The authors' survey paper is devoted to the present state of computational methods in linear algebra. Questions discussed are the means and methods of estimating the quality of numerical solution of computational problems, the generalized inverse of a matrix, the solution of systems with rectangular and poorly conditioned matrices, the inverse eigenvalue problem, and more traditional questions such as algebraic eigenvalue problems and the solution of systems with a square matrix (by direct and iterative methods).

Computational methods of linear algebra

This is a short survey of theory and techniques for the solution of linear interval equations with square or rectangular coefficient matrix.

Linear interval equations

Intervall - Mathematik Zum Karlsruher Symposium 1975.- A generalized interval arithmetic.- Einige Anwendungen der Kreisscheibenarithmetik in der Kettenbruchtheorie.- Two-sided approximation to solutions of nonlinear operator equations-a comparison of methods from classical analysis, functional analysis, and interval analysis.- Nichtnumerische Aspekte der Intervallmathematik.- Tools for the analysis of interval arithmetic.- A posteriori component-wise error estimation of approximate solutions to nonlinear equations.- Konvergente numerische Schrankenkonstruktion mit Spline-Funktionen fur nichtlineare gewohnliche bzw. lineare parabolische Randwertaufgaben.- A distribution-free interval mathematical analysis of probability density functions.- Monotonically convergent numerical two-sided bounds for a differential birth and death process.- Verwendung von Tschebyschew-Approximation und Okonomisierungsverfahren bei der Vergroberung von Intervallpolynomen.- Zur Problematik der Hullenbestimmung von Intervallgleichungssystemen.- Einsatz der Intervallarithmetik bei der Numerischen Konvergenz von ALGOL-60 Programmen.- Einschliessung des Minimalpunktes einer streng konvexen Funktion auf einem n-dimensionalen Quader.- Beliebig genaue numerische Schranken fur die Losung parabolischer Randwertaufgaben.- Ein Versuch zur Verallgemeinerung der Intervallrechnung.- The condition problem in solution of linear multistage systems.- Parallel square root iterations.- Newton-Algorithmen zur Bestimmung von Polynomwurzeln unter Verwendung komplexer Kreisarithmetik.- Fehlerabschatzung bei linearer Optimierung.- Einschliessungsmengen von Polynom-Nullstellen.- On approximate iterations and solutions for equations considered in function spaces.- Definition einer Kahan-Arithmetik und ihre Implementierung.- The error in interval arithmetic.- Verbandstheoretische Grundlagen der Intervall-Mathematik.- Intervallrechnung und Wirklichkeit.- Interval-extension of quasilinearization method.- Zur numerischen Konstruktion konvergenter Schrankenfolgen fur Systeme nichtlinearer, gewohnlicher Anfangswertaufgaben.- Untersuchungen der Grenzgenauigkeit von Algorithmen zur Auflosung linearer Gleichungssysteme mit Fehlererfassung.- Konvergente numerische Schranken fur partielle Randwertaufgaben von monotoner Art.- Verbesserung von Fehlerschranken bei iterativer Matrizeninversion.- Iterationsverfahren bei inklusionsmonotonen Intervallfunktionen.- Experimentelle Untersuchungen zur numerischen Auflosung von linearen Gleichungssystemen mit Fehlererfassung.

Interval mathematics : proceedings of the International Symposium, Karlsruhe, West Germany, May 20-24, 1975

Bei inklusionsmonotoner Maschinen-Intervallarithmetik, wie sie ublicherweise auf Datenverarbeitungsanlagen realisiert ist, lassen sich Vergleichssatze fur eine Klasse intervallarithmetischer Iterationsverfahren herleiten. So wird z. B. gezeigt, daβ intervallarithmetische Gesamtschrittverfahren gegen den gleichen Wert wie die ihnen zugeordneten Einzelschrittverfahren konvergieren. Dabei wird vorausgesetzt, daβ die Iteration mit dem gleichen Startvektor beginnt. Die Vergleichssatze gelten, obwohl gerundet wird und wahrend der Rechnung auf dem Computer vollig verschiedene Zwischenergebnisse auftreten.

For inclusion monotonic machine interval arithmetic, as usually realized on computers, comparison theorems hold for a class of interval arithmetic iteration methods. So it can be proved that interval arithmetic total-step methods converge to the same value as the corresponding single-step methods. The only assumption is that the iterations start with the same starting-vector. The comparison theorems are valid in spite of rounding errors during computation and completely different intermediate results occur.

O. Mayer

Papers

Über intervallmäßige Iterationsverfahren bei linearen Gleichungssystemen und allgemeineren Intervallgleichungssystemen