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Infinite Abelian Groups

Let T be a set of elements in a ring A. The set T is right permutable if for any a ∈ A and t ∈ T, there exist b ∈ A, u ∈ T such that au = tb. A multiplicative set in a ring A is any subset T of A such that 1 ∈ T,0 ∉ T and T is closed under multiplication. A completely prime ideal in a ring A is any proper ideal B such that A\B is a multiplicative set (i.e. A/Bis a domain). A minimal prime ideal (resp. minimal completely prime ideal) in a ring A is any prime (resp. completely prime) ideal P such that P contains no properly any other prime ideal (resp. completely prime ideal) of A. Let I be any proper ideal of a ring A. The set of all elements a ∈ A such that a + I is a regular element of A/I is denoted by c(I). In particular, c(0) is the set of all regular elements of A.

Rings of quotients

Part I An array of twentieth century associative algebra: Direct product and sums of rings and modules and the structure of fields Introduction to ring theory: Schur's lemma and semisimple rings, prime and primitive rings, nil, prime and Jacobson radicals Direct sum decompositions of projective and injective modules Direct product decompositions of von Neumann regular rings and self-injective rings Direct sums of cyclic modules When injectives are flat: Coherent FP-injective rings Direct decompositions and dual generalizations of Noetherian rings Completely decomposable modules and the Krull-Schmidt-Azumaya theorem Polynomial rings over Vamosian and Kerr rings, valuation rings and Prufer rings Isomorphic polynomial rings and matrix rings Group rings and Maschke's theorem revisited Maximal quotient rings Morita duality and dual rings Krull and global dimensions Polynomial identities and PI-rings Unions of primes, prime avoidance, associated prime ideals, ACC on irreducible ideals and annihilator ideals in commutative rings Dedekind's theorem on the independence of automorphisms revisited Part II Snapshots of some mathematical friends and places: Snapshots of some mathematical friends and places Index to part II (snapshots) Bibliography Register of names Index of terms and authors of theorems

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Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra

It is well-known that a ring Ris semiperfect if and only if RR (orRR ) is a supplemented module. Considering weak supplementsinstead of supplements we show that weakly supplemented modules Mare semilocal (i.e.M/Rad(M) is semisimple) and that R is a semilocal ring if and only if RR (orRR ) is weakly supplemented. In this context the notion of finite hollow dimension (or finite dual Goldie dimension) of modules is of interest and yields a natural interpretation of the Camps-Dicks characterization of semilocal rings. Finitely generated modules are weakly supplemented if and only if they have finite hollow dimension (or are semilocal).

On semilocal modules and rings

A ring R is semiperfect if and only if, for every (cyclic)R-module M, every maximal submodule has (ample) supplements in M. A non-local commutative domain R is h-local if and only if, for every (cyclic) torsion R-module M, every maximal submodule of M has (ample) supplements in M.

