Influence of viscosity on the nature of the propagation of a plane extensional shock wave

The method for constructing approximate solutions of boundary value problems of impact strain dynamics in the form of ray expansions behind the strain discontinuity fronts is generalized to the case of curvilinear and diverging rays. This proposed generalization is illustrated by an example of dynamics of an antiplane motion of an elastic medium. The ray method is one of the methods for constructing approximate solutions of nonstationary boundary value problems of strain dynamics. It was proposed in [1, 2] and then widely used in nonstationary problems of mathematical physics involving surfaces on which the desired function or its derivatives have discontinuities [3–7]. A complete, qualified survey of papers in this direction can be found in [8]. This method is based on the expansion of the solution in a Taylor-type series behind the moving discontinuity surface rather than in a neighborhood of a stationary point. The coefficients of this series are the jumps of the derivatives of the unknown functions, for which, as a consequence of the compatibility conditions, one can obtain ordinary differential equations, i.e., discontinuity damping equations. In the case where the problem with velocity discontinuity surfaces is considered in a nonlinear medium, this method cannot be used directly, because one cannot obtain the damping equation. A modification of this method for the purpose of using it to solve problems of that type was proposed in [9–11], where, as an example, the solutions of several one-dimensional problems were considered. In the present paper, we show how this method can be transferred to the case of multidimensional impact strain problems in which the geometry of the ray is not known in advance and the rays become curvilinear and diverging. By way of example, we consider a simple problem on the antiplane motion of a nonlinearly elastic incompressible medium.

Construction of Approximate Solutions of Boundary Value Impact Strain Problems

В работе представлено математическое моделирование динамического напряженно-деформированного состояния оболочки вращения из упруговязкопластического материала. Решается модифицированная система уравнений в частных производных типа С. П. Тимошенко путем построения системы уравнений на подвижных поверхностях разрыва с начальными условиями в виде ударной нагрузки на торце, записанной в виде степенного ряда по времени, коэффициенты которого есть начальные условия для дифференциальных уравнений. Решение представляется в виде лучевого ряда Тейлора с точностью до четвертого порядка по координате оболочки. Для моделирования отраженных волн от границ вводятся условия двух типов на границе (жестко защемленной и свободной от напряжений), не зависящие от времени. Разработан комплекс программ, написанных на языке Fortran 90 на платформе Code::Blocks. Реализованы 2 программы для моделирования динамического деформирования оболочки в упругом и упурговязкопластическом состоянии. Использовано разностное представление производных, вычисление интегралов методом трапеций с заданным шагом разбиения отрезка. Результатом работы программ являются сеточные функции коэффициентов рядов Тейлора, которые используются для построения графиков перемещений как функций времени и продольной координаты оболочки.

/pdf/matematicheskoe-modelirovanie-dinamicheskogo-deformirovaniia-43tlmkqzw8.pdf

L.A. Babicheva

Papers

Ray method of solving dynamic problems in elastic-viscoplastic media: PMM Vol. 37, N°1, 1973, pp. 145–155