man verschiebt die Parabel nur und so entstehen keine Unterschiede bei dem Wert n. - c verschiebt die Parabel nur nach oben, verändert aber nicht das Verhältnis der Werte zu- einander.
• - Jeder einzelne Funktionswert wird um den gleichen Abstand verschoben, was die Diffe- renz natürlich gleich bleiben lässt.

B Darstellungsunabhängige Argumentationen

• - Zu jedem Funktionswert wird der gleiche 49: Aufgabe 3d – Argumentationsmuster bei adäquaten Begründungen Während die Schüler hauptsächlich geometrisch mit Bezug auf die graphischen Darstellungen der Funktion und deren Differenzenfunktion argumentierten, begründeten die Studierenden die Invarianz von D signifikant häufiger darstellungsunabhängig bzw.
• Die meisten Probanden benutzten dagegen Begriffe wie „Abstand“ , „Differenz“ oder „Verhältnis“ , die auf eine diskrete Sicht auf die Eigenschaften der untersuchten Funktionen hindeuten.
• Berücksichtigt man, dass die Schüler bis zu diesem Zeitpunkt noch keine Kenntnisse der Differenzialrechnung erworben hatten, überrascht diese Beobachtung nicht.

6.3.5 Ergebnisse zu Aufgabe 3e

• Diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teilaufgaben.
• Die Schüler sollten zunächst das Intervall 229 angegeben, in dem die Funktionswerte der Differenzenfunktion das Vorzeichen ändern.
• In einem zweiten Aufgabenteil sollte dieses Ergebnis mit Blick auf die Eigenschaften der Ausgangsfunktion f mit ( ) 892 2 −−= nnnf interpretiert werden.
• Bei dieser Fragestellung konnten die Schüler zwischen den Darstellungen Graph und Tabelle wählen.
• Ein Vergleich mit der Gruppe der Studierenden entfällt , da diese Aufgabe nicht Teil i hres Testprogramms war.

B Global

• - Der Graph fällt bis ca. –1 und beginnt wieder gen 0 zu steigen.
• - Die Steigung ändert sich zwischen den Werten 1 und 3 von negative in positive Steigung.
• - Die Funktion verändert ihre Steigung. - Wenn der Graph fällt , entstehen negative f-Werte, wenn er steigt positive.

C Lokal und Global

• - Ist die Differenz zwischen 2 Stufen positiv, so steigt der Graph, ist die Differenz negativ, fällt der Graph.
• Der Scheitelpunkt ist der 0-Wert. - Bei negativen Werten fällt der Graph, bei positiven steigt er, d. h. der Tiefpunkt der Funktion liegt zwischen den Differenzenfunktionswerten von D, bei denen sich das Vorzeichen ändert.
• - Die Funktion ist am Scheitelpunkt angelangt, ab hier steigt die Funktion wieder.

D Bedeutung des Vorzeichenwechsels wurde nicht erkannt

• - Die Funktionswerte gehen nun in den negativen Bereich und beim Übergang von 5=n nach 6=n gelangen sie wieder in den positiven Bereich mit Vorzeichen „plus“ .232 - Es ändert sich.
• - Der Funktionswert wechselt von 1=n nach 2=n vom negativen ins positive.
• Dabei haben nur 17 % der Schüler den Blick ausschließlich auf den Tiefpunkt von f gerichtet (Kategorie A).
• Beziehung diskret-kontinuierlich Interessant sind die lokalen Argumente der Schüler, die den Tiefpunkt beschreiben (Kategorien A und C).
• Die verbalen Formulierungen der anderen Schüler deuten auf ein Funktionsverständnis hin, dass stark von einer kontinuierlichen Sicht auf lokale Eigenschaften geprägt ist.

