Three parallel algorithms for classical molecular dynamics are presented. The first assigns each processor a fixed subset of atoms; the second assigns each a fixed subset of inter-atomic forces to compute; the third assigns each a fixed spatial region. The algorithms are suitable for molecular dynamics models which can be difficult to parallelize efficiently—those with short-range forces where the neighbors of each atom change rapidly. They can be implemented on any distributed-memory parallel machine which allows for message-passing of data between independently executing processors. The algorithms are tested on a standard Lennard-Jones benchmark problem for system sizes ranging from 500 to 100,000,000 atoms on several parallel supercomputers--the nCUBE 2, Intel iPSC/860 and Paragon, and Cray T3D. Comparing the results to the fastest reported vectorized Cray Y-MP and C90 algorithm shows that the current generation of parallel machines is competitive with conventional vector supercomputers even for small problems. For large problems, the spatial algorithm achieves parallel efficiencies of 90% and a 1840-node Intel Paragon performs up to 165 faster than a single Cray C9O processor. Trade-offs between the three algorithms and guidelines for adapting them to more complex molecular dynamics simulations are also discussed.

Fast parallel algorithms for short-range molecular dynamics

The heterogeneous multiscale method (HMM), a general framework for designing multiscale algorithms, is reviewed. Emphasis is given to the error analysis that comes naturally with the framework. Examples of finite element and finite difference HMM are presented. Applications to dynamical systems and stochastic simulation algorithms with multiple time scales, spall fracture and heat conduction in microprocessors are discussed.

/pdf/the-heterogeneous-multiscale-method-4zoj61bb2c.pdf

The heterogeneous multiscale method

The Physics of Rubber Elasticity (J. Meixner)

Review of uncertainty-based multidisciplinary design optimization methods for aerospace vehicles

Gegenstand des Buches ist die Dual Weighted Residual method (DWR), ein sehr effizientes numerisches Verfahren zur Behandlung einer großen Klasse von variationell formulierten Differentialgleichungen. Das numerische Verfahren ist adaptiv, d.h. es konstruiert eigenständig eine Folge von Approximationen für eine gegebene Fragestellung. Typische Fragestellungen sind die Bestimmung gewichteter Mittelwerte der Lösung oder ihrer Ableitungen, die Bestimmung von Randintegralen über Lösungskomponenten (relevant z.B. für die Berechnung von strömungsmechanischen Kenngrößen) oder die Bestimmung von Spannungsintensitätsfaktoren (z.B. in der Bruchmechanik). Das Verfahren basiert auf Projektionsmethoden wie z.B. der Finiten Elemente Methode (FEM). Dort wird die Approximationsgüte durch die Wahl der Gitter gesteuert. Der Kern jeder adaptiven FEM ist deshalb die Art, wie die Gitter gewählt werden. Typischerweise geschieht dies in einer adaptiven Schleife, in der in mehreren Durchgängen schrittweise das Gitter verbessert wird, bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Bei der DWR wird in jedem Schleifendurchgang ein lineares Hilfsproblem—das sog. duale Problem, welches von der vorliegenden Fragestellung abhängt—(näherungsweise) gelöst. Weiterhin wird eine Approximation der Differentialgleichung bestimmt. Aus diesen nun vorliegenden Daten wird dann herausdestilliert, wo das Gitter verfeinert werden sollte bzw. vergröbert werden kann, um eine genauere Lösung zu erhalten. Ziel eines adaptiven Algorithmus ist, das gewünschte Ergebnis möglichst effizient zu bestimmen, d.h. mit möglichst geringem Bedarf an Resourcen (Rechenzeit, Speicherbedarf etc.). Mit zahlreichen Beispielen belegt das Buch, daß die DWR dieses Ziel erreicht. Es sei hier besonders hervorgehoben, daß eine Kosten-Nutzen-Betrachtung für die DWR besonders bei nichtlinearen Problemen günstig ausfällt, da die Kosten für die Lösung des linearen Hilfsproblems vergleichbar mit denen eines Newtonschrittes sind und somit nur einen kleinen Teil der Gesamtkosten ausmachen. Das Buch gibt einen sehr guten Überblick über die Technik und die Möglichkeiten der DWR. In einleitenden Kapiteln wird die DWR an gewöhnlichen Differentialgleichungen und dann an einfachen linearen, elliptischen partiellen Differentialgleichungen sehr klar und verständlich vorgeführt. Anschließend wird die DWR in einem abstrakten funktionalanalytischen Rahmen vorgestellt. Der Rest des Buches illustriert auf eindrucksvolle Weise die Leistungsfähigkeit und Breite der Anwendungsfähigkeit des Konzeptes an Hand von Fallbeispielen: Es werden Eigenwertprobleme, Optimierungsaufgaben mit Zwangsbedingungen, die durch eine partielle Differentialgleichung gegeben sind, Strukturmechanikprobleme (lineare Elastizität, Plastizität), Strömungsmechanik (hydrodynamische Stabilitätsanalyse, Berechnung von Strömungskennwerten) behandelt. Auch zeitabhängige Probleme wie die Lösung der Wellengleichung werden mit der DWR erfolgreich bearbeitet. Insgesamt wird klar ersichtlich, daß die DWR eine sehr flexible und vielseitig anwendbare Technik ist. Die ausgewählten numerischen Beispiele, die vor allem aus umfangreichen numerischen Untersuchungen der Gruppe von Rolf Rannacher aus den letzten 10 Jahren ausgewählt wurden, sind sehr illustrativ. Die Erläuterungen zu den Beispielen sind auch deshalb interessant, weil eine Menge zusätzlicher Informationen über die numerische Behandlung des vorliegenden Problems quasi nebenbei einfließen. Das Buch entstand aus einer fortgeschrittenen Spezialvorlesung, die an der ETH Zürich gehalten wurde. Einen Lehrbuchcharakter erhält das Buch dadurch, daß Übungsaufgaben (mit detailierten Lösungen im Anhang) jedes Kapitel abschließen. Die Aufgaben enthal-

