In this paper, we are interested in finding the optimal location and shape of the actuators in a stabilization problem. Namely, we consider the one-dimensional wave equation damped by an internal feedback supported on a subdomain $\omega$ of given length. The criterion we want to optimize represents the rate of decay of the total energy of the system. It theoretically involves all the eigenmodes of the operator. From an engineering point of view, it seems more realistic to consider only a finite number of modes, say the N first ones. In that context, we are able to prove existence and uniqueness of an optimal domain $\omega_N^*$: it is the better possible location for the actuators. We characterize this optimal domain and we point out the following strange phenomenon (at least for small lengths): the optimal domain $\omega_N^*$ which is the better one for the N first modes is actually the worse one for the N + 1th mode. This looks like the well-known spillover phenomenon in control theory. At last, we will give some possible extension and open problems in higher dimension.

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00013870/document

A Spillover Phenomenon in the Optimal Location of Actuators

https://www.dmae.upct.es/~fperiago/archivos_investigacion/periago_scl.pdf

Optimal shape and position of the support for the internal exact control of a string

https://www.dmae.upct.es/~fperiago/archivos_investigacion/AM_FP_heat.pdf

Optimal distribution of the internal null control for the one-dimensional heat equation

We propose a new method for analysis of shape optimization problems. The
framework of dual dynamic programming is introduced for a solution of the
problems. The shape optimization problem for a linear elliptic boundary
value problem is formulated in terms of characteristic functions which
define the suport of control. The optimal solution of such a problem can be
obtained by solving the sufficient optimality conditions.

On dual dynamic programming in shape control

Cette these est consacree a la resolution numerique de l’equation du Transport sous contraintes, c’est-a-dire a l’invariance d’un sous ensemble C par l’operateur du Transport Un cas particulier (un probleme d’obstacle) ou le sous ensemble des contraintes C est un convexe est traite au chapitre I Un resultat d’existence et d’unicite est obtenu dans l’espace de Hilbert, construit avec la norme du graphe de l’operateur du Transport, en utilisant la monotonie de l’operateur et une methode de penalisation Pour traiter le cas plus difficile ou l’ensemble des contraintes C n��est plus convexe, nous utilisons un theoreme de viabilite ou d’invariance de l’ensemble C Pour cela, nous introduisons une methode des caracteristiques temps-espace sous forme autonome au chapitre II Nous donnons un theoreme de remplissage de l’ouvert, sur lequel nous considerons l’equation du Transport, par les courbes caracteristiques et cela pour un champ de vitesse dependant du temps Ce resultat permet de transformer l’equation du Transport en un ensemble d’equations differentielles ordinaires L’utilisation de la condition de "tangence" du second membre impliquant l’invariance de l’ensemble des contraintes donnee dans le theoreme de Nagumo par exemple, demande de caracteriser le cone contingent a l’ensemble des contraintes qui ici n’est plus reduit a C puisque nous nous placons aussi sur les courbes caracteristiques C’est l’objet du chapitre III Nous introduisons une notion simple de contingence exterieure pour les images reciproques de convexes Nous introduisons alors pour un champ continu une notion globale de contingence a l’image reciproque d’un convexe Ces resultats sont essentiels pour la construction de methodes numeriques au chapitre V Au chapitre IV, nous rappelons tout d’abord le theoreme de Nagumo, puis nous l’appliquons pour l’equation du Transport Nous donnons trois conditions suffisantes qui assurent l��invariance d’un ensemble de contraintes C qui est l’image reciproque d’un convexe par une application reguliere Une des trois conditions est une condition de transversalite Ensuite, nous nous interessons au cas ou le second membre de l’equation du Transport ne satisfait pas ces conditions (l’ensemble des contraintes C n’est pas invariant) En utilisant la distance orientee a un ensemble, nous proposons une methode permettant de modifier le second membre afin d’obtenir l’invariance de C par l’operateur du Transport Le dernier chapitre est consacre aux methodes numeriques pour calculer les solutions de l’equation du Transport laissant invariant C Sous des hypotheses de regularite ou de monotonie, nous montrons la convergence des algorithmes que nous proposons Enfin sur quelques exemples, nous montrons que la methode de differences finies que nous avons mis en oeuvre est d’ordre un

M. Pierre

Papers

Tangent sets in some functional spaces