RENDICONTI
del
SEMINARIO MATEMATICO
della
UNIVERSITÀ DI PADOVA
ANTONIO AMBROSETTI
Un teorema di esistenza per le equazioni
differenziali negli spazi di Banach
Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova,
tome 39 (1967), p. 349-361
<http://www.numdam.org/item?id=RSMUP_1967__39__349_0>
© Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 1967, tous
droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Rendiconti del Seminario Matematico
della Università di Padova » (http://rendiconti.math.unipd.it/) implique l’accord
avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive
d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-
nir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
UN
TEOREMA
DI
ESISTENZA
PER
LE
EQUAZIONI
DIFFERENZIALI
NEGLI
SPAZI
DI
BANACH
ANTONIO
AMBROSETTI
*)
Sia E
un
sottoinsieme
di
uno
spazio
di
Banach E,
I
un
inter-
vallo
chiuso
e
limitato
della
retta
reale
e f (x, y)
una
funzione
di
in
.E.
Allora
la
sola
ipotesi
della
continuità
di
f (x, y)
non
è
sun ciente
a
garantire
l’esistenza
di
almeno
una
soluzione
dell’equa.
zione
differenziale
ordinaria
del
primo
ordine
soddisfacente
alla
condizione
iniziale
In
questo
lavoro
verrà
dimostrato
un
Teorema
di
esistenza
per
tale
problema,
ottenendo
cos
un
risultato
che
è
più
generale
di
quelli
dovuti
a
C.
CORDUNEAN1T 2)
ed
a
M.
A.
KRASNOSEL’SKIi -
S.
G.
KREIN
3).
Nella
dimostrazione
si
farà
uso
di
un
Teorema
di
punto
unito
di
G.
DARBO
4).
.)
Lavoro
eseguito
nell’ambito
dei
Gruppi
di
Ricerca
del
Comitato
Na,zio-
nale
per
la
Matematica
del
C.
N.
R.
Indirizzo
dell’A.:
Scuola
Normale
Superiore,
Pisa.
1)
Cfr.
[1]
-
pag.
25.
2)
Cfr.
[2]
-
pag.
226
e
segg.
3)
Cfr.
[5]
-
pag.
13-16.
4)
Cfr.
[3]
-
pag.
84
e
segg.
350
Ringrazio
il
Prof.
G.
Prodi
che
mi
ha
guidato
nella
presente
ricerca
e
il
Prof.
E.
De
Giorgi
per
le
utili
discussioni
sull’a,rgomento.
§
1.
Premesse.
Faremo
nel
seguito
frequente
uso
di
alcune
nozioni
sulle
a-con-
trazioni
introdotte
da
G.
DARBO
) ;
per
comodità
daremo
dapprima
alcuni
richiami
su
tale
argomento
e
cominceremo
perciò
con
la
seguente
DIZFINIZ10N]F,
1.1.
Sia
X
un
insieme
limitato
di
uno
spazio
di
Banach
E.
Indichere>1o
con
a.
(X)
t’estremo
inferiore
dei
numeri
po-
sitivi
e
per-
i
quali
è
possibile
decomporre
X
nell’1tnione
di
un
numero
finito
di
parti
di
d iametro
inferiore
ad
B.
Dalla
definizione
precedente
segue
subito
che :
1.2.
Condizione
necessaria
e
s2cf,f ciente
perchè
X
sia
i-elativamente
compatto
in
E
è
che
risulti
a
(X)
=
0.
PIZOPRIF,TA
1.3.
X
e
Y
sono
porzioni
limitate
di
E,
detto
X -~-
Y
l’insieme
+y:xEX, yE
Y),
si
ha
Sia
.L
uno
spazio
metrico
e
T
una
trasformazione
di
.E
in
sè ;
hanno
importanza
in
molte
questioni
quelle
trasformazioni
T
che
sono
completamente
continue,
cioè
che
sono
continue
e
che
trasfor-
mano
ogni
insieme
limitato
in
un
insieme
relativamente
compatto
in
E.
Tali
trasformazioni
godono
quindi
della
proprietà
che,
per
ogni
X
limitato,
risulta
a(T(X))
=
O
e a
(~Y).
Per
generalizzare
tale
concetto,
si
dà,
seguendo
(~.
DA RBO,
la
seguente
DEFINIZLONK
1.4.
Chiamereíno
a-eontrazione
ogni
trasforn2azione
continua
T di
uno
spa,zio
metrico
E
in
sè,
che
soddisfa
alle
seguenti
proprietà ;
5)
Per
ulteriori
notizie
sull’argomento
e
per
la
dimostrazione
del
Teorema
1.7
vedi
[3]
con
relativa
bibliografia.
