In this paper we review the results obtained by the generalized symmetry method in the case of differential difference equations during the last 20 years. Together with general theory of the method, classification results are discussed for classes of equations which include the Volterra, Toda and relativistic Toda lattice equations.

/pdf/symmetries-as-integrability-criteria-for-differential-6kfw2uar7n.pdf

Symmetries as integrability criteria for differential difference equations

The generalized symmetry method is applied to a class of completely discrete equations including the Adler–Bobenko–Suris list. Assuming the existence of a generalized symmetry, we derive a few integrability conditions suitable for testing and classifying the equations of this class. Those conditions are used at the end to test for integrability discretizations of some well-known hyperbolic equations.

/pdf/the-generalized-symmetry-method-for-discrete-equations-1e9asxepd6.pdf

The generalized symmetry method for discrete equations

We present an integrability test for discrete equations on the square lattice, which is based on the existence of a generalized symmetry. We apply this test to a number of equations obtained in different recent papers. As a result we prove the integrability of seven equations which differ essentially from the QV equation introduced by Viallet and thus from the Adler–Bobenko–Suris list of equations contained therein.

/pdf/generalized-symmetry-integrability-test-for-discrete-61oxsppq2o.pdf

Generalized symmetry integrability test for discrete equations on the square lattice

We present an integrability test for discrete equations on the square lattice, which is based on the existence of a generalized symmetry. We apply this test to a number of equations obtained in different recent papers. As a result we prove the integrability of 7 equations which differ essentially from the $Q_V$ equation introduced by Viallet and thus from the Adler-Bobenko-Suris list of equations therein contained.

We present an algorithm for determining the Lie point symmetries of differential equations on fixed non-transforming lattices, i.e. equations involving both continuous and discrete-independent variables. The symmetries of a specific integrable discretization of the Krichever–Novikov equation, the Toda lattice and Toda field theory are presented as examples of the general method.

/pdf/lie-point-symmetries-of-differential-difference-equations-36ysrzzu9i.pdf

Lie point symmetries of differential-difference equations

/pdf/simmetriinyi-podkhod-k-probleme-integriruemosti-symmetry-oz5buoc6v6.pdf

Симметрийный подход к проблеме интегрируемости@@@Symmetry approach to the integrability problem

/pdf/diskretnoe-uravnenie-na-kvadratnoi-reshetke-s-nestandartnoi-32rmobut5g.pdf

Дискретное уравнение на квадратной решетке с нестандартной структурой высших симметрий@@@Discrete equation on a square lattice with a nonstandard structure of generalized symmetries

/pdf/reliativistskie-tsepochki-tody-i-preobrazovaniia-shlezingera-1bs0yv3ycp.pdf

Релятивистские цепочки Тоды и преобразования Шлезингера@@@Relativistic Toda Chains and Schlesinger Transformations

Представлена бесконечная серия автономных дискретных уравнений на квадратной решетке, обладающих иерархиями автономных обобщенных симметрий и законов сохранения по обоим направлениям решетки. Порядки этих симметрий и законов сохранения равны $\kappa N$, где $\kappa$ - произвольное натуральное число, а $N$ - номер уравнения в серии. В случае $N>2$ такая структура иерархий является новой для дискретных уравнений. Симметрии и законы сохранения строятся с помощью мастер-симметрий, которые находятся напрямую вместе с обобщенными симметриями. Данная схема построения законов сохранения представляется новой. Еще один новый момент заключается в том, что по одному из направлений в коэффициенты дискретных уравнений вводится время мастер-симметрии. В наиболее интересном случае $N=2$ показано, что обобщенная симметрия второго порядка тесно связана с интегрируемым уравнением типа релятивистского уравнения Тоды; для автономных дискретных уравнений такое свойство имеет место очень редко.

Необычная серия автономных дискретных интегрируемых уравнений на квадратной решетке

/pdf/usloviia-integriruemosti-dlia-analogov-reliativistskoi-2idhe0hnek.pdf

Равиль Исламович Ямилов

Papers

Симметрийный подход к проблеме интегрируемости@@@Symmetry approach to the integrability problem

Дискретное уравнение на квадратной решетке с нестандартной структурой высших симметрий@@@Discrete equation on a square lattice with a nonstandard structure of generalized symmetries

Релятивистские цепочки Тоды и преобразования Шлезингера@@@Relativistic Toda Chains and Schlesinger Transformations

Необычная серия автономных дискретных интегрируемых уравнений на квадратной решетке

Условия интегрируемости для аналогов релятивистской цепочки Тоды@@@Integrability conditions for an analogue of the relativistic Toda chain