Showing papers in "Zamm-zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik in 1974"

Rundungsfehleranalyse einiger Verfahren zur Summation endlicher Summen

Abstract: Der bei einer Summation auftretende Rundungsfehler kann als Mas fur die Gute des verwendeten Verfahrens gelten. Im folgenden werden fur mehrere Summierungsverfahren, unter anderem fur das ubliche und das Kahan-Babuska-Verfahren, a-priori-Schranken fur diese Rundungsfehler angegeben und miteinander verglichen.

Integration of the Magnetohydrodynamic Boundary‐Layer Equations by Meksyn's Method

Abstract: Es wird das nichtlineare Randwertproblem formuliert, das die raumliche Entwicklung der Grenzschicht in einer leitenden Flussigkeit beschreibt, die bei Vorhandensein eines auseren Druckgradienten quer zu einem inhomogenen Magnetfeld entlang einer ebenen Platte stromt. Mit Hilfe von Transformationen, Reihenentwicklungen und Integrationsverfahren (Sattelpunkt-Methode), wie sie von Meksyn in die Analysis hydrodynamischer Grenzschichten eingefuhrt worden sind, werden analytische Losungen fur das Geschwindigkeitsfeld sowohl in Punkten der anliegenden als auch der abgelosten magnetohydrodynamischen Stromung gewonnen. Der Anwendung auf magnetohydrodynamische Diffusor-Stromungen wird besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Es wird gezeigt, das ein inhomogenes Magnetfeld die Grenzschichtablosung unterdrucken kann. The nonlinear boundary-value problem describing the spatial development of the boundary-layer in a conducting fluid flowing transverse to an inhomogeneous magnetic field along a flat plate with external pressure gradient is formulated. Analytical solutions of the velocity field are obtained for unseparated and separated points in the magnetohydrodynamic flow by means of transformations, series expansions, and integration procedures (method of steepest descent) introduced by Meksyn in the analysis of ordinary boundary layers. In an application, attention is given to magnetohydrodynamic diffuser flows. It is shown that an inhomogeneous magnetic field can suppress boundary-layer separation.

Transient Stresses in an Elastic Half Space Resulting from the Frictionless Indentation of a Rigid Wedge‐Shaped Die

Abstract: Fur das im Titel genannte Problem erhalt man eine im Rahmen der klassischen Elastizitatstheorie exakte Losung, wenn man annimmt, das der Halbraum homogen und isotrop ist und der Keil mit konstanter Geschwindigkeit eindringt. Fur eine gegebene Form des Keiles und des elastischen Mediums bestimmt die Eindringgeschwindigkeit eindeutig die Geschwindigkeit der vom Rande weg sich ausdehnenden Kontaktzone. Diese Geschwindigkeit, verglichen mit den Geschwindigkeiten der Dilatorischen, Rotatorischen und der Oberflachenwellen im elastischen Medium legt fest, welcher der vier moglichen charakteristischen Ubergangszustande der Spannungen sich entwickelt. Jeder der vier Kontaktgeschwindigkeitsbereiche wird mit der Methode der selbst-ahnlichen Potentiale behandelt. A solution which is exact within the framework of the classical theory of elasticity is obtained for the title problem assuming that the half space is homogeneous and isotropic, and that the die indents at a constant rate. If the shape of the die and the elastic medium are specified, the rate of indentation uniquely determines the outward speed of the edge of the expanding contact zone. It is the speed at which the contact zone expands, relative to the speeds of the dilational, rotational and surface waves in the elastic medium which determines which of four possible characteristic transient stress states will be developed. Each of the four ranges of contact speed is treated by the method of self-similar potentials.

