Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Partial Differential Equations. By J. Hadamard. Pp. viii+316. 15s.net. 1923. (Per Oxford University Press.)

The Journal of the Acoustical Society of America

Photoacoustic imaging is a promising method for visualizing biological tissues with optical absorbers. This article provides an overview of the rapidly developing field of photoacoustic imaging. Photoacoustics, the physical basis of photoacoustic imaging, is analyzed briefly. The merits of photoacoustic technology, compared with optical imaging and ultrasonic imaging, are described. Various imaging techniques are also discussed, including scanning tomography, computed tomography and original detection of photoacoustic imaging. Finally, some biomedical applications of photoacoustic imaging are summarized.

Photoacoustic imaging in biomedicine

Gegenstand des Buches ist die Dual Weighted Residual method (DWR), ein sehr effizientes numerisches Verfahren zur Behandlung einer großen Klasse von variationell formulierten Differentialgleichungen. Das numerische Verfahren ist adaptiv, d.h. es konstruiert eigenständig eine Folge von Approximationen für eine gegebene Fragestellung. Typische Fragestellungen sind die Bestimmung gewichteter Mittelwerte der Lösung oder ihrer Ableitungen, die Bestimmung von Randintegralen über Lösungskomponenten (relevant z.B. für die Berechnung von strömungsmechanischen Kenngrößen) oder die Bestimmung von Spannungsintensitätsfaktoren (z.B. in der Bruchmechanik). Das Verfahren basiert auf Projektionsmethoden wie z.B. der Finiten Elemente Methode (FEM). Dort wird die Approximationsgüte durch die Wahl der Gitter gesteuert. Der Kern jeder adaptiven FEM ist deshalb die Art, wie die Gitter gewählt werden. Typischerweise geschieht dies in einer adaptiven Schleife, in der in mehreren Durchgängen schrittweise das Gitter verbessert wird, bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Bei der DWR wird in jedem Schleifendurchgang ein lineares Hilfsproblem—das sog. duale Problem, welches von der vorliegenden Fragestellung abhängt—(näherungsweise) gelöst. Weiterhin wird eine Approximation der Differentialgleichung bestimmt. Aus diesen nun vorliegenden Daten wird dann herausdestilliert, wo das Gitter verfeinert werden sollte bzw. vergröbert werden kann, um eine genauere Lösung zu erhalten. Ziel eines adaptiven Algorithmus ist, das gewünschte Ergebnis möglichst effizient zu bestimmen, d.h. mit möglichst geringem Bedarf an Resourcen (Rechenzeit, Speicherbedarf etc.). Mit zahlreichen Beispielen belegt das Buch, daß die DWR dieses Ziel erreicht. Es sei hier besonders hervorgehoben, daß eine Kosten-Nutzen-Betrachtung für die DWR besonders bei nichtlinearen Problemen günstig ausfällt, da die Kosten für die Lösung des linearen Hilfsproblems vergleichbar mit denen eines Newtonschrittes sind und somit nur einen kleinen Teil der Gesamtkosten ausmachen. Das Buch gibt einen sehr guten Überblick über die Technik und die Möglichkeiten der DWR. In einleitenden Kapiteln wird die DWR an gewöhnlichen Differentialgleichungen und dann an einfachen linearen, elliptischen partiellen Differentialgleichungen sehr klar und verständlich vorgeführt. Anschließend wird die DWR in einem abstrakten funktionalanalytischen Rahmen vorgestellt. Der Rest des Buches illustriert auf eindrucksvolle Weise die Leistungsfähigkeit und Breite der Anwendungsfähigkeit des Konzeptes an Hand von Fallbeispielen: Es werden Eigenwertprobleme, Optimierungsaufgaben mit Zwangsbedingungen, die durch eine partielle Differentialgleichung gegeben sind, Strukturmechanikprobleme (lineare Elastizität, Plastizität), Strömungsmechanik (hydrodynamische Stabilitätsanalyse, Berechnung von Strömungskennwerten) behandelt. Auch zeitabhängige Probleme wie die Lösung der Wellengleichung werden mit der DWR erfolgreich bearbeitet. Insgesamt wird klar ersichtlich, daß die DWR eine sehr flexible und vielseitig anwendbare Technik ist. Die ausgewählten numerischen Beispiele, die vor allem aus umfangreichen numerischen Untersuchungen der Gruppe von Rolf Rannacher aus den letzten 10 Jahren ausgewählt wurden, sind sehr illustrativ. Die Erläuterungen zu den Beispielen sind auch deshalb interessant, weil eine Menge zusätzlicher Informationen über die numerische Behandlung des vorliegenden Problems quasi nebenbei einfließen. Das Buch entstand aus einer fortgeschrittenen Spezialvorlesung, die an der ETH Zürich gehalten wurde. Einen Lehrbuchcharakter erhält das Buch dadurch, daß Übungsaufgaben (mit detailierten Lösungen im Anhang) jedes Kapitel abschließen. Die Aufgaben enthal-

