This purpose of this book is twofold: to provide a general introduction to higher category theory (using the formalism of "quasicategories" or "weak Kan complexes"), and to apply this theory to the study of higher versions of Grothendieck topoi. A few applications to classical topology are included.

Higher Topos Theory

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The Geometry and Cohomology of Some Simple Shimura Varieties.

Grothendieck proved that if f: X ) Y is a proper morphism of nice schemes, then Rf* has a right adjoint, which is given as tensor product with the relative canonical bundle. The original proof was by patching local data. Deligne proved the existence of the adjoint by a global argument, and Verdier showed that this global adjoint may be computed locally. In this article we show that the existence of the adjoint is an immediate consequence of Brown's representability theorem. lIt follows almost as imme- diately, by "smashing" arguments, that the adjoint is given by tensor product with a dualising complex. Verdier's base change theorem is an easy conse- quence. DEPARTMENT OF MATHEMATICS, UNIVERSITY OF VIRGINIA, CHARLOTTESVILLE, VIRGINIA 22903 E-mail address: an3rQvirginia. edu This content downloaded from 157.55.39.27 on Wed, 07 Sep 2016 06:26:19 UTC All use subject to http://about.jstor.org/terms

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The Grothendieck duality theorem via Bousfield’s techniques and Brown representability

Dans [7], Deligne a introduit la notion de complexe pur, et démontré la stabilité par image directe par morphismes propres (i.e. la version relative de la conjecture de Weil). Cette théorie, combinée avec celle de faisceaux pervers, a été ensuite développée par Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber[l]: ils ont démontré le théorème de décomposition, et la stabilité des faisceaux pervers purs par images directes intermédiaires (en particulier, la pureté des complexes d'intersection) [loc. cit]. D'après la philosophie de Deligne [6, 7], on a conjecturé qu'il existerait des objets en car. 0, correspondant aux complexes purs, cf. [2,3,4] etc. Le but de cet article est de donner une réponse positive: en utilisant la théorie de £)-Modules filtrés, la théorie de la filtration V [17, 22] et la théorie de faisceaux pervers, on définit la notion de Module de Hodge polarisable (cf. 5.1-2), qui doit correspondre à celle de faisceau pervers pur, et on démontre la stabilité par images directes (perverses) par un morphisme projectif avec un théorème de Lefschetz fort relatif et une polarisation induite sur les parties primitives (i.e. une théorie de Hodge-Lefschetz relative), cf. 5.3.1. Soient X une variété analytique complexe lisse, 3)x le faisceau des opérateurs différentiels analytiques muni de la filtration F par degré d'opérateur, et MF(â)x} la catégorie des .^-Modules filtrés. On dit que (M, F)^MF(3)X} est holonome, si M est un .â^-Module holonome [16, 18] et GrM est un Gr£Dx-ModulQ cohérent (i.e. F est une bonne filtration de M[loc. cit]). Soit MFh(3)x} la sous-catégorie pleine de MF(3)X) des .â^-Modules filtrés holonomes. D'après Kashiwara [16] on a le foncteur

Modules de Hodge Polarisables

Le present article doit beaucoup a A. Grothendieck. Il a invente la philosophie des motifs, qui est notre fil directeur. Il y a quelques cinq ans, il m’a aussi dit, avec force, que le complete profini \({\hat \pi _1}\) du groupe fondamental de X := P1(C) — {0,1, oo} , avec son action de Gal(\(\overline Q \)/ℚ) est un oject remarquable, et qu’il faudrait l’etudier.

Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points

I The Essentials of Etale Cohomology Theory- II Rationality of Weil ?-Functions- III The Monodromy Theory of Lefschetz Pencils- IV Deligne's Proof of the Weil Conjecture- Appendices- A I The Fundamental Group- A II Derived Categories- A III Descent

Etale Cohomology and the Weil Conjecture

Theorem A und Theorem B in der nichtarchimedischen Funktionentheorie

I. The General Weil Conjectures (Deligne's Theory of Weights).- II. The Formalism of Derived Categories.- III. Perverse Sheaves.- IV. Lefschetz Theory and the Brylinski-Radon Transform.- V. Trigonometric Sums.- VI. The Springer Representations.- B. Bertini Theorem for Etale Sheaves.- C. Kummer Extensions.- D. Finiteness Theorems.

Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l'adic Fourier Transform

Der Endlichkeitssatz für eigentliche Abbildungen in der nichtarchimedischen Funktionentheorie

Die De Rham Kohomologie algebraischer Mannigfaltigkeiten über einem bewerteten Körper (p.5 à 20) . Singularities of differentiable maps (p.21 à 57) . Solution of the congruence subgroup problem for SLn (n≧3) and Sp2n (n≧2) (p.59 à 137) . Algebraic equations for nonsmoothable 8-manifolds

Reinhardt Kiehl

Papers

Etale Cohomology and the Weil Conjecture

Theorem A und Theorem B in der nichtarchimedischen Funktionentheorie

Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l'adic Fourier Transform

Der Endlichkeitssatz für eigentliche Abbildungen in der nichtarchimedischen Funktionentheorie

Die De Rham Kohomologie algebraischer Mannigfaltigkeiten über einem bewerteten Körper (p.5 à 20) . Singularities of differentiable maps (p.21 à 57) . Solution of the congruence subgroup problem for SLn (n≧3) and Sp2n (n≧2) (p.59 à 137) . Algebraic equations for nonsmoothable 8-manifolds