Gegenstand des Buches ist die Dual Weighted Residual method (DWR), ein sehr effizientes numerisches Verfahren zur Behandlung einer großen Klasse von variationell formulierten Differentialgleichungen. Das numerische Verfahren ist adaptiv, d.h. es konstruiert eigenständig eine Folge von Approximationen für eine gegebene Fragestellung. Typische Fragestellungen sind die Bestimmung gewichteter Mittelwerte der Lösung oder ihrer Ableitungen, die Bestimmung von Randintegralen über Lösungskomponenten (relevant z.B. für die Berechnung von strömungsmechanischen Kenngrößen) oder die Bestimmung von Spannungsintensitätsfaktoren (z.B. in der Bruchmechanik). Das Verfahren basiert auf Projektionsmethoden wie z.B. der Finiten Elemente Methode (FEM). Dort wird die Approximationsgüte durch die Wahl der Gitter gesteuert. Der Kern jeder adaptiven FEM ist deshalb die Art, wie die Gitter gewählt werden. Typischerweise geschieht dies in einer adaptiven Schleife, in der in mehreren Durchgängen schrittweise das Gitter verbessert wird, bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Bei der DWR wird in jedem Schleifendurchgang ein lineares Hilfsproblem—das sog. duale Problem, welches von der vorliegenden Fragestellung abhängt—(näherungsweise) gelöst. Weiterhin wird eine Approximation der Differentialgleichung bestimmt. Aus diesen nun vorliegenden Daten wird dann herausdestilliert, wo das Gitter verfeinert werden sollte bzw. vergröbert werden kann, um eine genauere Lösung zu erhalten. Ziel eines adaptiven Algorithmus ist, das gewünschte Ergebnis möglichst effizient zu bestimmen, d.h. mit möglichst geringem Bedarf an Resourcen (Rechenzeit, Speicherbedarf etc.). Mit zahlreichen Beispielen belegt das Buch, daß die DWR dieses Ziel erreicht. Es sei hier besonders hervorgehoben, daß eine Kosten-Nutzen-Betrachtung für die DWR besonders bei nichtlinearen Problemen günstig ausfällt, da die Kosten für die Lösung des linearen Hilfsproblems vergleichbar mit denen eines Newtonschrittes sind und somit nur einen kleinen Teil der Gesamtkosten ausmachen. Das Buch gibt einen sehr guten Überblick über die Technik und die Möglichkeiten der DWR. In einleitenden Kapiteln wird die DWR an gewöhnlichen Differentialgleichungen und dann an einfachen linearen, elliptischen partiellen Differentialgleichungen sehr klar und verständlich vorgeführt. Anschließend wird die DWR in einem abstrakten funktionalanalytischen Rahmen vorgestellt. Der Rest des Buches illustriert auf eindrucksvolle Weise die Leistungsfähigkeit und Breite der Anwendungsfähigkeit des Konzeptes an Hand von Fallbeispielen: Es werden Eigenwertprobleme, Optimierungsaufgaben mit Zwangsbedingungen, die durch eine partielle Differentialgleichung gegeben sind, Strukturmechanikprobleme (lineare Elastizität, Plastizität), Strömungsmechanik (hydrodynamische Stabilitätsanalyse, Berechnung von Strömungskennwerten) behandelt. Auch zeitabhängige Probleme wie die Lösung der Wellengleichung werden mit der DWR erfolgreich bearbeitet. Insgesamt wird klar ersichtlich, daß die DWR eine sehr flexible und vielseitig anwendbare Technik ist. Die ausgewählten numerischen Beispiele, die vor allem aus umfangreichen numerischen Untersuchungen der Gruppe von Rolf Rannacher aus den letzten 10 Jahren ausgewählt wurden, sind sehr illustrativ. Die Erläuterungen zu den Beispielen sind auch deshalb interessant, weil eine Menge zusätzlicher Informationen über die numerische Behandlung des vorliegenden Problems quasi nebenbei einfließen. Das Buch entstand aus einer fortgeschrittenen Spezialvorlesung, die an der ETH Zürich gehalten wurde. Einen Lehrbuchcharakter erhält das Buch dadurch, daß Übungsaufgaben (mit detailierten Lösungen im Anhang) jedes Kapitel abschließen. Die Aufgaben enthal-

Adaptive finite element methods for differential equations.