6.3.6 Ergebnisse zu Aufgabe 3f

• Die Schüler und die Studierenden sollten im Rahmen dieser Aufgabe die Termdarstellung der Differenzenfunktion der allgemeinen quadratischen Z-Funktion f mit ( ) cbnannf ++= 2 bestimmen.
• Die Bearbeitung dieser Aufgabe erfolgte auf einem separaten Arbeitsblatt.
• Fehlerhaft bearbeitet haben diese Aufgabe 19 % der Schüler und 9,5 % der Studierenden.
• Zwei Schüler hatten zwar mit den ersten drei Lösungsschritten keine Schwierigkeiten, waren jedoch nicht in der Lage, die Terme angemessen zusammenzufassen.
• Auffallend hoch ist der Anteil der Schüler, die ein leeres Arbeitsblatt ablieferten und im Rahmen der 235 Einer dieser drei Schüler hatte bereits Schwierigkeiten bei der Anwendung der binomischen Formel.

6.3.7 Ergebnisse zu Aufgabe 3g

• Die Schüler und Studierenden sollten den Einfluss des Parameters b auf die graphische bzw.
• Tabellarische Darstellung der entsprechenden Differenzenfunktion untersuchen und begründen.
• Der Parameter b konnte mit Hil fe eines Rollbalkens variiert werden.

A1 Parallelverschiebung

• - Die Differenzenfunktion wandert an der y-Achse nach unten.
• - Die Differenzenfunktion wird wie die Parabel nur hin- und her verschoben.

A2 Änderung des Achsenabschnitts

• - Der y-Achsenabschnitt wandert auf der y-Achse rauf und runter.
• - Es ändert sich nur der Achsenabschnitt.
• Je größer b, desto größer wird der Achsenabschnitt von D. A3 Steigung konstant - Die Steigung bleibt konstant.
• - Die Differenz der D-Werte zueinander ändert sich nicht.
• A4 Lokale numerische Eigenschaften - Wenn man den Parameter b um 0,1 ändert, ändert sich auch D um 0,1. - Wird b größer, werden auch ( )0D und alle anderen Punkte größer und umgekehrt.

B4 Formgleichheit, Symmetrie

• - Wenn 0=b ist, dann teilt die x-Achse den Graph in genau 2 Hälften.
• Wenn b positiv ist, dann bewegt sich die Parabel in den negativen Bereich.
• - Der Graph verschiebt sich auf der x-Achse.
• B2 Konstanter Achsenabschnitt - Der Scheitelpunkt verändert sich.
• Um diesen Punkt dreht sich (rotiert, rollt ) die Parabel.

A Graphisch-geometrische Argumentation

• Es wird eine Beziehung zwischen der graphischen Darstellung der Differenzenfunktion D und der entsprechenden Ausgangsfunktion f hergestellt .
• Die Eigenschaften von D werden in Bezug auf die Eigenschaften von f begründet.
• Die Differenzen liegen nur auf einem anderen Niveau. -.
• Da sich der Scheitelpunkt von f verändert, verändert sich auch der Schnittpunkt von D mit der x-Achse.

B Algebraische Argumentation

• Es wird eine Beziehung zwischen der graphischen Darstellung von D und der Termdarstellung (( )) baannD ++++==2 hergestellt .
• Die Ausgangsfunktion wird dabei nur implizit (über den formalen Zusammenhang der allgemeinen quadratischen Z-Funktion und deren Differenzenfunktion) in die Analysen mit einbezogen.
• Aufgabe 3g – Argumentationsmuster bei adäquaten Begründungen Diejenigen Schüler, welche die Aufgabe zufriedenstellend lösten, argumentierten ausschließlich formal in Bezug auf die allgemeine Termdarstellung der Differenzenfunktion, also known as 63.
• Dagegen argumentierten 38 % der Probanden graphisch-geometrisch.

6.4 Ergebnisse zu Aufgabe 4

• Das Aufgabenmodul „Dreieckszahlen“ gliedert sich in vier Teile.
• Teile ist die rekursive Darstellung des Zählproblems.
• Im vierten Aufgabenteil wird eine Arbeitsumgebung zum Finden einer expliziten Formel zur Beschreibung der Dreieckszahlen bereitgestellt .

