(a) If p ramifies in Q(ζm), then p | m; the ramification index ep of the primes over p is φ(p) = (p− 1)pk−1 if p ‖ m. (b) The prime p is wildly ramified in Q(ζm) if and only if p | m. (c) If p m, then p is unramified. In the ring of integers Z[ζm] of Q(ζm), we obtain pOL = ∏gp i=1 pi. The primes pi have residue class degree fp = [Fp(ζm) : Fp], which (by looking at the Frobenius x 7→ x acting on Fp(ζm) = kpi) is equal to the order of p mod m in (Z/mZ)∗. The number of such primes is gp = #{pi|p} = [(Z/mZ)∗ : 〈p mod m〉]. In particular, a prime splits competely if and only if p ≡ 1 (mod m). If Q ⊂ L ⊂ L = Q(ζm) is a subfield given by a subgroup H ⊂ (Z/mZ)∗, then one has the Artin map

Class Field Theory

Conway and Smith’s book is a wonderful introduction to the normed division algebras: the real numbers (R), the complex numbers (C), the quaternions (H) and the octonions (O). The first two are well-known to every mathematician. In constrast, the quaternions and especially the octonions are sadly neglected, so the authors rightly concentrate on these. They develop these number systems from scratch, explore their connections to geometry, and even study number theory in quaternionic and octonionic versions of the integers. Conway and Smith warm up by studying two famous subrings of C: the Gaussian integers and Eisenstein integers. The Gaussian integers are the complex numbers x + iy for which x and y are integers. They form a square lattice:

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Book Review: On quaternions and octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry

Studies in the Theory of Numbers. By L. E. Dickson. Pp. x+230. 18s. 1930. (University of Chicago Press.)

L'entre-deux-guerres mathematique est etudie a partir des 242 theses en sciences mathematiques soutenues en France. Ce corpus est analyse a trois niveaux differents. L'analyse de premier niveau consiste en une analyse quantitative de l'ensemble des doctorats. Elle permet de mettre en evidence les equilibres entre les differents domaines des sciences mathematiques et les differentes facultes de France, celle de Paris et celles de province. Les theses soutenues en province sont alors etudiees separement et revelent les vies mathematiques de plusieurs facultes : celles de Strasbourg, Poitiers, Lyon et Montpellier. Le deuxieme niveau d'analyse est fonde sur l'etude des introductions et des rapports de theses, le troisieme sur celle des theses en elles-memes et des rapports. Le deuxieme niveau est applique aux theses soutenues a Paris et classees dans les domaines de l'arithmetique et de l'algebre, de la geometrie et de la theorie des fonctions. Un ensemble de doctorats classes en theorie des fonctions de la variable complexe et les theses de probabilites sont etudiees avec le troisieme niveau d'analyse. Ces deux derniere echelles permettent de mettre en lumiere le role joue par certains mathematiciens, comme Elie Cartan, de montrer les methodes et les resultats qui sont repris et travailles dans les theses, et de saisir quelques dynamiques de recherche.

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L' entre-deux-guerres mathématique à travers les thèses soutenues en France

L'histoire du theoreme de Jordan est abordee sous l'angle d'une question d'identite posee sur la periode qui separe la date de 1870 et l'enonce par Camille Jordan d'une forme canonique des substitutions lineaires des annees trente du vingtieme siecle au cours desquelles le theoreme de Jordan de la decomposition matricielle acquiert une place centrale dans la theorie des matrices canoniques A partir d'un moment historique de reference, la controverse entre Jordan et Kronecker de 1874, le theoreme de Jordan permet de jeter un regard original sur l'histoire de la periode 1870-1930 en suivant le role joue par des savoirs tacites, des ideaux et des pratiques propres a des reseaux et des communautes Ce regard permet notamment de mettre en evidence la dynamique d'une tension entre formes canoniques et invariants dans l'evolution de la signification de la notion de forme en mathematiques et contribue a l'histoire de l'algebre lineaire en decrivant le role joue par une methode de decomposition indissociable d'un mode particulier de representation : la decomposition matricielle

Histoire du théorème de Jordan de la décomposition matricielle (1870-1930). Formes de représentation et méthodes de décomposition.

L'A. decrit la biographie du mathematicien Dickson (L.E.) et montre sa contribution dans l'histoire des mathematiques grâce a ses travaux sur l'arithmetique des nombres complexes, algebriques et des quaternions

Leonard Eugene Dickson and his work in the Arithmetics of Algebras

A Delicate Collaboration: Adrian Albert and Helmut Hasse and the Principal Theorem in Division Algebras in the Early 1930’s

Role Modeling in Mathematics: The Case of Leonard Eugene Dickson (1874–1954)

Gauss Goes West: The Reception of the Disquisitiones Arithmeticae in the USA

En 1911, le mathematicien Leonard Dickson s'est lance dans une etude historique de la theorie des nombres, qui a culmine avec la publication de son History of the Theory of Numbers en trois volumes. Notre etude examine la genese de ce travail, l'approche historiographique qui la sous-tend et les contributions mathematiques qui en decoulent.

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Della D. Fenster

Papers

Leonard Eugene Dickson and his work in the Arithmetics of Algebras

A Delicate Collaboration: Adrian Albert and Helmut Hasse and the Principal Theorem in Division Algebras in the Early 1930’s

Role Modeling in Mathematics: The Case of Leonard Eugene Dickson (1874–1954)

Gauss Goes West: The Reception of the Disquisitiones Arithmeticae in the USA

Leonard Dickson's History of the Theory of Numbers: An historical study with mathematical implications