This paper gives an overview of several results and techniques for graphs algorithms that compute the treewidth of a graph or that solve otherwise intractable problems when restricted graphs with bounded treewidth more efficiently. Also, several results on graph minors are reviewed.

Treewidth: Algorithmic techniques and results

In a parameterized problem, every instance I comes with a positive integer k. The problem is said to admit a polynomial kernel if, in polynomial time, one can reduce the size of the instance I to a polynomial in k, while preserving the answer. In this work we give two meta-theorems on kernelzation. The first theorem says that all problems expressible in Counting Monadic Second Order Logic and satisfying a coverability property admit a polynomial kernel on graphs of bounded genus. Our second result is that all problems that have finite integer index and satisfy a weaker coverability property admit a linear kernel on graphs of bounded genus. These theorems unify and extend all previously known kernelization results for planar graph problems.

Meta) Kernelization

Bidimensionality theory appears to be a powerful framework in the development of meta-algorithmic techniques. It was introduced by Demaine et al. [J. ACM 2005] as a tool to obtain sub-exponential time parameterized algorithms for bidimensional problems on H-minor free graphs. Demaine and Hajiaghayi [SODA 2005] extended the theory to obtain polynomial time approximation schemes (PTASs) for bidimensional problems. In this paper, we establish a third meta-algorithmic direction for bidimensionality theory by relating it to the existence of linear kernels for parameterized problems. In parameterized complexity, each problem instance comes with a parameter k and the parameterized problem is said to admit a linear kernel if there is a polynomial time algorithm, called a kernelization algorithm, that reduces the input instance to an equivalent instance (called kernel) with size linearly bounded by k. We show that "essentially" all bidimensional problems not only have sub-exponential time algorithms and PTASs but they also have linear kernels, affirmatively answering an open question from [J. ACM 2005] where the existence of linear kernels was conjectured for the first time. In particular, we prove that every minor (respectively contraction) bidimensional problem that satisfies the separation property and is of finite integer index, admits a linear kernel for classes of graphs that exclude a fixed graph (respectively an apex graph H) H as a minor. Recently, Bodlaender et al. [FOCS 2009] laid the foundation for obtaining meta-algorithmic results for kernelization and showed that various problems satisfying some logical and compactness properties have polynomial, even linear kernels on graphs of bounded genus. With the use of bidimensionality we are able to extend these results to minor-free and apex-minor-free graphs. Our results imply that a multitude of bidimensional problems, which include Dominating Set, Feedback Vertex Set, Edge Dominating Set, Vertex Cover, r-Dominating Set, Connected Dominating Set, Cycle Packing, Connected Vertex Cover, Almost Constant Treewidth, and various other vertex covering and packing problems, admit linear kernels on the corresponding graph classes. For most of these problems no polynomial kernels on H-minor-free graphs were known prior to our work.

/pdf/bidimensionality-and-kernels-2pu15moab5.pdf

Bidimensionality and kernels

Treewidth: Algorithmoc Techniques and Results

Let F be a finite set of graphs. In the F-deletion problem, we are given an n-vertex graph G and an integer k as input, and asked whether at most k vertices can be deleted from G such that the resulting graph does not contain a graph from F as a minor. F-deletion is a generic problem and by selecting different sets of forbidden minors F, one can obtain various fundamental problems such as {\sc Vertex Cover}, {\sc Feedback Vertex Set} or {\sc Tree width k-deletion}. In this paper we obtain a number of generic algorithmic results about F-deletion, when F contains at least one planar graph. The highlights of our work are: 1. A constant factor approximation algorithm for the optimization version of Planar F-deletion, 2. A linear time and single exponential parameterized algorithm, that is, an algorithm running in time O(exp(2, O(k))n), for the parameterized version of Planar F-deletion where all graphs in Planar F are connected, 3. A polynomial kernel for parameterized F-deletion. These algorithms unify, generalize, and improve a multitude of results in the literature. Our main results have several direct applications, but also the methods we develop on the way have applicability beyond the scope of this paper. Our results -- constant factor approximation, polynomial kernelization and FPT algorithms -- are stringed together by a common theme of polynomial time preprocessing.

