Showing papers in "Mathematische Zeitschrift in 1974"

On the modular representations of the general linear and symmetric groups

Abstract: Let V be an n-dimensional vector space over C with basis X 1, X 2,..., X n and let T r = V ⊗ V ⊗ ... ⊗ V (r factors). T r is a module both for GL n (C), via its action on V, and for the symmetric group S r by place permutations.

Rearrangements of the symmetric group and enumerative properties of the tangent and secant numbers

Abstract: In a recent note [6] the first author has announced the discovery of a family of transformation groups (G,), > o which have the following property: G, acts on the n! elements of the symmetric group ~ , and the number of its orbits is equal to the n-th tangent or secant number, according as n is odd or even. The purpose of this paper is to give a complete description of these groups. Applications to enumeration problems will appear in a subsequent paper. The tangent (or Euler) number are defined by the series expansion of tan u

Zur Charakterformel gewisser Darstellungen halbeinfacher Gruppen und Lie-Algebren.

Abstract: Ist Gk eine universelle Chevalley-Gruppe fiber einem unendlichen K/Srper k der Charakteristik p 4: 0, so gibt es zu jedem dominanten Gewicht 2 des zugeh6rigen Wurzelsystems eine irreduzible, algebraische Darstellung von Gk zum h6chsten Gewicht 2. Deren (formaler) Charakter Zk(2) ist yon der Form Zk(2)---~a, a(2', 2)Z(2') mit 2' dominant und a(2', 2)e2g, wobei ):(2') der Charakter der irreduziblen Darstellung von G~ zum h6chsten Gewicht 2' ist. Nach Humphreys ([7]) gibt es eine (affine) Spiegelungsgruppe Wk, so dab a(2', 2)+0 nut ftir 2'e Wk.(2) m6glich ist. Dies wurde allerdings nur bewiesen, wenn p gr613er als die Coxeter-Zahl des Wurzelsystems ist, was wir yon nun an annehmen wollen. (Dank der Arbeit [4] ist diese Voraussetzung bei einem Teil der Ergebnisse aberflfissig, wenn der Typ ..4 nist.) Schreiben wir a(w, 2) statt a(w.(2), 2) ftir we Wk. Die Spiegelungsgruppe Wk definiert Kammern. Sind 2 und 2' dominante Gewichte, die im Innern derselben Kammer C liegen, so zeigen wir in Theorem 1, dab a(w, 2)=a(w, 2') ist. Schreiben wit dann a(w, C) statt a(w, 2). Wir k6nnen in zwei disjunkte Teilmengen Ca und Cb zerlegen und ftir ein dominantes Gewicht 2 e C die (endliche) Summe_ ~,~w~a(w, C) z(w.(2)) bilden. Dann zeigen wir, dab diese Summe ;(~(2) fiir 2e C, (Theorem 1) und gleich Null ffir 2e C b (Theorem 2) ist. Ftir jedes dominante 2 gibt es genau eine Kammer C mit 2e C,. Daher sagt Theorem 1: Kennen wir Zk(2) fiir je ein dominantes Gewicht 2 im Innern jeder Kammer, in der fiberhaupt ein dominantes Gewicht liegt, so kennen wir alle Zk(2). Theorem2 liefert uns Beziehungen zwischen verschiedenen a(w, C) fiJr festes C. Ganz ~ihnliche Aussagen gelten ffir g~:, die Lie-Algebra von Gr und deren irreduziblen Darstellungen, die yon h/Schsten Gewichtsvektoren erzeugt werden. Man ersetzt oben )~(2') durch den Charakter der ,,gr613ten\" Darstellung zum h6chsten Gewicht 2' und W k durch eine Untergruppe der Weylgruppe. Diese verschiedenen Ergebnisse werden einheitlich dargestellt. Dazu betrachten wir statt gr deren einhfillende Algebra U und ersetzen Gk durch Uk = Ue| wobei Ue die Kostantsche Z-Form von U ist. Die betrachteten endlichdimensionalen Uk-Moduln sind auch Gk-Moduln; sie sind genau dann far Gk einfach, wenn sie es fiir Us sind.