Experiences with Orthogonal Polynomials and „Best”︁ Numerical Integration Formulas on a Triangle; with Particular Reference to Finite Element Approximations

Abstract: Fur einen Dreiecksbereich wird eine Folge homogener orthogonaler Polynome in naturlichen Dreieckskoordinaten konstruiert. Sie werden insbesondere auf gemeinsame Nullstellen und Punkte, in denen ihre Funktionswerte in Abhangigkeit von der Ordnung minimal werden, untersucht. Es wird gezeigt, das es eine Beziehung zwischen den Grundpunkten der „besten” numerischen Quadraturformel und den gemeinsamen Nullstellen der orthogonalen Polynome gibt. Auserdem werden einige neue symmetrische Formeln fur die numerische Quadratur uber einem Dreieck angegeben und wichtige Anwendungen der orthogonalen Polynome in der Approximationstheorie aufgezeigt. Kurz erortert wird noch das Wesen der Approximation durch finite Elemente. Beim Studium der sich bei dieser-Methode ergebenden Fehlerverteilung spielen orthogonale Polynome eine wichtige Rolle. Es werden Punkte vorherbestimmt, in denen der Fehler in den dominierenden Ableitungen des Energiefunktionals minimal ist. A sequence of homogeneous, orthogonal polynomials expressed in natural coordinates are constructed on a triangle. The orthogonal polynomials are studied with particular reference to common zeros and points where the function values of the orthogonal polynomials of a given order are minimal. It is shown that there is a relation between sampling points of best numerical integration formulas and common zeros of orthogonal polynomials. Some new symmetrical numerical integration formulas for the triangle are also presented. Orthogonal polynomials are also shown to have important applications in approximation theory. The nature of finite element approximations is briefly discussed. In the study of error distribution for this method, orthogonal polynomials have an important application. Points where the error in the dominating derivatives of the energy functional is minimal are predicted.

A Visual Study of Turbulent Shear Flow

Abstract: The outer region of a turbulent boundary layer along a flat plate was photographed and analysed; in addition, limited observations of the wall area were also made. The technique involved suspending very small solid particles in water and photographing their motion with a high-speed camera moving with the flow.The single most important event observed in the outer region was fluid motion which in the convected view of the travelling camera appeared as a transverse vortex. This was a large-scale motion transported downstream almost parallel to the wall with an average velocity slightly smaller than the local mean. It appeared to be the result of an instability interaction between accelerated and decelerated fluid, and it is believed to be closely associated with the wall-region ejections. The transverse vortex was part of a deterministic sequence of events; although these events occurred randomly in space and time. The first of these events was a decelerated flow exhibiting velocities considerably smaller than the local mean. It was immediately followed by an accelerated flow. Both these events extended from near the wall to the far outer region. Their interaction resulted in the formation of one or more transverse vortices. While the transverse vortex was transported downstream, small-scale fluid elements, originating in the wall area of the decelerated flow, were ejected outwards (ejection event). After travelling some distance outwards the ejected elements interacted with the oncoming accelerated fluid in the wall region and were subsequently swept downstream (sweep event). The sequence of events closed with two large-scale motions.Estimated positive and negative contributions to the instantaneous Reynolds stress during the events were many times higher than the local mean values.

Torsion of Anisotropic Micropolar Elastic Cylinders

Abstract: Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich mit dem Torsionsproblem homogener und orthotroper Balken in Rahmen der linearen Theorie mikropolarer Elastizitat. Das Problem wird mittels dreier Torsionsfunktionen gelost. Es wird ein Existenzsatz bewiesen. The present paper is concerned with the torsion problem of homogeneous and orthotropic beams in the linear theory of micropolar elasticity. The problem is solved in terms of three torsion functions. An existence theorem is derived.

Eine Theorie der Gleichungssysteme mit Intervall‐Koeffizienten

Abstract: In vorliegender Arbeit werden ausfuhrlich die linearen Gleichungssysteme mit Intervall-Koeffizienten diskutiert, wobei noch auf die 3-wertige Interpretierbarkeit und die Interpretierbarkeit als Fehlerrechnung eingegangen wird. Uber Rangbetrachtungen kommt man zu Aussagen uber die Losbarkeit bzw. die Struktur der Losung. Es werden endliche Verfahren zu Konstruktion der Losung angegeben. In the present paper systems of linear equations with intervall-coefficients are discussed and a 3-valued interpretation and an interpretation as error-calculus are given. By rang-considerations one receives statements about the solubility and the structure of the solution. Finite methods to construct the solution are given.