351
I.
ogni
insieme
timitacto
di
E
venga
trasformato
dalla
T
in
un
insieme
timitato ;
II.
qualunque
sia
l’insieme
limitato
X
c
.E,
posto
X’
=
T(X),
risulti
con
k
conveniente
numero
non
negativo,
minore
d i
uno
e
indipendente
da
X.
Segue
subito
che :
PROPRIJtJ’l’À
1.5.
Le
trasformazioni
comp letamente
continue
sono
a-contrazioni.
Poichè
ovviamente
le
contrazioni
ordinarie
sono
a,contrazioni,
dalla
definizione
1.4
e
dalle
proprietà
1.3
e
1.5
segue
che :
PFOPRIF,TÀ.
1. 6.
Se
la
trasformazione
T
di
E
in
E
si
può
seri-
vere
come
Ti
+
T2 ,
con
Ti
comlnletamente
continua
e
T2
contrazione,
allora
T
=
Tt
+
T2
è
una
a-contrazione.
Generalizzando
un
noto
Teorema
di
punto
unito
di
G.
SOHAUDER,
G.
DARRO
ha
dimostrato
sulle
a-contrazioni
il
seguente
TEOREMA
1.7.
Sia
T
una
a
contrazione
definita
in
un
insieme
convesso
e
chiuso
X
di
uno
spazio
di
Banach
E.
Sia
inoltre
l’imma-
gine
T
(X)
limitata
e
contenuta
in
X.
In
tali
ipotesi
esiste
in
X
al-
meno
un
punto
unito
per
la
T.
Generalizzando
il
concetto
di
a-contrazione,
diamo
poi
la
se-
guente
D ?,FINIZIONF,
1.8.
Siano
E
e
F
due
spazi
di
Banach ;
dire1110
che
una
funzione
,t’ (y) :
E -
F
è
(X-lipschitziana
se
è
continua
e
se
I.
per
ogni
insieme
limitato
S
c
E,
c
F
è
limitato ;
11.
esiste
iina
costante
h,
tale
che,
per
ogni
invienie
limitato
~~’
c .E,
si
abbia
Data
una
funzione
a-lipschitziana
f,
il
più
piccolo
valore
non
negativo
di h,
hf,
per
cui
sussiste
la
disegwaglianza
precedente
qua-
352
lunque
sia
I"insieme
S
limitato
di
E,
sarà
chiamato
modulo
della
funzione
a-lipschitziana
f.
Sussiste
infine
il
seguente
Teorema,
di
immediata
dimostrazione :
TF,OP.F,MA
1.9.
Siano
.E,
F,
G,
tre
spazi
di
Banach ;
f
cazione
di
E
in
F
a.lipschitziaYaa
con
modulo
uguale
ad
hf;
g
una
applicazione
di
G
a-tipschitziana
con
moduto
uguale
ad
hg .
Al-
lora
l’applicazione
composta
g
o f
di
E
in
G,
è
rx-lipschitziana
con
modulo
minore
o
uguale
a
"1.
hg .
2.
Un
teorema
prelin inare.
Sia
E
uno
spazio
di
Banach,
I
un
intervallo
chiuso
e
limitato
della
retta
reale.
Indichiamo
con
C (I ;
E)
lo
spazio
delle
funzioni
continue
su
I,
a
valori
in
.E,
che
rispetto
alla
norma
*
è
uno
spazio
di
Banach ;
e
consideriamo
un
sottoinsieme H
c
C
(I;
E).
In
corrispondenza
ad H
si
prenda,
per
ogni
x
E
I,
l’insieme
H (x)
c
E,
formato
da
tutti
gli
elementi
del
tipo u
(x)
con u
E H,
e
sia
inoltre
H (I)
c
E
l’insieme
U
H (x) ;
se
H
è
limitato
anche
H (I )
lo è,
e
vi-
xEI
ceversa.
Vogliamo
ora
dimostrare
un
Teorema
che
ci
sarà
utile
nel
seguito
e
che
generalizza
il
classico
Teorema
di
AsCOLI-ARzF ,1,,!.
6).
A
tale
scopo
proviamo
dapprima
due
Lemmi.
LEMMA
2.1.
Se
H c
C ( I ; _E ) è
un
insieme
timitato ed
equicon-
tinuo,
per il
corrispondente
H
(I)
c
E
si
ha
D~lB’I.
Divideremo
la
dimostrazione
in
due
parti :
mostreremo
prima
che
provando
successivamente
la
disegua-
glianza
inversa.
6)
Per
una
diinostrazione
del
Teorema
di
A-.3COLI-ARZPLA,
cfr.,
ad
esempio,
(4,
pp.
135-136.
La
dimostrazione
dei
Lemmi
2.1
e
2.2
del
presente
lavoro,
ri-
calca,
nelle
sue
linee
essenziali,
quella
del
suddetto
Teorema.