6.4.1 Ergebnisse zu Aufgabe 4a

• Bei dieser Aufgabe sollten die Probanden die ersten 6 Folgenglieder der auf dem vorhergehenden Excel-Blatt zeichnerisch dargestellten Dreieckszahlen angeben.
• Wie eine detailli ertere Analyse der Arbeitsweisen zeigt, wechselten die Probanden, welche die Aufgabe erst nach mehreren Lösungsanläufen lösten, bis auf einen Fall im Laufe der Bearbeitung noch einmal zu der zeichnerischen Darstellung zurück.
• Hier diente das Zurückblättern der Überprüfung und Korrektur der numerischen Eingaben.
• Offensichtlich hatte die Mehr- heit dieser Probanden (82 %) – wie auch der folgende Transkriptausschnitt verdeutlicht – den.
• Text des entsprechenden Excel-Blatts vor der Bearbeitung von Aufgabe 2a (also vor der Eingabe der ersten Folgenglieder) konzentriert gelesen und den iterativen Aufbau der Dreieckszahlen nach sorgfältiger Analyse erkannt.

6.4.2 Ergebnisse zu Aufgabe 4b

• Bei dieser Aufgabe sollte die rekursive Folge der Dreieckszahlen auf induktivem Insgesamt 62 % der Studierenden, aber nur 45 % der Schüler lösten diese Aufgabe im ersten Lösungsanlauf (vgl. Tab. 70).
• Der relativ hohe Prozentsatz an fehlerhaften Lösungen ist darauf zurückzuführen, dass es im Rahmen dieser Aufgabe keine Möglichkeit zur eigenständigen Lösungskontrolle (etwa mit Hil fe eines „Ok-Buttons“) gab.
• Drei Fehlertypen lassen sich auf inhaltli che Schwierigkeiten beim Erfassen der rekursiven Struktur bzw.
• Daneben waren auch Fehler zu beobachten, deren Ursache in einer inadäquaten Verwendung des technischen Werkzeugs TKP zu suchen ist.

6.4.3 Ergebnisse zu Aufgabe 4c

• Bei dieser Aufgabe sollten die Probanden die ersten 16 Folgen der Dreieckszahlen mit Hil fe des TKP berechnen.
• Hierbei beziehen wir uns auf die relative Häufigkeit der Probanden, die nur einen Lösungsanlauf benötigten sowie den Anteil der Probanden, welche die Aufgabe fehlerhaft lösten.
• Es fällt weiterhin auf, dass die Schüler die Aufgabe schlechter gelöst haben als die „Streichholzaufgabe“ 1b.
• Die Studierenden haben Aufgabe 4c etwas besser bearbeitet als Aufgabe 1b, was auf eine zunehmende Vertrautheit mit dem Lernprogramm und auf ein im Vergleich zu Aufgabe 1b konzentrierteres Arbeiten zurückgeführt werden kann.
• 72: Lösungsversuche: Vergleich: Aufgabe 1b – 4c Der hohe Prozentsatz der Schüler, die eine fehlerhafte Lösung angaben und nicht mehr korrigierten, überrascht insofern, als im Rahmen dieser Aufgabe sowohl ein „Hinweis“- als auch ein „Lösungs-Button“ zur Überprüfung des eigenen Ergebnisses zur Verfügung stand.

6.4.4 Ergebnisse zu Aufgabe 4d

• Ziel dieser Aufgabe ist das Finden einer expliziten Formel für die Dreieckszahlen.
• Die Lösungsstrategien „Bleistift und Papier“ , „Differenzenfolge“ und „Experimentieren“, also known as Wege auf.
• Wie die Tabelle 78 verdeutlicht, lösten die Studierenden die Aufgabe nicht signifikant besser als die Schüler (Chiquadrat-Vierfeldertest, 966,0=p ).
• Dabei bezeichnen wir die Probanden, welche die explizite Formel für die Dreieckszahlen richtig bestimmten, als „erfolgreiche“ Probanden und nennen die anderen „erfolglose“ Probanden.
• Im Hinblick auf das experimentelle Arbeiten werden die Arbeitsweisen sämtlicher Probanden genauer untersucht.