Modules whose maximal submodules have supplements

Komplementierte Moduln über Dedekindringen

Linear-kompakte Moduln über noetherschen Ringen

Moduln mit der Eigensehaft (I) heiBen in [2] supplementiert, solche mit (II) nennen wir stark komplementiert. Zwischen beiden besteht folgender Zusammenhang: M i s t genau dann stark komplementiert, wenn es supplementiert ist und wenn in M jedes Komplement direkter Summand ist. Das Problem, fiber einem gegebenen Ring R alle supplementierten (stark komplementierten) Moduln zu bestimmen, hat ffir Dedekindringe folgende LSsung: (I) Ist R e i n nioht-lokaler oder ein lokaler, vollst~ndiger Dedekindring, so ist jeder komplementierte R-Modul bereits supplementiert; ist 22 ein niehtvollst~ndiger diskreter Bewertungsring mit QuotientenkSrper K, so sind die supplementierten 22-Moduhi genau die yon der Form 22a • K b x (K/22) c X 1~ mit beschr/inktem B und ganzen Zahlen a, b, c >-0 mit b _< 1. (II) Is t 22 ein nicht-lokaler Dedekindring, so ist ein R-Modul genau dann stark komplementiert, wenn er torsionsvoU ist und wenn jede Primgrkomponente stark komplementiert ist; ist 22 ein diskreter Bewertungsring, so ist ein 22-Modul genau dann stark komplementiert, wenn er yon der Form ist Ra • K b • (K/R)c mit b --< 1, oder direkte Summe -con zyklisehen Moduln der Ordnung (pt) und (pt+:) ffir ein t >-1 ; falls 22 vollst~ndig, kann b beliebig sein. Ffir einen beliebigen Ring R scheint demnaeh die Strukturbestimmung der stark komplementierten B-lVioduln schwierig zu sein. Man kann aber versuehen, eine mSgliehst groBe Klasse yon stark komplementierten 22-Moduln anzugeben, indem man die Voraussetzung ,,semiperfekt\" absehw~cht: Nennt man einen Modul M kostetig, wenn es zu jedem Paar (A, B) mit A + B ----M einen Endomorphismus ~: M--> M gibt mit Bi m c A lind Bi(1 -~) c B, so zeigt sieh, dab jeder komplementierte, ko-stetige Modul bereits stark komplementiert ist. Weft die Eigenschaft ,,kostetig\" yon selbst~ndigem Interesse zu sein seheint (der duale Begriff ist gquivalent mit ,,projektionsinvariant in der injektiven Hfille\", und das ist eine Verallgemeinerung der in [11] eingeffihrten l_Ttumi-Stetigkeit), werden im ersten Absehnitt dieser Arbeit einige elementare Tatsachen fiber ko-stetige Moduln zusammengestellt. Mit den oben

Komplemente als direkte Summanden

so wird von Lazard in [6, Proposition 5] gezeigt, dal3 sie jeder kommutative Ring besitzt. Gleichzeitig beklagt er, sie im nicht-kommutativen Fall nicht nachweisen zu k6nnen. Einen Ring mit der Eigenschaft (a) nennen wit daher Rechts-L-Ring. Valette beweist in [8] allgemeiner, dab jeder Ring Rein Rechts-L-Ring ist, in dem fiir jedes Primideal Q der Faktorring R/Q ein Rechts-Goldie-Ring ist. In Zusammenhang damit steht folgende Eigenschaft

Projektive Moduln mit endlich erzeugtem Radikalfaktormodul

An ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> ]]> R$-module $M$ is called weakly injective if for every extension $M \subset X$, $M$ is coclosed in $X$. We show for every noetherian, local, one-dimensional integral domain $R$ with field of fractions $K$ and completion $\hat{R}$, that $\hat{R} \bigotimes\limits_R K$ as $\hat{R}$-module as well as $K/R$ as $R$-module are weakly injective. Moreover, we show that $K/R'$ is weakly injective iff $R$ is analytically unramified. For certain module classes over an arbitrary noetherian ring $R$ the weak injectivity can be described by means of the singular submodule $Z(M)$ as well as by the dual submodule $\overline{Z}(M)=\bigcap\,\{U \subset M\mid M/U$ is small in its injective hull$\}$ (see Talebi and Vanaja, \emph{Commun.\ Algebra} 30 (2002), 1449--1460 and Z\"oschinger, \emph{Commun.\ Algebra} 33 (2005), 3389--3404). If $R$ is local and if $M$ possesses a primary decomposition we prove: every factor module of $M$ is weakly injective iff for every ${\mathfrak{p}} \in \operatorname{Coass}(M)$ the ring of fractions $R_{\mathfrak{p}}$ is a field and the fibre ring $\hat{R} \bigotimes\limits_R \kappa({\mathfrak{p}})$ is semisimple.

Helmut Zöschinger

Papers

Komplementierte Moduln über Dedekindringen

Linear-kompakte Moduln über noetherschen Ringen

Komplemente als direkte Summanden

Projektive Moduln mit endlich erzeugtem Radikalfaktormodul

Schwach-injektive Moduln