Geodesics and Shortest Arcs of Some Sub-Riemannian Metrics on the Lie Groups $ SU(2)\times{𝕉} $ and $ SO(3)\times{𝕉} $ with Three-Dimensional Generating Distributions

On Controllability of a Highly Degenerate Four-Level Quantum System with a ‘‘Chained’’ Coupling Hamiltonian

Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли образуют важный класс задач с большой группой симметрий. Они интересны в теоретическом плане, так как часто допускают полное исследование и на этих модельных задачах можно изучить общие закономерности. В частности, задачи на нильпотентных группах Ли доставляют фундаментальную нильпотентную аппроксимацию общих задач. Левоинвариантные задачи также часто возникают в приложениях: в классической и квантовой механике, геометрии, робототехнике, моделях зрения и обработке изображений. Цель данной работы - дать обзор основных понятий, методов и результатов, относящихся к левоинвариантным задачам оптимального управления на группах Ли, интегрируемым в эллиптических функциях. Основное внимание уделено описанию экстремальных траекторий и их оптимальности, времени разреза и множества разреза, оптимального синтеза. Библиография: 162 названия. 

Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли, интегрируемые в эллиптических функциях

Sub-Lorentzian distance and spheres on the Heisenberg group

The study of transformations that preserve the space-time metric plays an extremely important role in mathematical physics. It's sufficient to say that the most important conservation laws are associated with such transformations. These transformations generate the so-called Killing vector field. Killing vector fields in physics indicate the symmetry of the physical model and help find conserved quantities such as energy and momentum. In this paper, we study the question about the classification of the geometry of orbits of Killing vector fields #CSOC1120. 

On the Geometry of the Orbits of Killing Vector Fields

Abstract Left-invariant optimal control problems on Lie groups are an important class of problems with a large symmetry group. They are theoretically interesting because they can often be investigated in full and general laws can be studied by using these model problems. In particular, problems on nilpotent Lie groups provide a fundamental nilpotent approximation to general problems. Also, left-invariant problems often arise in applications such as classical and quantum mechanics, geometry, robotics, visual perception models, and image processing. The aim of this paper is to present a survey of the main concepts, methods, and results pertaining to left-invariant optimal control problems on Lie groups that can be integrated by elementary functions. The focus is on describing extremal trajectories and their optimality, the cut time and cut locus, and optimal synthesis. Questions concerning the classification of left-invariant sub-Riemannian problems on Lie groups of dimension three and four are also addressed. Bibliography: 91 titles. 

D. Yu. Kovalev

Papers

Left-invariant optimal control problems on Lie groups: classification and problems integrable by elementary functions