Gegenstand des Buches ist die Dual Weighted Residual method (DWR), ein sehr effizientes numerisches Verfahren zur Behandlung einer großen Klasse von variationell formulierten Differentialgleichungen. Das numerische Verfahren ist adaptiv, d.h. es konstruiert eigenständig eine Folge von Approximationen für eine gegebene Fragestellung. Typische Fragestellungen sind die Bestimmung gewichteter Mittelwerte der Lösung oder ihrer Ableitungen, die Bestimmung von Randintegralen über Lösungskomponenten (relevant z.B. für die Berechnung von strömungsmechanischen Kenngrößen) oder die Bestimmung von Spannungsintensitätsfaktoren (z.B. in der Bruchmechanik). Das Verfahren basiert auf Projektionsmethoden wie z.B. der Finiten Elemente Methode (FEM). Dort wird die Approximationsgüte durch die Wahl der Gitter gesteuert. Der Kern jeder adaptiven FEM ist deshalb die Art, wie die Gitter gewählt werden. Typischerweise geschieht dies in einer adaptiven Schleife, in der in mehreren Durchgängen schrittweise das Gitter verbessert wird, bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Bei der DWR wird in jedem Schleifendurchgang ein lineares Hilfsproblem—das sog. duale Problem, welches von der vorliegenden Fragestellung abhängt—(näherungsweise) gelöst. Weiterhin wird eine Approximation der Differentialgleichung bestimmt. Aus diesen nun vorliegenden Daten wird dann herausdestilliert, wo das Gitter verfeinert werden sollte bzw. vergröbert werden kann, um eine genauere Lösung zu erhalten. Ziel eines adaptiven Algorithmus ist, das gewünschte Ergebnis möglichst effizient zu bestimmen, d.h. mit möglichst geringem Bedarf an Resourcen (Rechenzeit, Speicherbedarf etc.). Mit zahlreichen Beispielen belegt das Buch, daß die DWR dieses Ziel erreicht. Es sei hier besonders hervorgehoben, daß eine Kosten-Nutzen-Betrachtung für die DWR besonders bei nichtlinearen Problemen günstig ausfällt, da die Kosten für die Lösung des linearen Hilfsproblems vergleichbar mit denen eines Newtonschrittes sind und somit nur einen kleinen Teil der Gesamtkosten ausmachen. Das Buch gibt einen sehr guten Überblick über die Technik und die Möglichkeiten der DWR. In einleitenden Kapiteln wird die DWR an gewöhnlichen Differentialgleichungen und dann an einfachen linearen, elliptischen partiellen Differentialgleichungen sehr klar und verständlich vorgeführt. Anschließend wird die DWR in einem abstrakten funktionalanalytischen Rahmen vorgestellt. Der Rest des Buches illustriert auf eindrucksvolle Weise die Leistungsfähigkeit und Breite der Anwendungsfähigkeit des Konzeptes an Hand von Fallbeispielen: Es werden Eigenwertprobleme, Optimierungsaufgaben mit Zwangsbedingungen, die durch eine partielle Differentialgleichung gegeben sind, Strukturmechanikprobleme (lineare Elastizität, Plastizität), Strömungsmechanik (hydrodynamische Stabilitätsanalyse, Berechnung von Strömungskennwerten) behandelt. Auch zeitabhängige Probleme wie die Lösung der Wellengleichung werden mit der DWR erfolgreich bearbeitet. Insgesamt wird klar ersichtlich, daß die DWR eine sehr flexible und vielseitig anwendbare Technik ist. Die ausgewählten numerischen Beispiele, die vor allem aus umfangreichen numerischen Untersuchungen der Gruppe von Rolf Rannacher aus den letzten 10 Jahren ausgewählt wurden, sind sehr illustrativ. Die Erläuterungen zu den Beispielen sind auch deshalb interessant, weil eine Menge zusätzlicher Informationen über die numerische Behandlung des vorliegenden Problems quasi nebenbei einfließen. Das Buch entstand aus einer fortgeschrittenen Spezialvorlesung, die an der ETH Zürich gehalten wurde. Einen Lehrbuchcharakter erhält das Buch dadurch, daß Übungsaufgaben (mit detailierten Lösungen im Anhang) jedes Kapitel abschließen. Die Aufgaben enthal-

Adaptive finite element methods for differential equations.