/pdf/planar-f-deletion-approximation-kernelization-and-optimal-ilyltt2vx7.pdf

Planar F-Deletion: Approximation, Kernelization and Optimal FPT Algorithms

Veel problemen uit de praktijk kunnen worden gemodelleerd als optimaliserings- of beslis-singsproblemen
op grafen. Denk bijvoorbeeld aan het probleem waarbij een koerier een
aantal pakketjes moet afleveren op verschillende adressen in het land. De manager van de
koerier wil dat hij een zo kort mogelijke route aflegt die begint en eindigt bij het koeriers-bedrijf,
en die alle adressen aandoet. Het probleem om zo n kortste route te vinden is het
zogenaamde handelsreizigersprobleem. De invoer kan worden gemodelleerd als een graaf,
waarbij elke knoop in de graaf een adres vertegenwoordigt en elke kant tussen twee knopen
de weg tussen de corresponderende adressen. Elke kant heeft een gewicht dat aangeeft hoe
lang de corresponderende weg is. Het probleem is dan om een cykel in de graaf te vinden die
alle knopen bevat en waarvoor de som van de gewichten van alle kanten in de cykel minimaal
is.
Helaas is het zo dat de meeste problemen op grafen die praktische problemen modelleren
lastig zijn in die zin, dat er waarschijnlijk geen effici¨ ente algoritmen zijn die deze problemen
oplossen. Formeel gezegd zijn deze problemen NP-lastig. Het handelsreizigersprobleem is
een voorbeeld hiervan. Een manier om hiermee om te gaan is om te kijken of er in het
probleem uit de praktijk een structuur zit die maakt dat het probleem effici¨ enter is op te
lossen. Het kan bijvoorbeeld zo zijn dat het gegeven probleem in het algemeen lastig is, maar
dat de grafen die in de praktijk voorkomen een dusdanige structuur hebben dat er wel een
effici¨ ent algoritme voor het probleem bestaat.
Een voorbeeld van een prettige graafstructuur is de boomstructuur: het blijkt dat veel
graafproblemen die in het algemeen lastig zijn, een effici¨ ent algoritme hebben wanneer de
graaf een boom is. Helaas is de boomstructuur erg beperkt: er zijn maar weinig praktische
problemen die kunnen worden gemodelleerd als problemen op bomen. In dit proefschrift kij-ken
we daarom naar een generalisatie van deze structuur, en dat is de boomachtige structuur:
we kijken naar grafen met boombreedte hooguit k of padbreedte hooguit k, waarbij k een
positief geheel getal is.
Intu¨itief gezien geeft de boombreedte van een graaf de mate aan waarin de graaf op een
boom lijkt: hoe groter de gelijkenis, hoe kleiner de boombreedte. Met een graaf van boom-breedte
k kan een boom worden geassocieerd waarbij elke knoop van de boom correspondeert
met een deelgraaf van de graaf op een zodanige manier dat
 elke knoop en elke kant van de graaf in tenminste een knoop van de boom voorkomt, en
 voor elke knoop v in de graaf geldt dat de knopen in de boom die v bevatten een verbonden
deelboom vormen.
Zo n boom bestaande uit deelgrafen wordt een boomdecompositie van de graaf genoemd.
De breedte van de boomdecompositie is het maximaal aantal knopen van de graaf dat in ´ e´ en
233?Samenvatting
knoop van de boomdecompositie voorkomt, min ´ e´ en. De boombreedte van een graaf is de
minimale breedte over alle boomdecomposities van de graaf (een boom heeft boombreedte
´ e´ en). Een paddecompositie van een graaf is een boomdecompositie die de vorm heeft van
een pad. De padbreedte van een graaf is de minimale breedte over alle paddecomposities van
de graaf. Dus de boombreedte van een graaf is altijd ten hoogste gelijk aan z n padbreedte.
Voor veel problemen zoals het handelsreizigersprobleem is er een effici¨ ent algoritme op
grafen met kleine boombreedte. Het blijkt dat er veel praktische graafproblemen zijn waar-voor
de invoergraaf een kleine boombreedte heeft. Bij al deze problemen helpt dit gegeven
bij het vinden van een effici¨ enter algoritme. Deze algoritmen maken meestal gebruik van
een boomdecompositie van de graaf met kleine breedte. Daarom is het nodig om eerst zo n
boomdecompositie van de graaf te vinden. Hiervoor zijn effici¨ ente algoritmen beschikbaar,
zowel sequentieel als parallel.
Helaas is het zo dat veel algoritmen op grafen met een kleine boombreedte alleen in
theorie efficient zijn: de looptijd van de algoritmen is vaak exponentieel in de boombreedte
van de graaf. Dit geldt bijvoorbeeld voor de algoritmen voor het vinden van een boom- of
paddecompositie van breedte hooguit k van een graaf, waarbij k constant is.
Het doel van dit proefschrift is om effici¨ ente sequenti¨ ele en parallelle algoritmen te ont-werpen
voor problemen op grafen met een kleine boom- of padbreedte. Het doel is om
algoritmen te ontwerpen die niet alleen theoretisch effici¨ ent zijn, maar die ook in praktische
toepassingen effici¨ ent kunnen zijn.
Het proefschrift is als volgt georganiseerd. Hoofdstuk 1 geeft een inleiding. In hoofd-stuk