Newton- und Hermite-Interpolation mit Čebyšev-Systemen

Abstract: Zur Losung von Interpolationsproblemen sind dividierte Differenzen besonders geeignete Hilfsmittel. Bei Polynominterpolation im Sinne von Newton oder Hermite lassen sie sich rekursiv berechnen. Damit konnen die entsprechenden Interpolationspolynome numerisch einfach (ohne Losung linearer Gleichungssysteme) bestimmt werden. In der vorliegenden Note wird gezeigt, das gleiches auch fur verallgemeinerte dividierte Differenzen und die Interpolation mit Funktionen geeigneter Cebysev-Systeme gilt. Divided differences are important in connection with interpolation problems. For interpolation by polynomials they may be defined by recurrence formulas. This allows a simple computation of the interpolation polynomials (especially it is not necessary to solve any system of linear equations). It can be shown that the same holds for generalized divided differences and interpolation by functions of appropriate Cebysev-systems.

Exact Asymptotic Solution for the Initial Post-Buckling of a Strut on Linear Elastic Foundation

Abstract: Im Rahmen einer allgemeinen Verzweigungstheorie wird eine geschlossene asymptotische Losung fur den uberkritischen Bereich eines linear-elastisch gebetteten Druckstabes gebildet. Es wird deutlich gezeigt, das ein schalenahnliches instabiles uberkritisches Verhalten moglich ist. Fur eine Winkler-Bettung erweist sich das Ergebnis implizit als Spezialfall der Pasternak-Bettung. Daruber hinaus wird fur einen sehr langen Druckstab die Moglichkeit einer gedampften Schwingung als Eigenschwingung untersucht. Within the frame work of the general branching theory, a closed from asymptotic solution is performed for the post-buckling path of a strut on a linear foundation. The wide possibility of a shell-like unstable post-buckling behaviour, in the sense of Koiter, is clearly demonstrated. The result for a Winkler foundation is given implicitly as a special case of the assumed Pasternak foundation. The possibility of an attenuated oscillation as a buckling mode is also studied for a very long strut.

Über die Realisierung und Konvergenz von Mehrschrittverfahren zur iterativen Lösung nichtlinearer Gleichungen

Abstract: Es wird zunachst der Begriff einer konsistenten m-Schritt-Approximation fur die Ableitung einer n-dimensionalen Vektorfunktion F definiert. Indem die beim Newton-Verfahren benutzten Ableitungen durch solche Approximationen ersetzt werden, entstehen ableitungsfreie Verfahren zur Nullstellenbestimmung von F, die bei geeigneter Wahl von gewissen Diskretisierungsparametern lokal sogar mit einer Ordnung groser als eins konvergieren. Auf der Grundlage einer Idee von Danilin und Psenicnyi werden konkrete Realisierungen von Mehrschrittapproximationen angegeben, die sich in aufeinanderfolgenden Iterationsschritten nur um eine Matrix vom festen Rang (1 ≦ l ≦ n) unterscheiden. Als Sonderfall ordnet sich ein als „stabilisiertes Sekantenverfahren” bezeichnetes Verfahren vom Rang-Eins-Typ ein, das sich in einigen numerischen Beispielen dem Verfahren von Broyden deutlich uberlegen zeigt. Abschliesend wird ein spezielles gedampftes m-Schritt-Verfahren angegeben und dessen globale Konvergenz bewiesen. At the beginning, the concept of a consistent m-step-approximation to the derivative of a n-dimensional vector function F is developed. By substituting the Jacobian matrices used in Newtons method by such approximations, derivative-free methods for finding a root of F originate. If the discretization step size is properly chosen the methods converge with an order greater than 1. Following an idea by Danilin and Psenicnyi some realization of multistepapproximations are given which in consecutive steps differ only by a matrix of fixed rank l (1 ≦ l ≦ n). As a special case, here a method of rank-1-typ is contained which is a modification of the second method. Some numerical examples show that this “stabilized secant method” appears to be superior to the well known Broyden method. Finally, a damped variant of m-step-methods is given and its global convergence is proved.