Adaptive finite element methods for differential equations.

Most engineering and scientific phenomena, such as the surface of a landscape or the continuously changing temperature at a location are inherently infinite in space or time or both. We cannot measure all the data. Generally it is possible to record surface elevation values or the temperature only at some specific locations and times.

Interpolation and Approximation

In this paper, a unified framework for a posteriori error estimation for the Stokes problem is developed. It is based on $$[H^1_0(\Omega )]^d$$ -conforming velocity reconstruction and $$\underline{\boldsymbol{H}}(\mathrm{div},\Omega )$$ -conforming, locally conservative flux (stress) reconstruction. It gives guaranteed, fully computable global upper bounds as well as local lower bounds on the energy error. In order to apply this framework to a given numerical method, two simple conditions need to be checked. We show how to do this for various conforming and conforming stabilized finite element methods, the discontinuous Galerkin method, the Crouzeix---Raviart nonconforming finite element method, the mixed finite element method, and a general class of finite volume methods. The tools developed and used include a new simple equilibration on dual meshes and the solution of local Poisson-type Neumann problems by the mixed finite element method. Numerical experiments illustrate the theoretical developments.

/pdf/a-unified-framework-for-a-posteriori-error-estimation-for-596a3iy034.pdf

A unified framework for a posteriori error estimation for the Stokes problem

We show that the famous maximum angle condition in the finite element analysis is not necessary to achieve the optimal convergence rate when simplicial finite elements are used to solve elliptic problems. This condition is only sufficient. In fact, finite element approximations may converge even though some dihedral angles of simplicial elements tend to π.

The maximum angle condition is not necessary for convergence of the finite element method

This article describes modal analysis of acoustic waves in the human vocal tract while the subject is pronouncing [oː]. The model used is the wave equation in three dimensions, together with physically relevant boundary conditions. The geometry is reconstructed from anatomical MRI data obtained by other researchers. The computations are carried out using the finite element method. The model is validated by comparing the computed modes with measured data.

https://math.aalto.fi/~jmalinen/MyPSFilesInWeb/JasaFotoReady.pdf

Vowel formants from the wave equation

Various finite element families for the Brinkman flow (or Stokes–Darcy flow) are tested numerically. Particularly, the effect of small permeability is studied. The tested finite elements are the MINI element, the Taylor–Hood element, and the stabilized equal order methods. The numerical tests include both a priori analysis and adaptive methods.

/pdf/computations-with-finite-element-methods-for-the-brinkman-2mmxedzzqe.pdf

Computations with finite element methods for the Brinkman problem

This work considers the Cauchy problem for a second order elliptic operator in a bounded domain. A new quasi-reversibility approach is introduced for approximating the solution of the ill-posed Cauchy problem in a regularized manner. The method is based on a well-posed mixed variational problem on $H^1\times H_\mathsf{div}$ with the corresponding solution pair converging monotonically to the solution of the Cauchy problem and the associated flux, if they exist. It is demonstrated that the regularized problem can be discretized using Lagrange and Raviart--Thomas finite elements. The functionality of the resulting numerical algorithm is tested via three-dimensional numerical experiments based on simulated data. Both the Cauchy problem and a related inverse obstacle problem for the Laplacian are considered.

/pdf/an-h-mathsf-div-based-mixed-quasi-reversibility-method-for-2jgiq4c5bq.pdf

Antti Hannukainen

Papers

A unified framework for a posteriori error estimation for the Stokes problem

The maximum angle condition is not necessary for convergence of the finite element method

Vowel formants from the wave equation

Computations with finite element methods for the Brinkman problem

An $H_\mathsf{div}$-Based Mixed Quasi-reversibility Method for Solving Elliptic Cauchy Problems