2 worden formele definities van boom- en padbreedte gegeven, en wordt een aantal ei-genschappen
en bekende resultaten over grafen met een kleine boom- en padbreedte gegeven.
Verder worden definities gegeven die worden gebruikt in de rest van het proefschrift.
In hoofdstuk 3 geven we een volledige karakterisatie van grafen met padbreedte twee.
Deze karakterisatie wordt vervolgens gebruikt voor een effici¨ ent sequentieel algoritme dat
beslist of een graaf padbreedte ten hoogste twee heeft en, als dat zo is, een paddecompositie
van minimale breedte vindt. De karakterisatie wordt ook gebruikt in de algoritmen die zijn
beschreven in hoofdstuk 4.
Hoofdstuk 4 gaat over twee problemen welke hun oorsprong vinden in de moleculaire
biologie. In beide problemen bestaat de invoer uit een aantal copie¨ en van een DNA string
welke in fragmenten zijn opgedeeld. Voor elk paar van fragmenten is informatie beschikbaar
over de overlap tussen die twee fragmenten: ´ of we weten dat de fragmenten zeker overlappen,
´ of we weten dat ze zeker niet overlappen, ´ of we weten niets. Met behulp van deze informatie
moet de volledige overlap informatie tussen elk tweetal fragmenten worden berekend, dat wil
zeggen dat voor elk tweetal fragmenten moet worden berekend of ze wel of niet overlappen.
Dit probleem heet k-INTERVALIZING SANDWICH GRAPHS of k-ISG, waarbij k het aantal
copie¨ en is dat is gefragmenteerd. In de tweede variant is ook nog bekend dat alle fragmenten
gelijke lengte hebben. Deze variant heet k-UNIT-INTERVALIZING SANDWICH GRAPHS of k-UISG.
De invoer van beide problemen kan worden gemodelleerd als een graaf. Het blijkt dat
de volledige overlap informatie alleen kan worden berekend wanneer die graaf padbreedte
ten hoogste k heeft, waarbij k weer het aantal copie¨ en is. In Hoofdstuk 4 geven we een
234?Samenvatting
kwadratisch algoritme voor 3-ISG, en we bewijzen dat k-ISG NP-moeilijk is wanneer k 4.
Verder geven we een lineair algoritme voor 3-UISG.
Hoofstukken 5 9 gaan over een speciaal soort algoritmen, namelijk reductie algorit-men.
Een reductie algoritme is een algoritme waarin een reeks reducties wordt uitgevoerd op
de invoergraaf. Het gedrag van de reducties is beschreven in een verzameling van reductie
regels, welke afhangen van het probleem waarvoor het algoritme is. Wanneer de reductie re-gels
aan bepaalde voorwaarden voldoen kan het reductie algoritme lineaire tijd gebruiken (of
logaritmische tijd in het geval van een parallel reductie algoritme). De reductie algoritmen
zijn eenvoudig: de moeilijkheden van het probleem zitten verstopt in de verzameling reductie
regels, en niet in het algoritme.
Er zijn hele klassen van problemen op grafen met begrensde boombreedte waarvoor een
verzameling van reductie regels kan worden geconstrueerd. Het voordeel van reductie algo-ritmen
voor het oplossen van problemen op grafen met begrensde boombreedte is dat er geen
boomdecompositie van de graaf nodig is: de algoritmen werken direct op de graaf.
In hoofdstuk 5 geven we een overzicht van de bestaande theorie¨ en over reductie algorit-men.
We combineren verschillende bestaande idee¨ en en presenteren ze als een geheel. Dit
hoofdstuk is tevens een inleiding voor hoofdstukken 6 9.
Reductie algoritmen hebben als nadeel dat ze alleen optimaliserings- en beslissingspro-blemen
kunnen oplossen: bij een optimaliseringsprobleem wordt alleen de optimale waarde
teruggegeven, maar niet een oplossing waarvoor de waarde optimaal is. Bij beslissingspro-blemen
wordt alleen het antwoord ja of nee gegeven, maar als het antwoord ja is wordt
geen oplossing gegeven. In hoofdstuk 6 breiden we de theorie van reductie algoritmen uit
naar constructieve reductie algoritmen welke ook een (optimale) oplossing teruggeven, mits
er een is. We laten zien dat voor veel problemen op grafen met begrensde boombreedte waar-voor
reductie algoritmen kunnen worden toegepast, ook de constructieve reductie algoritmen
kunnen worden toegepast.
In hoofdstuk 7 passen we de theorie¨ en welke zijn gepresenteerd in hoofdstukken 5 en 6
toe op een aantal optimaliseringsproblemen.
In hoofdstukken 8 en 9 gebruiken we de theorie¨ en uit hoofdstuk 6, aangevuld met nieuwe
idee¨ en, om effici¨ ente, constructieve parallelle reductie algoritmen te verkrijgen voor de vol-gende
twee aanverwante problemen:
 gegeven een graaf, bepaal of hij series-parallel is, en zo ja, vind dan een sp-boom van
de graaf,
 gegeven een graaf, bepaal of hij boombreedte hooguit twee heeft, en zo ja, maak een
boomdecompositie van breedte twee van de graaf.
In hoofdstuk 10 vatten we de resultaten uit dit proefschrift nog eens samen, en geven we
wat richtingen aan voor verder onderzoek.
Appendix A bevat een opsomming van definities van alle graafproblemen welke worden
gebruikt in het proefschrift.
235?Samenvatting
236

B.L.E. de Fluiter

Papers

Algorithms for graphs of small treewidth