Optimale Schalengrundgleichungen und deren Leistungsfähigkeit

Abstract: Die vorliegende Arbeit gewinnt die Grundgleichungen der Theorie elastischer Schalen, unter Einschlus von Schubverformungen, als bestmogliche lineare Approximation eines dreidimensionalen Kontinuums. Ausgehend von einer Integraltransformation des Energiesatzes werden zunachst konsistente Grundgleichungen fur ein Schalenkontinuum abgeleitet, die definitionsgemas auf dunne Schalen spezialisiert werden. Sodann wird gezeigt, das alle auf einem solchen Wege gewonnenen Elastizitatsgesetze einer ersten Approximation Unscharfen aufweisen mussen. Hohere Approximationen sind ableitbar, doch gleichzeitig mit zusatzlichen Unscharfequellen behaftet. In this paper the basic equations of elastic shell theory including shear distorsions are obtained as a best linear approximation of a three-dimensional continuum. Starting from an integral transformation of the balance of energy consistent equations for a shell-continuum are derived and then specialized to thin shells. Furthermore it can be shown that all kinds of constitutive equations of a first-order approximation are supplied with certain inaccuracies. Higher order theories can be derived which include additional sources of contradictions.

Einzelschrittverfahren zur Lösung konvexer und dual‐konvexer Minimierungsprobleme

Abstract: Es wird ein allgemeines Einzelschrittverfahren zur Losung konvexer Minimalprobleme untersucht. A general single-step method for solving convex minimization problems is discussed.

On the Propagation Velocity of a Detonation-Shock Combined Wave

Abstract: A quasi-one-dimensional analysis and a generalized Chapman-Jouguet condition are developed for a gaseous free detonation in an inert environment. Two characteristic features derived from the results are that there exists a lower limit on the heat of combustion, the charge diameter, and the molecular weight of the ambient gas and that there are two propagation velocities for a parameter combination above a certain critical value. Therefore the detonation failure of a free gas column is a hydrodynamic rather than a chemical phenomenon.

Automatische Schrittweitensteuerung bei global konvergenten Einbettungsmethoden

Abstract: Bekannte Einbettungsalgorithmen zur Losung nichtlinearer Gleichungen haben den Nachteil, das die Unterteilung des Parameterintervalls entweder heuristisch vorgenommen werden mus oder die Schatzung globaler Konstanten erfordert. Es wird ein Verfahren angegeben, das mit Minimierungsmethoden die Schrittweiten der Parameterfolge und der Folge der iterierten Argumente selbstandig steuert. The wellknown imbedding processes for solving nonlinear equations have the disadvantage that suitable parameter interval partition must be carried out by heuristics or needs the estimation of global constants. A procedure is given that controls automatically the steplengths of both the parameter variation and the sequence of the iterated arguments by minimization methods.

On the Stability of Thermally Stratified Plane Poiseuille Flow

Abstract: Die Stabilitat einer thermisch geschichteten ebenen Poiseuille-Stromung wird in bezug auf kleine Storungen betrachtet. Fur verschiedene Werte der Prandtl-Zahl wird die Wechselwirkung zwischen der ublichen Tollmien-Schlichtingschen Instabilitatsform und der thermischen Stabilitats- (bzw. Instabilitats-) form untersucht. Das Problem wird als Eigenwertproblem gelost. An den Ergebnissen erscheint als Wichtigstes, das die kritische Reynolds-Zahl als nahezu linear abhangig von der Prandtl-Zahl gefunden wird und immer eine kritische Reynolds-Zahl existiert, gleichgultig, in welchem Mase die Flussigkeit durch ein lineares Temperaturprofil stabilisiert ist. The stability of thermally stratified plane Poiseuille flow is considered with respect to small disturbances. The interaction between the usual Tollmien Schlichting type of instability and the thermal type of (in) stability is analysed for different values of the Prandtl number. The problem is solved as an eigenvalue problem. The most important features from the results are that the critical Rayleigh number is found to be nearly linearly dependent of the Prandtl number, and that a critical Reynolds number always exists, no matter how much the fluid is stabilized by a linear temperature profile.