Ringe der Charakteristikp und Frobeniusfunktoren

Abstract: Es gibt vide Beispiele der kommutativen Algebra und algebraischen Geometric, wo der Fall der Primzahlcharakteristik p besondere Schwierigkeiten bereitet. Man denke etwa an das noch ungelSste Problem der Singularit~itenauf18sung in Charakteristik p. Andererseits gestatten gerade Ringe der Charakteristik p besondere Beweismethoden, die aus der Existenz eines kanonischen Endomorphismus resultieren, dem sogenannten Frobeniushomomorphismus, der jedem Element des Rings seine p-te Potenz zuordnet. Man vergleiche etwa die Arbeiten von Kunz [8, 9] und Seydi [12, 13]. In dieser Arbeit soll dargestellt werden, dal3 der Frobeniushomomorphismus ein geeignetes Hilfsmittel zur Behandlung homologischer Eigenschaften yon Ringen der Charakteristik p ist. Ein hervorragendes Beispid fi~r diese These ist das Resultat yon PeskineSzpiro, die in I-11], Th. 1.7 gezeigt haben, dal3 fdr einen Ring der Charakteristik p, Tor~ (M,/VR) = 0 ftir alle i> 0 und allev > 0, falls M ein endlich erzeugter R-Modul endlicher projektiver Dimension ist. Hierbei ist :VR die Gruppe R +, aufgefaBt als R-Modul bezfiglich f~: R-~ R, f~(r):= r pv. Letzten Endes beruht ihr Beweis einer Vermutung yon Bass in [1] auf diesem Satz. In 3.1 zeigen wir nun, dab auch die Umkehrung hiervon richtig ist. Als einlathe Folgerung ergibt sieh dann ein neuer Beweis eines Regularit~itskriteriums yon Kunz [8], Th. 2.1. Entsprechend zu obigem Ergebnis zeigen wir in 5.2, dab endlich erzeugte RModuln N endlicher injektiver Dimension durch die Eigensehaft charakterisiert sind, dab E• N)=O ftir alle i>0 und alle v>0, vorausgesetzt :R ist ein endlich erzeugter R-Modul. Aus dieser Tatsache lassen sich zwei Gorensteinkriterien 5.3, 5.6, und ein weiteres Regularit~itskriterium 5.7 ableiten.

Sur la théorie du contact maximal

Abstract: La strate de Samuel relative Sx(X/S ) (Lejeune-Teissier [-9]) d'un morphisme d'espaces analytiques complexes f : X ~ S e n un point x~X est un germe de sous-espace analytique localement ferm6 de X car c'est la strate de platitude des faisceaux de jets relatifs P~/s. Lorsque X est un sous-espace analytique ferm6 d'un espace Z et que f est induit par un morphisme lisse F: Z---, S, on d6termine Sx(X/S) grgtce aux bases standard normalis6es de Hironaka; lorsque, de plus, S est lisse et F perpendiculaire/l X, une telle base permet de d6terminer simultanem6nt S~(X/S) et la strate de Samuel absolue S~(X); de plus, il existe alors un germe de sous-espace W de Z, passant par x, 6tale sur S e t tel que W= S~(X/S) ~ Sx(X). La condition W= Sx(X/S) est 6videmment invariante par extension de la base S, elle est de nature locale (aux points de S~(X/S)), elle implique que W a le contact maximal avec X relativement ~t F: Z ~ S (la r6ciproque est inexacte m~me pour les courbes planes), elle est satisfaite lorsque F: Z ~ S et Wsont construits /t partir d'une singularit6 plong6e x ~ X c Z grfice aux donn6es distingu6es de Hironaka. Enfin, sous les conditions indiqu6es, la condition W ~ S~ (X/S) est stable par 6clatement permis ne modifiant pas la fonction de Hilbert-Samuel. Les m6thodes introduites ici restent utilisables en g6om6trie algdbrique,/ t condition de consid6rer des op6rateurs diff6rentiels relativement au corps premier. Par exemple, on obtient ainsi une d6monstration simple d'un r6sultat de Hironaka sur la strate de Samuel du sommet d'un c6ne en caract6ristique positive [6]. L'essentiel de ce travail a 6t6 fait /L l'Institut de Recherches de l'Universit6 de Bonn en Novembre 1972; j'en remercie les membres pour les excellentes conditions de travail qu'ils m'ont offertes.

On the Degrees of Steinberg Characters of Chevalley Groups

Abstract: Let G be a finite group with BN pair (in the sense of Tits [10]). Following the terminology of Green [-6], the irreducible complex characters of G which are components of the induced character (18) G are called the Steinberg characters of G. In [6] Green has proved that if ~ is a simple Lie algebra over the complex field and if ~(q) is the corresponding Chevalley group (see [-3]) defined over the field with q elements, then for q sufficiently large the degrees of the Steinberg characters (other than the 1-character) of ~(q) are divisible by p, the characteristic of GF(q). The purpose of this paper is to determine precisely how large q has to be. In view of the results obtained by Seitz [-8] this permits the doubly transitive permutation representations of most of these groups to be classified. It is hoped soon to treat the groups of twisted type in a similar fashion. I am deeply indebted to Dr. R.J. Clarke for invaluable discussion.

Über offene Abbildungen auf die 3-Sphäre

Abstract: 4. o -For t se tzungen yon o -Abb i ldungen yon S 2 auf S 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5. K o n s t r u k t i o n yon o -Abb i ldungen yon S 3 a u f S 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 6. Eine Klasse yon o A b b i l d u n g e n yon S 3 a u f S 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7. o -Abbi ldun~en yon M 3 a u f S 3 yore G r a d e drei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227