Brownian motion with respect to time-changing Riemannian metrics, applications to Ricci flow

TLDR: In this article, the notion de mouvement brownien sur une variete is generalised to the notion of transport parallele deforme, and a formule dintegration par parties a la Bismut is presented.

Abstract: Nous generalisons la notion de mouvement brownien sur une variete au cas du mouvement brownien dependant d’une famille de metriques. Cette generalisation est naturelle quand on s’interesse aux equations de la chaleur avec un laplacien qui depend du temps, ou de maniere generale dans le cadre de diffusions in-homogenes. Dans cet article, nous nous sommes particulierement interesses au flot de Ricci, flot geometrique fournissant une famille intrinseque de metriques. Nous donnons une notion de transport parallele le long d’un tel processus, puis nous generalisons celle du transport parallele deforme, et donnons une formule d’integration par parties a la Bismut dont nous tirons des formules de controle de norme de gradients de solutions d’equation de la chaleur in-homogene. Un des resultats principaux de cet article est une caracterisation probabiliste du flot de Ricci, en terme du transport parallele deforme. Dans les dernieres sections, nous donnons une definition canonique du transport parallele deforme en utilisant le flot stochastique, et nous en derivons une martingale intrinseque, qui pourrait donner des informations sur les singularites du flot.