Algebraically Closed Fields- Real Closed Fields- Semi-Algebraic Sets- Algebra- Decomposition of Semi-Algebraic Sets- Elements of Topology- Quantitative Semi-algebraic Geometry- Complexity of Basic Algorithms- Cauchy Index and Applications- Real Roots- Cylindrical Decomposition Algorithm- Polynomial System Solving- Existential Theory of the Reals- Quantifier Elimination- Computing Roadmaps and Connected Components of Algebraic Sets- Computing Roadmaps and Connected Components of Semi-algebraic Sets

Algorithms in real algebraic geometry

These lecture notes are devoted to the theory of equations of associativity describing geometry of moduli spaces of 2D topological field theories. Introduction. Lecture 1. WDVV equations and Frobenius manifolds. {Appendix A.} Polynomial solutions of WDVV. {Appendix B.} Symmetriies of WDVV. Twisted Frobenius manifolds. {Appendix C.} WDVV and Chazy equation. Affine connections on curves with projective structure. Lecture 2. Topological conformal field theories and their moduli. Lecture 3. Spaces of isomonodromy deformations as Frobenius manifolds. {Appendix D.} Geometry of flat pencils of metrics. {Appendix E.} WDVV and Painlev\'e-VI. {Appendix F.} Branching of solutions of the equations of isomonodromic deformations and braid group. {Appendix G.} Monodromy group of a Frobenius manifold. {Appendix H.} Generalized hypergeometric equation associated to a Frobenius manifold and its monodromy. {Appendix I.} Determination of a superpotential of a Frobenius manifold. Lecture 4. Frobenius structure on the space of orbits of a Coxeter group. {Appendix J.} Extended complex crystallographic groups and twisted Frobenius manifolds. Lecture 5. Differential geometry of Hurwitz spaces. Lecture 6. Frobenius manifolds and integrable hierarchies. Coupling to topological gravity.

http://cds.cern.ch/record/265648/files/9407018.pdf

Geometry of 2D topological field theories

Die grundlegende Bedeutung des vorliegenden Themas fur die Riemann’sche Theorie der algebraischen Funktionen brauche ich wohl kaum hervorzuheben. Geht doch diese Theorie von der graphisch uber der komplexen Zahlenebene konstruierten Riemann’schen Flache aus, um erst sodann die Funktionen, welche durch diese Flache bestimmt sind, zu untersuchen.

/pdf/ueber-riemann-sche-flachen-mit-gegebenen-verzweigungspunkten-12uj4ezbw2.pdf

Ueber Riemann'sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten

SUMMARY The paper presents an ecient numerical method for the stability analysis of linear delayed systems. The method is based on a special kind of discretization technique with respect to the past eect only. The resulting approximate system is delayed and also time periodic, but still, it can be transformed analytically into a high-dimensional linear discrete system. The method is applied to determine the stability charts of the Mathieu equation with continuous time delay. Copyright ? 2002 John Wiley & Sons, Ltd.

/pdf/semi-discretization-method-for-delayed-systems-xm2qp1dyet.pdf

Semi‐discretization method for delayed systems

Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q¯/Q)

Auf Veranlassung meines verehrten Kollegen, Herrn A. Stodola, beschaftigte ich mich vor einiger Zeit mit der Frage, wann eine Gleichung n ten Grades mit reellen Koeffizienten 

$${a_{0}}{x^{n}} + {a_{1}}{x^{{n - 1}}} + \ldots + {a_{n}} = 0$$

nur solche Wurzeln besitzt, deren reelle Bestandteile negativ sind. Wenn auch die Erledigung dieser Frage nach den Methoden von Sturm, Liouville, Cauchy und Hermite keine prinzipielle Schwierigkeit bietet, so erlaube ich mir doch das Resultat, zu welchem ich gelangt bin, hier mitzuteilen, weil dasselbe wegen seiner einfachen, fur die Anwendungen brauchbaren Gestalt vielleicht einiges Interesse verdient1).

Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt

Die vorliegende Abhandlung habe ich in drei Abschnitte eingeteilt, uber deren Inhalt ich hier einen kurzen Uberblick vorausschicke.

Ueber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich

In den Nachrichten der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen vom Jahre 1898, S. 309–316 [diese Werke, Bd. II, S. 365 – 571] habe ich die folgende Aufgabe behandelt: 
Es seien φ, ψ, χ gegebene quadratische Formen von je n Variablen. Die Determinanten der drei Formen seien von Null verschieden. Man soll nun die Gleichung

$$\varphi \left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right) \cdot \Psi \left( {{y_1},{y_2},...,{y_n}} \right) = \chi \left( {{z_1},{z_2},...,{z_n}} \right)$$

(1)

auf die allgemeinste Weise dadurch befriedigen, dass man z 1, z 2,..., z n durch geeignete bilineare Formen der beiden Variablensysteme

$${x_1},{x_2},...,{x_n}und\;{y_1},{y_2},...,{y_n}$$

(2)

ersetzt.

Über die Komposition der quadratischen Formen

Vorwort zur dritten Auflage Auch in der dritten Auflage haben die von HURWITZ herriihrenden beiden erst en Abschnitte keine Anderungen erfahren, abgesehen von Verbesserungen und Erganzungen in Einzelheiten. Der dritte Abschnitt jedoch ist wiederum in vielen Punkten erweitert und umgestaltet worden. Es solI dadurch erreicht werden, daB er eine wirklich vollstandig un abhangig von den vorangehenden Abschnitten lesbare Darstellung der Funktionentheorie vom geometrischen Standpunkt aus gibt und auch den Zugang zu den neueren Spezialforschungen offnet. Eine kleine Ver mehrung des Umfanges war dabei nicht zu vermeiden. Gottingen, im Oktober 1929. R. COURANT. Vorwort zur vierten Auflage Seit dem Erscheinen der dritten Auflage ist die Theorie der Funk tionen einer komplexen Veranderlichen in mancher Hinsicht weiter ent wickelt worden, vielfach in der Richtung auf groBere Allgemeinheit und Abstraktion in der Form sowie in der Substanz. Als der Wunsch nach einer neuen Auflage von vielen Seiten ausgedriickt wurde, schien es un tunlich, einen veranderten Neudruck vorzulegen; das Problem entstand, wie den neueren Entwicklungen Rechnung getragen werden konnte, ohne den spezifischen Charakter des Werkes zu beeeintrachtigen.

Adolf Hurwitz

Papers

Ueber Riemann'sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten

Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt

Ueber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich

Über die Komposition der quadratischen Formen

Vorlesungen über Allgemeine Funktionentheorie und Elliptische Funktionen