Finite Elements: Introduction

In this paper we develop several regression algorithms for solving general stochastic optimal control problems via Monte Carlo. This type of algorithm is particularly useful for problems with a high-dimensional state space and complex dependence structure of the underlying Markov process with respect to some control. The main idea behind the algorithms is to simulate a set of trajectories under some reference measure and to use the Bellman principle combined with fast methods for approximating conditional expectations and functional optimization. Theoretical properties of the presented algorithms are investigated, and the convergence to the optimal solution is proved under some assumptions. Finally, the presented methods are applied in a numerical example of a high-dimensional controlled Bermudan basket option in a financial market with a large investor.

Regression methods for stochastic control problems and their convergence analysis

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01616322/document

Quantifying discretization errors for soft tissue simulation in computer assisted surgery: A preliminary study

The focus of this work is the introduction of some computable a posteriori error control to the popular multilevel Monte Carlo sampling for PDE with stochastic data. We are especially interested in applications where some quantity of interest should be estimated accurately. Based on a spatial discretization by the finite element method, a goal functional is defined which encodes the quantity of interest. The devised goal-oriented a posteriori error estimator enables one to determine guaranteed path-wise a posteriori error bounds for this quantity. An adaptive algorithm is proposed which employs the computed error estimates and adaptive meshes to control the approximation error. Moreover, the stochastic error is controlled such that the determined bounds are guaranteed in probability. The approach allows for the adaptive refinement of the mesh hierarchy used in the multilevel Monte Carlo simulation which is used for a problem-dependent construction of discretization levels. Numerical experiments illustrate...

An Adaptive Multilevel Monte Carlo Method with Stochastic Bounds for Quantities of Interest with Uncertain Data

Abstract This paper examines a completely non-intrusive, sample-based method for the computation of functional low-rank solutions of high-dimensional parametric random PDEs, which have become an area of intensive research in Uncertainty Quantification (UQ). In order to obtain a generalized polynomial chaos representation of the approximate stochastic solution, a novel black-box rank-adapted tensor reconstruction procedure is proposed. The performance of the described approach is illustrated with several numerical examples and compared to (Quasi-)Monte Carlo sampling.

Non-intrusive Tensor Reconstruction for High-Dimensional Random PDEs

A simulation based method for the numerical solution of PDEs with random coefficients is presented. By the Feynman--Kac formula, the solution can be represented as conditional expectation of a functional of a corresponding stochastic differential equation (SDE) driven by independent noise. A time discretization of the SDE for a set of points in the domain and a subsequent Monte Carlo regression lead to an approximation of the global solution of the random PDE. We provide an initial error and complexity analysis of the proposed method along with numerical examples illustrating its behavior.

SDE Based Regression for Linear Random PDEs

Risk averse stochastic structural topology optimization

Whenever numerical algorithms are employed for a reliable computational forecast, they need to allow for an error control in the final quantity of interest. The discretization error control is of some particular importance in computational PDEs (CPDEs) where guaranteed upper error bound (GUB) are of vital relevance. After a quick overview over energy norm error control in second-order elliptic PDEs, this paper focuses on three particular aspects: first, the variational crimes from a nonconforming finite element discretization and guaranteed error bounds in the discrete norm with improved postprocessing of the GUB; second, the reliable approximation of the discretization error on curved boundaries; and finally, the reliable bounds of the error with respect to some goal functional, namely, the error in the approximation of the directional derivative at a given point.

/pdf/aspects-of-guaranteed-error-control-in-cpdes-198r7kwkue.pdf

Johannes Neumann

Papers

An Adaptive Multilevel Monte Carlo Method with Stochastic Bounds for Quantities of Interest with Uncertain Data

Non-intrusive Tensor Reconstruction for High-Dimensional Random PDEs

SDE Based Regression for Linear Random PDEs

Risk averse stochastic structural topology optimization

Aspects of Guaranteed Error Control in CPDEs