6.5 Antwor ten zu Aufgabe 5

• Bei dieser Aufgabe sollten die Schüler auf einem separaten Arbeitsblatt die Differenzenfunktion einer kubischen Z-Funktion graphisch ermitteln.
• Ihre Aufgabe war es, die Differenzenfunktion einer polynomialen Funktion vierten Grades zu bestimmen.
• Auch ihnen war die Termdarstellung der Ausgangsfunktion258 nicht bekannt.

7 Diskuss ion d er Ergebnisse

• Die Ergebnisse der empirischen Untersuchung zum Themenkomplex „Differenzenfunktionen“ werden in diesem Kapitel hinsichtlich der in Kap. 5.1 aufgeführten Interessensschwerpunkte – die Arbeitsweisen der Probanden und das zugrunde liegende bzw.
• Die gewonnenen Ergebnisse lassen sich an einigen Stellen zu verallgemeinerten Aussagen verdichten, die als Hypothesen für zukünftige Untersuchungen dienen können.

7.2.1 Kenntnisse und Begr iffsvorstellungen

• Im Zentrum der empirischen Untersuchung stand der Begriff der Differenzenfolge bzw.
• Differenzenfunktion, ein für beide Probandengruppen bislang unbekannter Begriff .
• So begründeten die Schüler die Invarianz der Differenzenfunktion im Rahmen der Analyse der Funktionenklasse ( ) cnnnf +−= 82 2 fast ausschließlich graphischgeometrisch in Bezug zu den entsprechenden Darstellungen.
• Ebene stellte somit für die – wie im Laufe der Versuchsdurchführung deutlich wurde – algebraisch schwachen Schüler eine alternative Arbeits- und Argumentationsebene dar.
• Der Differenzialrechnung – eine diskrete Sicht häufig durch eine ergänzende kontinuierliche Sicht überlagert wird.

7.2.2 Problemlösefähigkeit

• Die im Rahmen des Lernprogramms konzipierte Arbeitsumgebung zum Themenkomplex „Dreieckszahlen“ konnte von etwa 60 % beider Probandengruppen erfolgreich zum Finden einer expliziten Darstellung für die Folge der Dreieckszahlen genutzt werden.
• Insbesondere nutzte nur ein kleiner Teil der Probanden die formale Darstellung der Differenzenfolge und ihre Beziehung zur quadratischen Funktion zum Finden der expliziten Formel.
• Die Ergebnisse zeigen weiterhin deutliche Unterschiede in den Arbeitsweisen der Schüler und der Studierenden.
• Es zeigten sich aber auch unsystematische Vorgehensweisen, bei denen die Lösung nach „Versuch und Irrtum“ gefunden wurde.
• Auch die erfolglosen Schüler nahmen die Möglichkeit des experimentellen Arbeitens zum Teil ausgiebig in Anspruch, wenngleich dieser Weg letztendlich nicht zum Ziel führte.

Full text

Zur Bedeutung diskreter Arbeitsweisen
im Mathematikunterricht
Inaugural-Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaftlichen Fachbereiche
– Fachbereich Mathematik und Informatik, Physik, Geographie –
der Justus-Liebig-Universität Gießen
vorgelegt von
Silke Thies
Gießen, April 2002