Adaptive finite element methods for differential equations.

In this work, we propose to extend the Arlequin framework to couple particle and continuum models. Three different coupling strategies are investigated based on the L 2 norm, H 1 seminorm, and H 1 norm. The mathematical properties of the method are studied for a one-dimensional model of harmonic springs, with varying coefficients, coupled with a linear elastic bar, whose modulus is determined by simple homogenization. It is shown that the method is well-posed for the H 1 seminorm and H 1 norm coupling terms, for both the continuous and discrete formulations. In the case of L 2 coupling, it cannot be shown that the Babuska–Brezzi condition holds for the continuous formulation. Numerical examples are presented for the model problem that illustrate the approximation properties of the different coupling terms and the effect of mesh size.

/pdf/on-the-application-of-the-arlequin-method-to-the-coupling-of-p8e6x0jelu.pdf

On the application of the Arlequin method to the coupling of particle and continuum models

It is common knowledge that the accuracy with which computer simulations can depict physical events depends strongly on the choice of the mathematical model of the events. Perhaps less appreciated is the notion that the error due to modeling can be defined, estimated, and used adaptively to control modeling error, provided one accepts the existence of a base model that can serve as a datum with respect to which other models can be compared. In this work, it is shown that the idea of comparing models and controlling model error can be used to develop a general approach for multiscale modeling, a subject of growing importance in computational science. A posteriori estimates of modeling error in so-called quantities of interest are derived and a class of adaptive modeling algorithms is presented. Several applications of the theory and methodology are presented. These include preliminary work on random multiphase composite materials, molecular statics simulations with applications to problems in nanoindentation, and analysis of molecular dynamics models using various techniques for scale bridging.

MultiScale Modeling of Physical Phenomena: Adaptive Control of Models

Adaptive multiscale modeling of polymeric materials with Arlequin coupling and Goals algorithms

In this paper, we present an extension of goal-oriented error estimation and adaptation to the simulation of multiscale problems of molecular statics. Computable error estimates for the quasicontinuum method are developed with respect to specific quantities of interest, and an adaptive strategy based on these estimates is proposed for error control. The theoretical results are illustrated on a nanoindentation problem in which the quantity of interest is the force acting on the indenter. The promising capability of such error estimates and adaptive procedure for the solution of multiscale problems is demonstrated on numerical examples.

Paul T. Bauman

Papers

On the application of the Arlequin method to the coupling of particle and continuum models

MultiScale Modeling of Physical Phenomena: Adaptive Control of Models

Adaptive multiscale modeling of polymeric materials with Arlequin coupling and Goals algorithms

Error Control for Molecular Statics Problems

Computational analysis of modeling error for the coupling of particle and continuum models by the Arlequin method