Showing papers in "Crelle's Journal in 1908"

Zur Theorie der Dirichletschen Reihen.

Abstract: V on den Sätzen, welche ich im folgenden beweise, sind die meisten insofern nicht neu, als sie schon mehrfach ausgesprochen worden sind; indessen genügen die bis jetzt gegebenen Beweise keineswegs den Forderungen mathematischer Strenge. Es handelt sich dabei vor allem um den in der analytischen Zahlentheorie häufig angewandten Satz, daß eine Funktion, wenn überhaupt, jedenfalls nur auf eine Weise in eine Dirichletschs Reihe entwickelt werden kann. Indem ich diesen Satz streng beweise, und zwar in einer erheblich schärferen Fassung, ergibt sich zugleich eine bemerkenswerte notwendige, wenn auch nicht hinreichende Bedingung dafür, daß eine Funktion überhaupt durch eine Dmc/^sche Reihe darstellbar ist. Weiter handelt es sich um eine Reihe von Formeln, welche sich mit unzureichendem Beweise bereits in der großen Arbeit des Herrn Cahen finden, die zum erstenmal die Grundlagen der DirichletechQn Reihen als Funktionen komplexen Arguments mit Erfolg behandelt.*) Auf die empfindlichen Lücken der CaAenschen Beweisführung ist schon mehrfach in der Literatur hingewiesen worden, so erst jüngst wieder von Herrn Landau**^), ohne daß es bis jetzt gelungen wäre, sie zu beseitigen. Durch meine Untersuchungen werden nun die CaAenschen Resultate im allgemeinen bestätigt, zum Teil aber auch als unrichtig nachgewiesen.