Inhaltsverzeichnis 2
Inhaltsverzeichnis
Einleitung...................................................................................................................7
1
Zur Entwicklung Diskreter Mathematik.............................................................12
1.1
Kombinatorik .........................................................................................................................12
1.2
Graphentheorie.......................................................................................................................14
1.3
Kombinatorische Optimierung...............................................................................................16
1.4
Komplexitätstheorie ...............................................................................................................18
1.5
Codierungstheorie und Kryptographie...................................................................................20
1.6
Zusammenfassung..................................................................................................................22
2
Diskrete Mathematik im Mathematikunterricht ................................................24
2.1
Rückblick auf die Entwicklung diskreter Mathematik im Mathematikunterricht..................24
2.1.1
Kombinatorik als (eigenständiger) Unterrichtsgegenstand .......................................24
2.1.2
Graphentheoretische Elemente im Mathematikunterricht.........................................27
2.1.3
Codierungstheorie und Kryptographie als Gegenstand des Mathematik-
und/oder Informatikunterrichts..................................................................................28
2.1.4
Zur Beziehung „Diskrete Mathematik – Kontinuierliche Mathematik“....................30
2.1.4.1
Zunehmende Bedeutung des algorithmischen Aspekts..............................30
2.1.4.2
Klassische Analysis versus diskrete Analysis............................................32
2.1.4.3
Der NCTM-Standard „Diskrete Mathematik“ ...........................................35
2.1.5
Sichtweisen auf diskrete Mathematik im Mathematikunterricht...............................36
2.2
Diskrete Mathematik als Feld zum Problemlösen..................................................................37
2.2.1
Abzählprobleme ........................................................................................................38
2.2.2
Graphentheoretische Probleme..................................................................................45
2.3
Beitrag diskreter Mathematik zur Begriffsbildung.................................................................49
2.3.1
Einführung des Variablen- und Termkonzepts..........................................................50
2.3.2
Beitrag zur Entwicklung des Funktionsbegriffs........................................................53
2.3.3
Diskrete Vorbereitung der Analysis ..........................................................................55
2.4
Anwendungen diskreter Mathematik .....................................................................................62
2.4.1
Diskrete Wachstumsmodelle.....................................................................................64
2.4.2
Kryptographische Anwendungen ..............................................................................66
2.5
Zusammenfassung..................................................................................................................68
3
Zur Bedeutung von Handlungen im Lernprozess............................................70
3.1
Entwicklung mathematischen Denkens aus Handlungen.......................................................70
3.1.1
Genetische Erkenntnistheorie von Jean Piaget..........................................................70
3.1.2
Hans Aebli: Verinnerlichung und operatives Durcharbeiten.....................................71
3.1.3
Theorie der Darstellungsebenen nach Jerome S. Bruner...........................................73
3.1.4
Der Verinnerlichungs- und Verallgemeinerungsprozess aus der Sicht des
Klagenfurter EFQUIM-Projekts................................................................................74

Inhaltsverzeichnis 3
3.2
Konsequenzen für den Mathematikunterricht ........................................................................76
3.2.1
Operative Prinzipien..................................................................................................76
3.2.2
Spezielle Varianten des operativen Prinzips .............................................................79
3.2.2.1
Operative Begriffsbildung..........................................................................79
3.2.2.2
Operative Beweise .....................................................................................81
3.2.3
Kritische Bemerkungen zum Einsatz operativer Prinzipien......................................85
3.3
Diskrete Arbeitsweisen im Mathematikunterricht..................................................................87
3.4
Modelle zur Analyse des Verständnisses...............................................................................89
3.5
Zusammenfassung..................................................................................................................93
4
Tabellenkalkulationsprogramme:
Didaktisch-methodische Möglichkeiten – konkrete Arbeitsweisen ...............94
4.1
Arbeiten mit Darstellungen ....................................................................................................94
4.1.1
Generalisieren und Formalisieren von Gesetzmäßigkeiten.......................................94
4.1.2
Beitrag zur Entwicklung des Folgenbegriffs.............................................................97
4.1.3
Entdecken und Beweisen kombinatorischer Beziehungen........................................98
4.2
Experimentelles Arbeiten.....................................................................................................100
4.2.1
Erkunden von Begriffseigenschaften.......................................................................102
4.2.2
Experimentelles Arbeiten im Problemlöseprozess..................................................107
4.2.3
Modellbildung und Simulation................................................................................109
4.3
Tabellenkalkulationsprogramme als Lernsysteme ...............................................................112
4.4
Diskrete Arbeitsweisen in einer TKP-gestützten Lernumgebung........................................116
4.5
Zusammenfassung................................................................................................................118
5
Planung und Durchführung der empirischen Untersuchung..............................119
5.1
Fragestellungen ....................................................................................................................119
5.2
Zur Methode der empirischen Untersuchung.......................................................................120
5.3
Überlegungen zur Datenerhebung........................................................................................123
5.3.1
Beobachtungsform...................................................................................................123
5.3.2
Datenfixierung.........................................................................................................124
5.4
Überlegungen zur Auswertung der erhobenen Daten ..........................................................126
5.5
Versuchsteilnehmer..............................................................................................................128
5.5.1
Studierende..............................................................................................................128
5.5.2
Schüler.....................................................................................................................129
5.6
Lern- und Versuchsumgebung .............................................................................................129
5.6.1
Aufgabe 1: Die Streichholzfolge.............................................................................131
5.6.2
Aufgabe 2: Durchschnittstemperaturen...................................................................137
5.6.3
Aufgabe 3: Quadratische Z-Funktionen ..................................................................141
5.6.4
Aufgabe 4: Dreieckszahlen......................................................................................150
5.6.5
Aufgabe 5: Noch eine Z-Funktion...........................................................................154
5.7
Versuchsdurchführung .........................................................................................................155
5.7.1
Voruntersuchung mit den Studierenden ..................................................................155
5.7.2
Überarbeitung des Versuchsprogramms..................................................................156

