1. Basic convexity 2. Boundary structure 3. Minkowski addition 4. Curvature measure and quermass integrals 5. Mixed volumes 6. Inequalities for mixed volumes 7. Selected applications Appendix.

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Convex bodies : the Brunn-Minkowski theory

: A numerical evaluation of the 'dead loss' associated with a nonoptimal situation (in the Pareto sense) of an economic system is sought Use is made of the intrinsic price systems associated with optimal situations of whose existence a noncalculus proof is given A coefficient of resource-utilization yielding measures of the efficiency of the economy is introduced The treatment is based on vector set properties in the commodity space (Author)

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The Coefficient of Resource Utilization

We analyze the “query by committee” algorithm, a method for filtering informative queries from a random stream of inputs. We show that if the two-member committee algorithm achieves information gain with positive lower bound, then the prediction error decreases exponentially with the number of queries. We show that, in particular, this exponential decrease holds for query learning of perceptrons.

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Selective Sampling Using the Query by Committee Algorithm

A sharp form of an inequality by N. Trudinger

where, for a fixed x, F[u] (x) is a non-linear functional of u. The results to be obtained can be considered as generalizations of some theorems of Gilbarg [5] and Stampacchia [14] in the case F [ u ] ~ 0 and of some theorems of Stampacchia [14] in certain cases F[u] ~0 . Par t I deals with the functional analysis basis for the proofs. I t gives existence theorems for the solutions of certain non-linear, functional inequalities. By a weak solution of (0.1) on a domain ~ is usually understood a function u(x) having a gradient u x in some sense and satisfying f~{a~(ux)~j-F[u]~}dx=O (0.2)

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On some non-linear elliptic differential-functional equations

Konvexe Figuren haben von jeher in der Geometrie eine bedeutende Rolle gespielt. Die durch ihre KonvexiUitseigenschaft allein charakteri sierten Gebilde hat aber erst BRUNN zum Gegenstand umfassender geometrischer Untersuchungen gemacht. In zwei Arbeiten "Ovale und EifHichen" und "Kurven ohne Wendepunkte" aus den Jahren 1887 und 1889 (vgl. Literaturverzeichnis BRUNN [1J, [2J) hat er neben zahl reichen Satzen der verschiedensten Art tiber konvexe Bereiche und Korper einen Satz tiber die Flacheninhalte von parallelen ebenen Schnitten eines konvexen K6rpers bewiesen, der sich in der Folge als fundamental herausgestellt hat. Die Bedeutung dieses Satzes hervor gehoben zu haben, ist das Verdienst von MINKOWSKI. In mehreren Arbeiten, insbesondere in "Volumeri. und Oberflache" (1903) und in der groBztigig angelegten, unvollendet geblieben n Arbeit "Zur Theorie der konvexen K6rper" (Literaturverzeichnis [3], [4J) hat er durch Ein fUhrung von grundlegenden Begriffen wie Stutzfunktion, gemischtes VolulIl, en usw. die dem Problemkreis angemessenen formalen Hilfsmittel geschaffen und vor allem den Weg zu vielseitigen Anwendungen, speziell auf das isoperimetrische (isepiphane) und andere Extremalprobleme fUr konvexe Bereiche und K6rper er6ffnet. Weiterhin hat MINKOWSKI den engen Zusammenhang dieser Begriffsbildungen und Satze mit der Frage nach der Bestimmung konvexer Flachen durch ihre GAusssche Krtim mung aufgedeckt und tiefliegende diesbeztigliche Satze bewiesen.

Theorie der Konvexen Körper

Theory of Convex Bodies

Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes

Die folgenden Ausfuhrungen beziehen sieh, falls nichts anderes gesagt wird, auf den n-dimensionalen euklidischen Raum. n bedeutet somit stets die Dimension des Raumes. Zugrunde gelegt wird ein orthogonales Koordinatensystem1. Der Punkt oder auch der Vektor mit den Koordinaten x1, x2,..., x n wird, wo dies angangig ist, kurz mit x bezeichnet; d. h. also, die unteren, die verschiedenen Koordinaten unterscheidenden Indizes werden fortgelassen. So bedeuten x, y,..., u, v, ... stets Punkte oder Vektoren. In dieser Schreibweise ist also z. B. (1 – ϑ) x + ϑ y fur 0 ≤ ϑ ≤ 1 die Verbindungsstrecke der beiden Punkte x und y. Das innere Produkt x1y1 + ⋯ + xnyn zweier Vektoren x = (x1 ,..., x n ) und y = (y1 ,..., y n ) wird kurz \(\sum {xy} \) gescrieben. Z. B. ist demnach der Abstand zweier Punkte x, y mit \(\sqrt {\sum {{\left( {x - y} \right)}^2}} \) zu bezeichnen.

Vorbemerkungen über n-dimensionale Geometrie

Uber die Krummungsverhaltnisse konvexer Kurven lassen sich auch ohne Differentiierbarkeitsvoraussetzungen weitgehende Aussagen machen. Man betrachte einen Kurvenpunkt P und eine durch ihn gehende Stutzgerade s. Unter den Schmiegungskreisen der Kurve im „Element“ (P, s) werden die Grenzlagen (oder die Grenzlage) derjenigen Kreise verstanden, die s in P beruhren und auserdem durch einen weiteren, gegen P konvergierenden Kurvenpunkt gehen. Hierbei sind, wie auch im folgenden, die Punkte und Geraden als Kreise vom Radius 0 bzw. ∞ zuzulassen. Die Krummungskreise der Kurve in (P, s) sind die Grenzlagen (oder die Grenzlage) derjenigen Kreise durch P, deren Mittelpunkte die Schnittpunkte der Normalen von s in P und der Normalen einer gegen (P, s) konvergierenden Folge von Elementen sind. Die zu einem Element gehorigen Schmiegungs- und Krummungsradien erfullen je ein Intervall, und zwar ist das Intervall der Schmiegungsradien in dem der Krummungsradien enthalten; mit anderen Worten, jeder Schmiegungskreis ist zugleich Krummungskreis, jedoch nicht umgekehrt. Es gilt aber folgendes: Gibt es zu einem Element nur einen Schmiegungskreis, so gibt es auch nur einen Krummungskreis, und beide fallen zusammen. Die Umkehrung hiervon folgt aus dem Gesagten. Der Fall der eindeutigen Bestimmtheit von Schmiegungs- und Krummungskreis ist der allgemeine; genauer: Die Elemente, zu denen es mehrere Krummungskreise gibt, bilden eine Nullmenge in dem Sinne, das sowohl die Punkte bezuglich der Bogenlange, als die Stutzgeraden bezuglich der Richtung Nullmengen sind. Dies kann aus dem LEBESGUE schen Satz gefolgert werden, das die Funktionen mit beschranktem Differenzenquotienten bis auf eine Nullmenge differentiierbar sind.—Die obere (untere) Grenze aller Schmiegungsradien aller Elemente einer konvexen Kurve stimmt mit der oberen (unteren) Grenze aller Krummungsradien uberein.—Die obigen Begriffsbildungen gehen im wesentlichen auf Hjelmslev

T. Bonnesen

Papers

Theorie der Konvexen Körper

Theory of Convex Bodies

Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes

Vorbemerkungen über n-dimensionale Geometrie

Differentialgeometrie der konvexen Kurven und Flächen