Adaptive finite element methods (FEM) have been widely used in applications for over 20 years now. In practice, they converge starting from coarse grids, although no mathematical theory has been able to prove this assertion. Ensuring an error reduction rate based on a posteriori error estimators, together with a reduction rate of data oscillation (information missed by the underlying averaging process), we construct a simple and efficient adaptive FEM for elliptic partial differential equations. We prove that this algorithm converges with linear rate without any preliminary mesh adaptation nor explicit knowledge of constants. Any prescribed error tolerance is thus achieved in a finite number of steps. A number of numerical experiments in two and three dimensions yield quasi-optimal meshes along with a competitive performance. Extensions to higher order elements and applications to saddle point problems are discussed as well.

Keywords: A posteriori error estimators, data oscillation, adaptive mesh refinement, convergence, Stokes, Uzawa

AMS Subject Classifications: 65N12, 65N15, 65N30, 65N50, 65Y20


Published: SIAM Review, 44 (2002) 631--658.

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Convergence of Adaptive Finite Element Methods

We introduce the nonconforming Virtual Element Method (VEM) for the approximation of second order elliptic problems. We present the construction of the new element in two and three dimensions, highlighting the main differences with the conforming VEM and the classical nonconforming finite element methods. We provide the error analysis and establish the equivalence with a family of mimetic finite difference methods. Numerical experiments verify the theory and validate the performance of the proposed method.

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The nonconforming virtual element method

Numerical solution of the Optimal Transportation problem using the Monge-Ampère equation

The standard a priori error analysis of discontinuous Galerkin methods requires additional regularity on the solution of the elliptic boundary value problem in order to justify the Galerkin orthogonality and to handle the normal derivative on element interfaces that appear in the discrete energy norm. In this paper, a new error analysis of discontinuous Galerkin methods is developed using only the H k weak formulation of a boundary value problem of order 2k. This is accomplished by replacing the Galerkin orthogonality with estimates borrowed from a posteriori error analysis and by using a discrete energy norm that is well defined for functions in H k .

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A new error analysis for discontinuous finite element methods for linear elliptic problems

In this paper, we develop and analyze C(0) penalty methods for the fully nonlinear Monge-Ampere equation det(D(2)u) = f in two dimensions. The key idea in designing our methods is to build discretizations such that the resulting discrete linearizations are symmetric, stable, and consistent with the continuous linearization. We are then able to show the well-posedness of the penalty method as well as quasi-optimal error estimates using the Banach fixed-point theorem as our main tool. Numerical experiments are presented which support the theoretical results.

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{C}^0$ penalty methods for the fully nonlinear Monge-Ampère equation

A reliable and efficient residual-based a posteriori error estimator is derived for a quadratic C 0 -interior penalty method for the biharmonic problem on polygonal domains. The performance of the estimator is illustrated by numerical experiments.

An a posteriori error estimator for a quadratic C0-interior penalty method for the biharmonic problem

In this paper, we first split the biharmonic equation Δ2 u=f with nonhomogeneous essential boundary conditions into a system of two second order equations by introducing an auxiliary variable v=Δu and then apply an hp-mixed discontinuous Galerkin method to the resulting system. The unknown approximation v h of v can easily be eliminated to reduce the discrete problem to a Schur complement system in u h , which is an approximation of u. A direct approximation v h of v can be obtained from the approximation u h of u. Using piecewise polynomials of degree p?3, a priori error estimates of u?u h in the broken H 1 norm as well as in L 2 norm which are optimal in h and suboptimal in p are derived. Moreover, a priori error bound for v?v h in L 2 norm which is suboptimal in h and p is also discussed. When p=2, the preset method also converges, but with suboptimal convergence rate. Finally, numerical experiments are presented to illustrate the theoretical results.

Mixed Discontinuous Galerkin Finite Element Method for the Biharmonic Equation

A unified a posteriori error analysis is derived in extension of Carstensen (Numer Math 100:617–637, 2005) and Carstensen and Hu (J Numer Math 107(3):473–502, 2007) for a wide range of discontinuous Galerkin (dG) finite element methods (FEM), applied to the Laplace, Stokes, and Lame equations Two abstract assumptions (A1) and (A2) guarantee the reliability of explicit residual-based computable error estimators The edge jumps are recast via lifting operators to make arguments already established for nonconforming finite element methods available The resulting reliable error estimate is applied to 16 representative dG FEMs from the literature The estimate recovers known results as well as provides new bounds to a number of schemes

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Thirupathi Gudi

Papers

A new error analysis for discontinuous finite element methods for linear elliptic problems

{C}^0$ penalty methods for the fully nonlinear Monge-Ampère equation

An a posteriori error estimator for a quadratic C0-interior penalty method for the biharmonic problem

Mixed Discontinuous Galerkin Finite Element Method for the Biharmonic Equation

A unifying theory of a posteriori error control for discontinuous Galerkin FEM