Inhaltsverzeichnis 4
5.7.3
Hauptuntersuchung mit den Schülern......................................................................158
5.7.4
Vergleich der drei Testversionen: Übersicht...........................................................160
6
Ergebnisse der empirischen Untersuchung...................................................161
6.1
Ergebnisse zu Aufgabe 1......................................................................................................161
6.1.1
Ergebnisse zu Aufgabe 1a .......................................................................................161
6.1.2
Ergebnisse zu Aufgabe 1b.......................................................................................162
6.1.2.1
Erstellen der Tabelle ................................................................................162
6.1.2.2
Inhaltliche/technische Probleme ..............................................................163
6.1.3
Ergebnisse zu Aufgabe 1c .......................................................................................165
6.1.3.1
Lesen der Tabellendarstellung .................................................................165
6.1.3.2
Verwenden des „Ok-Buttons“..................................................................166
6.1.4
Ergebnisse zu Aufgabe 1d.......................................................................................166
6.1.4.1
Lesen der Tabellendarstellung .................................................................167
6.1.4.2
Nutzen des „Ok-Buttons“.........................................................................168
6.1.5
Ergebnisse zu Aufgabe 1e .......................................................................................168
6.1.5.1
Erstellen der Tabelle ................................................................................168
6.1.5.2
Inhaltliche/technische Probleme ..............................................................169
6.1.6
Ergebnisse zu Aufgabe 1f........................................................................................169
6.1.7
Ergebnisse zu Aufgabe 1g.......................................................................................170
6.1.8
Ergebnisse zu Aufgabe 1h.......................................................................................172
6.1.8.1
Verwenden des „Hinweis-Buttons“ .........................................................172
6.1.8.2
Inhaltliche/technische Probleme ..............................................................173
6.1.9
Ergebnisse zu Aufgabe 1j........................................................................................173
6.2
Ergebnisse zu Aufgabe 2......................................................................................................174
6.2.1
Ergebnisse zu Aufgabe 2a .......................................................................................174
6.2.2
Ergebnisse zu Aufgabe 2b.......................................................................................176
6.2.2.1
Auswahl der Darstellungen......................................................................176
6.2.2.2
Strategien beim Arbeiten mit Darstellungen............................................177
6.2.2.3
Inhaltliche Probleme ................................................................................180
6.2.3
Ergebnisse zu Aufgabe 2c .......................................................................................181
6.2.4
Ergebnisse zu Aufgabe 2d.......................................................................................182
6.2.4.1
Arbeiten mit dem Graph...........................................................................182
6.2.4.2
Inhaltliche Probleme ................................................................................183
6.2.5
Ergebnisse zu Aufgabe 2e .......................................................................................184
6.2.5.1
Auswahl der Darstellungen......................................................................185
6.2.5.2
Strategien beim Arbeiten mit Darstellungen............................................185
6.3
Ergebnisse zu Aufgabe 3......................................................................................................188
6.3.1
Ergebnisse zu Aufgabe 3a .......................................................................................188
6.3.2
Ergebnisse zu Aufgabe 3b.......................................................................................190
6.3.2.1
Auswahl der Darstellungen......................................................................190
6.3.2.2
Strategien beim Arbeiten mit Darstellungen............................................191
6.3.2.3
Inhaltliche Probleme ................................................................................192

