We prove conjecture due to Erickson-Semenoff-Zarembo and Drukker-Gross which relates supersymmetric circular Wilson loop operators in the \({\mathcal N=4}\) supersymmetric Yang-Mills theory with a Gaussian matrix model. We also compute the partition function and give a new matrix model formula for the expectation value of a supersymmetric circular Wilson loop operator for the pure \({\mathcal N=2}\) and the \({\mathcal N=2^*}\) supersymmetric Yang-Mills theory on a four-sphere. A four-dimensional \({\mathcal N=2}\) superconformal gauge theory is treated similarly.

Localization of Gauge Theory on a Four-Sphere and Supersymmetric Wilson Loops

Heat kernel expansion: user's manual

Network embedding assigns nodes in a network to low-dimensional representations and effectively preserves the network structure. Recently, a significant amount of progresses have been made toward this emerging network analysis paradigm. In this survey, we focus on categorizing and then reviewing the current development on network embedding methods, and point out its future research directions. We first summarize the motivation of network embedding. We discuss the classical graph embedding algorithms and their relationship with network embedding. Afterwards and primarily, we provide a comprehensive overview of a large number of network embedding methods in a systematic manner, covering the structure- and property-preserving network embedding methods, the network embedding methods with side information, and the advanced information preserving network embedding methods. Moreover, several evaluation approaches for network embedding and some useful online resources, including the network data sets and softwares, are reviewed, too. Finally, we discuss the framework of exploiting these network embedding methods to build an effective system and point out some potential future directions.

A Survey on Network Embedding

(1.1) This paper concerns three aspects of the action of a compact group K on a space X . The ®rst is concrete and the others are rather abstract. (1) Equivariantly formal spaces. These have the property that their cohomology may be computed from the structure of the zero and one dimensional orbits of the action of a maximal torus in K. (2) Koszul duality. This enables one to translate facts about equivariant cohomology into facts about its ordinary cohomology, and back. (3) Equivariant derived category. Many of the results in this paper apply not only to equivariant cohomology, but also to equivariant intersection cohomology. The equivariant derived category provides a framework in both of these may be considered simultaneously, as examples of ``equivariant sheaves''. We treat singular spaces on an equal footing with nonsingular ones. Along the way, we give a description of equivariant homology and equivariant intersection homology in terms of equivariant geometric cycles. Most of the themes in this paper have been considered by other authors in some context. In Sect. 1.7 we sketch the precursors that we know about. For most of the constructions in this paper, we consider an action of a compact connected Lie group K on a space X , however for the purposes of the introduction we will take K  S1 to be a torus. Invent. math. 131, 25±83 (1998)

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Equivariant cohomology, Koszul duality, and the localization theorem

Noncommutative Spaces and Algebras of Functions.- Projective Systems of Noncommutative Lattices.- Modules as Bundles.- A Few Elements of K-Theory.- The Spectral Calculus.- Noncommutative Differential Forms.- Connections on Modules.- Field Theories on Modules.- Gravity Models.- Quantum Mechanical Models on Noncommutative Lattices.

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An Introduction to Noncommutative Spaces and Their Geometries

1 Background on Differential Geometry.- 1.1 Fibre Bundles and Connections.- 1.2 Riemannian Manifolds.- 1.3 Superspaces.- 1.4 Superconnections.- 1.5 Characteristic Classes.- 1.6 The Euler and Thorn Classes.- 2 Asymptotic Expansion of the Heat Kernel.- 2.1 Differential Operators.- 2.2 The Heat Kernel on Euclidean Space.- 2.3 Heat Kernels.- 2.4 Construction of the Heat Kernel.- 2.5 The Formal Solution.- 2.6 The Trace of the Heat Kernel.- 2.7 Heat Kernels Depending on a Parameter.- 3 Clifford Modules and Dirac Operators.- 3.1 The Clifford Algebra.- 3.2 Spinors.- 3.3 Dirac Operators.- 3.4 Index of Dirac Operators.- 3.5 The Lichnerowicz Formula.- 3.6 Some Examples of Clifford Modules.- 4 Index Density of Dirac Operators.- 4.1 The Local Index Theorem.- 4.2 Mehler's Formula.- 4.3 Calculation of the Index Density.- 5 The Exponential Map and the Index Density.- 5.1 Jacobian of the Exponential Map on Principal Bundles.- 5.2 The Heat Kernel of a Principal Bundle.- 5.3 Calculus with Grassmann and Clifford Variables.- 5.4 The Index of Dirac Operators.- 6 The Equivariant Index Theorem.- 6.1 The Equivariant Index of Dirac Operators.- 6.2 The Atiyah-Bott Fixed Point Formula.- 6.3 Asymptotic Expansion of the Equivariant Heat Kernel.- 6.4 The Local Equivariant Index Theorem.- 6.5 Geodesic Distance on a Principal Bundle.- 6.6 The heat kernel of an equivariant vector bundle.- 6.7 Proof of Proposition 6.13.- 7 Equivariant Differential Forms.- 7.1 Equivariant Characteristic Classes.- 7.2 The Localization Formula.- 7.3 Bott's Formulas for Characteristic Numbers.- 7.4 Exact Stationary Phase Approximation.- 7.5 The Fourier Transform of Coadjoint Orbits.- 7.6 Equivariant Cohomology and Families.- 7.7 The Bott Class.- 8 The Kirillov Formula for the Equivariant Index.- 8.1 The Kirillov Formula.- 8.2 The Weyl and Kirillov Character Formulas.- 8.3 The Heat Kernel Proof of the Kirillov Formula.- 9 The Index Bundle.- 9.1 The Index Bundle in Finite Dimensions.- 9.2 The Index Bundle of a Family of Dirac Operators.- 9.3 The Chern Character of the Index Bundle.- 9.4 The Equivariant Index and the Index Bundle.- 9.5 The Case of Varying Dimension.- 9.6 The Zeta-Function of a Laplacian.- 9.7 The Determinant Line Bundle.- 10 The Family Index Theorem.- 10.1 Riemannian Fibre Bundles.- 10.2 Clifford Modules on Fibre Bundles.- 10.3 The Bismut Superconnection.- 10.4 The Family Index Density.- 10.5 The Transgression Formula.- 10.6 The Curvature of the Determinant Line Bundle.- 10.7 The Kirillov Formula and Bismut's Index Theorem.- References.- List of Notation.

