Showing papers in "Mathematische Zeitschrift in 1922"

Über die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise

Abstract: Da~ Problem, die Anzahl der im Innern eines Kreises gelegenen Wurzeln einer algebraisehen Gleichung zu bestimmen, wird dureh die C a u e h y s e h e Indexoder Kroneckersohe Charakteristikentheorie auf die Ermittlung der Anzahl der reellen Wurzeln einer anderen Gleiehung zt~iickgefiihrti). Fiir den einfachsten und wichtigsten Fall des Kreises I z ] ~ R, auf den man sich oflenbar beschr~inken darf, gibt es aber eine Reihe yon Methoden, die uuter gewissen Voraussetzungen die Anzahl der in dem Kreise enthaltenen Wurzeln auf einfachere Art aufzufinden gestat6en. Aufler einer Regel flit trinomisehe GleichungeK Von~Herrn P. Bohl~) sind hier vor allem einige Noten yon Herrn M. P e t r o v i t s e h "~) zu nennen, der yon der Voraussetzung ausgeht, dal3 man schon einen wurzelfreien Kreisring R ~ i x l ~ RI kennt. Die notweudigen und hinreiehenden Bedingungen dafiir, daft die absoluten Betriige der Wurzeln siimtlieh unterhalb einer gegebenen Schranke liegen, hat Herr I. S e h u r d) abgeleitet. Die im I. Kapitel dieser Arbeit mitgeteilte Regel, die mit verh~iltnism~ig geringer Miihe die Zahl der im

Some problems of ‘Partitio Numerorum’: IV. The singular series in Waring’s Problem and the value of the number G (k)

Abstract: In this memoir we continue the investigations initiated in two earlier memoirs bearing a similar title, and complete the proof of all the assertions which they contain 1). We shall assume throughout that the reader is acquainted with the notation and terminology of these memoirs.

Über einen Dirichletschen Satz

Abstract: In der die Theorie des allgemeinen relativ -quadratischen Korpers ( Math. Ann, 51, S. 1 u. ff.) vorbereitenden und dem Dirichl et schen Zahlkorper geltenden Arbeit (Math. Ann. 45, S. 309 u. ff.) hat H9 bert auf arithmetischem Wege den Dirichlet schen Satz 1) erschlossen, das die Klassenzahl des Korpers K (√ m, m) dem Produkt der Klassenzahlen der k Korper Korp √m) und k (1/ — m) oder der Halfte desselben gleich ist. Fur die ursprungliche transzendente Beweismethode des Satzes wie seiner Ausdehnung auf den K (1/m 1 ,..., 1/m t ) andererseits liefert die Hilbert sche Theorie des Galoisschen Korpers in Verbindung mit den Dedekind schen Feststellungen der Beziehungen zu seinen Teilern eine einfache Fassung, da derselbe einem vollen Kreiskorper angehort und also seine Z -Funktion und damit nach E. Hecke auch Diskriminante leicht gewonnen werden kann. Es sei daher gestattet, jenen Dirichlet sehen Satz auch aus diesem Gesichtspunkt Hi1bert scher Resultate zu betrachten und vorab die Z -. Funktion der Unterkorper eines Kreiskorpers in eine fur den beabsichtigten Zweck bequeme Form zu setzen.

Zur Infinitesimalgeometrie: p dimensionale Fläche im n dimensionalen Raum

Abstract: Die erste Aufgabe der Infinitesimalgeometrie ist es, eine einzelne stetige Mannigfaltigkeit futsich zu betrachten ; erst in zweiter Linie steht das Studium einer p dimensionalen. Mannigfaltigkeit (,„Flache“ ), welche in eine hoherdimensionale Mannigfaltigkeit (den n dimensionalen „Raum“ ) eingebettet ist. Von diesem Problem, von welchem die Theorie der krummen Kurven und Flachen im dreidimensionalen Euklidischen Raum ein Spezialfall ist, soll hier die Rede sein ; ich mochte zeigen, wie die Grundbegriffe und Grundformeln dieser Theorie einheitlich, anschaulich und ohne neue Rechnung aus der Infinitesimalgeometrie der Einzelmannigfaltigkeit gewonnen werden konnen.

Über die Integralgleichung der kinetischen Gastheorie

Abstract: In seiner Arbeit „Begrundung der kinetischen Gastheorie“ hat Herr Hubert1) gezeigt, das die Grundlage der kinetischen Gastheorie eine lineare Integralgleichung 2. Art mit symmetrischem Kern bildet. Auf diese fuhrte er namlich die von Maxwell-Boltzmann aufgestellte qua­dratische Funktionalgleichung zuruck. Einer naheren Untersuchung der Hilbertschen Gleichung zu dem Zweck, weitergehende Aussagen uber die noch unbekannten Warmeleitungs- und Reibungsglieder zu machen, stellten sich zunachst erhebliche Schwierigkeiten entgegen, indem namlich der Kern der Integralgleichung im Unendlichen eine derartig komplizierte Singularitat besitzt, das er quadratisch nicht mehr integrierbar ist also die Anwendbarkeit der klassischen Theorie auf die Hilbertsche Gleichung nicht gesichert ist. Es zeigte sich mir nun, das zur Entscheidung dieser Frage die Entwicklung des Kernes nach Kugelfunktionen einer Variablen herangezogen werden mus, und das uberhaupt die hierbei auftretenden „Fourierkoeffizienten“ fur die Auflosung der Gasgleichung eine besondere Bedeutung haben. Diese Koeffizienten, welche nur noch von zwei Variablen abhangen, netze man namlich als Kerne von lntegralgleichungen in einer Variablen an; Warmeleitungs- und Reibungsglieder, wie auch alle folgen­den Naherungsglieder der Max wellschen Funktion F bestimmen sich dann als Losungen je einer solchen linearen (symmetrischen) Integral­gleichung in einer Variablen deren rechte Seite eine bekannte, d. h. durch die vorangehenden Naherungen vollig bestimmte Funktion ist. Diese Kerne sind uberdies noch so beschaffen, das jede solche Integralgleichung nur eine andere Schreibweise fur eine gewohnliche lineare Differentialgleichung (vierter und hoherer Ordnung) ist.