Inhaltsverzeichnis 5
6.3.3
Ergebnisse zu Aufgabe 3c .......................................................................................194
6.3.3.1
Arbeiten mit der Tabelle ..........................................................................194
6.3.3.2
Inhaltliche Probleme ................................................................................195
6.3.4
Ergebnisse zu Aufgabe 3d.......................................................................................197
6.3.4.1
Verbale Beschreibung der Differenzenfunktion.......................................197
6.3.4.2
Begründung der Eigenschaften der Differenzenfunktion.........................198
6.3.4.3
Arbeiten mit Darstellungen......................................................................200
6.3.4.4
Beziehung: Arbeiten mit Darstellungen – Argumentationen...................201
6.3.5
Ergebnisse zu Aufgabe 3e .......................................................................................202
6.3.5.1
Aufgabenteil 1: Lesen von Darstellungen................................................202
6.3.5.2
Aufgabenteil 2: Argumentieren über Eigenschaften................................203
6.3.5.3
Strategien beim Arbeiten mit Darstellungen............................................205
6.3.5.4
Einfluss der Darstellungswahl auf das Lösen der Aufgabe......................206
6.3.6
Ergebnisse zu Aufgabe 3f........................................................................................208
6.3.7
Ergebnisse zu Aufgabe 3g.......................................................................................209
6.3.7.1
Verbale Beschreibung der Differenzenfunktion.......................................209
6.3.7.2
Begründung der Eigenschaften der Differenzenfunktion.........................211
6.3.7.3
Arbeiten mit Darstellungen......................................................................213
6.3.7.4
Beziehung: Arbeiten mit Darstellungen - Argumentationen....................214
6.4
Ergebnisse zu Aufgabe 4......................................................................................................215
6.4.1
Ergebnisse zu Aufgabe 4a .......................................................................................215
6.4.2
Ergebnisse zu Aufgabe 4b.......................................................................................218
6.4.3
Ergebnisse zu Aufgabe 4c .......................................................................................220
6.4.3.1
Inhaltliche/technische Probleme ..............................................................220
6.4.3.2
Vergleich: Aufgabe 4b – Aufgabe 4c.......................................................222
6.4.4
Ergebnisse zu Aufgabe 4d.......................................................................................223
6.4.4.1
Lösungsstrategien.....................................................................................224
6.4.4.2
Strategie „Bleistift und Papier“................................................................225
6.4.4.3
Strategie „Differenzenfolge“....................................................................226
6.4.4.4
Experimentelles Problemlösen.................................................................227
6.5
Antworten zu Aufgabe 5 ......................................................................................................237
6.5.1
Ergebnisse der Schüler ............................................................................................237
6.5.2
Ergebnisse der Studierenden ...................................................................................240
7
Diskussion der Ergebnisse..............................................................................242
7.1
Diskrete Arbeitsweisen.........................................................................................................242
7.1.1
Arbeiten auf der Objektebene..................................................................................242
7.1.1.1
Algorithmisches Arbeiten ........................................................................242
7.1.1.2
Iteratives Arbeiten....................................................................................242
7.1.1.3
Funktionales Arbeiten..............................................................................244
7.1.2
Arbeiten auf der Darstellungsebene ........................................................................248
7.1.2.1
Arbeiten mit nicht-dynamisierten Darstellungen .....................................248
7.1.2.2
Arbeiten mit dynamisierten Darstellungen...............................................249