Heat Kernels and Dirac Operators

Introduction, Soit M une variété différentiable, munie d'une action d'un groupe de Lie T. Soit t l'algèbre de Lie de T. Dans [2] nous avons introduit des espaces de cohomologie équivariante H(X), pour X E t, pour lesquels on a une propriété de localisation : supposons M et T compacts ; si μ E H(X) alors fM μ ne dépend que de la restriction de μ à la variété des points fixes du groupe à un paramètre exp tX . Lorsque ces points fixes sont non dégénérés, (donc en nombre fini), nous obtenons une formule explicite (théorème 1-6) par une méthode inspirée de R. Bott [3] : en dehors des points fixes, la forme μ est une forme exacte dv, et on calcule fM μ par la formule de Stokes. (Le cas où la variété des points fixes est de dimension > 0 sera traité dans un autre article) . Lorsque M est une variété symplectique, et que l'action de T est hamiltonienne, un élément remarquable de H(X) est fourni par la forme (non homogéne) JX (o/2i ir), où JX est le moment de X et Q la 2-forme symplectique . Dans [2] nous retrouvions par cette méthode la formule de DuistermaatHeckman [4] pour IM e ~X (a n/ n ! ). Lorsque M est une orbite de la représentation coadjointe du groupe de Lie T, munie de sa structure symplectique canonique, on a J(m) _ <m, X > pour m E M C t* . Si T est simplement connexe et si M est entière, il y a sur M un f ibré en droites canonique, muni d'une connexion canonique, et la forme o coïncide avec la courbure de cette connexion [6] . Revenons au cas d'une variété M quelconque, munie d'une action à gauche d'un groupe de Lie T. Soit P un f ibré principal de base M, de fibre un groupe de Lie G. Supposons que T opère sur P en préservant une connexion w . Notons l la courbure de w et X * le champ de vecteurs sur P associé à X . Nous définissons une application \"moment\" J : P -> t* ® g par JX(p) = w(X*)(p), pour X dans t et p dans P. Nous considerons la forme (non homogène) sur P, à valeurs dans d'algebre de Lie de G, JX (S2/2ir). A l'aide de cette forme, nous construisons des éléments de H(X) en suivant la méthode de Chern-Weil pour les classes caractéristiques ordinaires (ceci fait l'objet du chapitre 2) . Ces classes caractéristiques équivariantes permettent de transformer des formules de points fixes en intégrales sur M de formes dans H(X). Nous appliquons ceci à une généralisation du théorème 2 de [3], et à la formule de Riemann-Roch .

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Zeros d’un champ de vecteurs et classes caracteristiques equivariantes

Heat Kernels and Dirac Operators: Grundlehren 298

We give a local Euler-Maclaurin formula for rational convex polytopes in a rational euclidean space . For every affine rational polyhedral cone C in a rational euclidean space W, we construct a differential operator of infinite order D(C) on W with constant rational coefficients, which is unchanged when C is translated by an integral vector. Then for every convex rational polytope P in a rational euclidean space V and every polynomial function f (x) on V, the sum of the values of f(x) at the integral points of P is equal to the sum, for all faces F of P, of the integral over F of the function D(N(F)).f , where we denote by N(F) the normal cone to P along F.

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Local Euler-Maclaurin formula for polytopes

Dans cet article, nous montrons que l’indice cohomologique (construit dans [11]) d’un symbole transversalement elliptique satisfait certaines proprietes fonctorielles. Nous calculons d’autre part l’indice cohomologique pour certains symboles transversalement elliptiques particuliers. En reprenant les arguments donnes par Atiyah dans [1], on en deduit que l’indice cohomologique du symbole d’un operateur transversalement elliptique P est egal a l’indice analytique de P.

Nicole Berline

Papers

Heat Kernels and Dirac Operators

Zeros d’un champ de vecteurs et classes caracteristiques equivariantes

Heat Kernels and Dirac Operators: Grundlehren 298

Local Euler-Maclaurin formula for polytopes

L'indice equivariant des operateurs transversalement elliptiques