Showing papers by "Richard Courant published in 1927"

Exkurs über numerische Methoden

Abstract: Wer die Analysis als Instrument zur Behandlung physikalischer oder technischer Erscheinungen verwenden soll, steht vor der Frage, ob und wie sich aus den theoretischen Einsichten praktische Hilfsmittel zur wirklichen numerischen Ausfuhrung der Rechnungen ergeben.. Aber diese Frage besitzt auch vom Standpunkt des Theoretikers, der nicht die Natur beherrschen, sondern Zusammenhange erkennen will, ein kaum geringeres Interesse. Hinsichtlich einer systematischen Behandlung numerischer Methoden mus ich auf spezielle Darstellungen verweisen1). Hier kann ich nur nebeneinander einige besonders wichtige mehr oder weniger unmittelbar an das Vorangehende anknupfende Punkte behandeln. Dabei hebe ich grundsatzlich hervor, das jede genaherte Berechnung erst dann einen prazisen Sinn besitzt, wenn sie durch eine Abschatzung des begangenen Fehlers erganzt wird, wenn man also bei ihr eine Sicherheit fur den Grad der erreichten Genauigkeit gewonnen hat.

Weiterer Ausbau der Integralrechnung

Abstract: Wir sind im vorigen Kapitel durch Aufstellung der Differentiationsregeln zu einer weitgehenden Beherrschung der Aufgabe gelangt, gegebene Funktionen zu differenzieren. Aber gerade das umgekehrte Problem, das des Integrierens, geht fast uberall an Wichtigkeit dem des Differenzierens voran. Demgemas sind wir nunmehr genotigt, uns mit der Kunst des Integrierens gegebener Funktionen zu befassen.

Unendliche Reihen und andere Grenzprozesse.

Abstract: Die geometrische Reihe, die TAYLORsche Reihenentwicklung und eine Anzahl spezieller Beispiele, die uns in diesem Buche bisher begegnet sind, legen es nahe, von einem etwas allgemeineren Standpunkte aus diejenigen besonderen Grenzwertbildungen zu studieren, die man als unendliche Reihen bezeichnet. Im Prinzip laβt sich jeder Grenzwert $$ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n}$$ als unendliche Reihe schreiben; wir brauchen, wenn n etwa von 1 an lauft, nur sn = sn−1 + an (fur n>1) zu setzen und s1 = a1 zu wahlen, dann ist $${s_n} = {a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n},$$ , und der Wert S erscheint als Grenzwert der Summe s n aus n Gliedern. Man druckt diese Tatsache aus, indem man sagt: S ist die “Summe der unendlichen Reihe“ $${a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots $$ .