Showing papers in "Zamm-zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik in 1981"

Coulomb Friction in Two-Dimensional Rigid Body Systems

Abstract: Die Losungen des Coulombschen Reibungsproblems fur starre Korper in zwei Dimensionen werden analysiert. Das bestimmende System von gewohnlichen Differentialgleichungen und Ungleichungen wird aufgestellt. Beispiele werden vorgelegt, die einige ungewunschte Eigenschaften dieses speziellen Reibungsgesetzes nachweisen. Hinreichende Bedingungen fur Existenz und Eindeutigkeit werden mit Hilfe der Theorie der linearen Komplementaritat hergeleitet. The solutions to the Coulomb friction problem for rigid bodies in two dimensions are analyzed. The governing system of ordinary differential equations and inequalities is derived. Examples are presented demonstrating undesirable properties of this particular law of friction. Sufficient conditions for existence and uniqueness are given using the theory of linear complementarity.

Micropolar Flow Due to a Rotating Disc with Suction and Injection

Abstract: The steady, laminar, and incompressible flow of a micropolar fluid due to a rotating disc with uniform suction and injection is considered. The equations of motion are reduced to dimensionless forms which include six dimensionless parameters, and integrated numerically by Gauss-Seidel iterative procedure and Simpson's rule. Some of the results are presented in the tables and diagrams, for different values of the suction and injection parameters, and compared with the known results for a Newtonian fluid. Es wird die inkompressible laminare stationare Stromung einer mikropolaren Flussigkeit betrachtet, welche von einer rotierenden Scheibe erzeugt wird. Dabei wird konstantes Einblasen oder Absaugen zugelassen. Die Bewegungsgleichungen werden dimensionslos gemacht, sie enthalten sechs Ahnlichkeitskennzahlen. Mit Hilfe einer Gaus-Seidel-Iteration werden die Gleichungen numerisch gelost, es wird die Simpsonsche Regel verwendet. Einige Ergebnisse bei verschiedenen Werten des Absauge- bzw. Anblaseparameters werden in Tabellen und Diagrammen dargestellt und mit bekannten Ergebnissen fur Newtonsche Flussigkeiten verglichen.

Eine Runge-Kutta-Nyström-Formel 9-ter Ordnung mit Schrittweitenkontrolle für Differentialgleichungenx =f(t, x)

Abstract: Eine Runge-Kutta-Nystrom-Formel 9-ter Ordnung fur x = f(t, x) mit Schrittweitenkontrolle in × wird aufgestellt. Die vollstandigen Bedingungsgleichungen fur solch eine Formel werden angegeben. Die Reduktion der Bedingungsgleichungen wird erortert. Die Berechnung der Koeffizienten der Formel wird erlautert. Die Fehlerterms der Formel werden diskutiert. Die Koeffizienten einer Formel mit kleinen Fehlerterms werden in Bruchform angegeben. Die Anwendung der Formel auf Quadraturprobleme x = f(tx) wird diskutiert. In zwei numerischen Beispielen wird die Formel bezuglich Genauigkeit und Zeitbedarf mit bekannten Formeln 8-ter und 10-ter Ordnung verglichen. A 9-th order Runge-Kutta-Nystrom formula for x = f(t, x) with stepsize control in × is presented. The complete equations of condition for such a formula are listed. The reduction of these equations is discussed. The computation of the coefficients for such a formula is explained. The error terms of the formula are discussed. The coefficients of a formula with small error terms are presented in fraction form. The application of the formula to quadrature problems x = f(tx) is explained. In two numerical examples a comparison with respect to accuracy and time consumption is made between the 9-th order formula and known formulas of the 8-th and 10-th orders.

On a Direct Method of Integral Equations for Solving the Biharmonic Dirichlet Problem

Abstract: In recent years an alternative method of integral equations has been used for numerical solution of the Dirichlet problem for the Laplace equation or the biharmonic equation in a bounded plane domain. This method is based simply on Green's third identity, and its main advantage is that is leads directly from the prescribed Dirichlet boundary data to the (physically relevant) Neumann data. It has been conjectured recently by S. Christiansen and P. Hougaard that, for certain values of the outer mapping radius of the domain, the integral equation(s) in question has (have) other solutions than that which stems from the solution to the Dirichlet problem. They proved this for a circular domain and gave numerical indications in another case. In the present paper we prove this and related conjectures in the case of a general domain with smooth boundary. We do not discuss the numerical aspects of the method in question. Untersucht wird eine Variante der Integralgleichungsmethode zur numerischen Losung des Dirichlet-Problems der Laplace-Gleichung oder der biharmonischen Gleichung in einem beschrankten ebenen Gebiet. Diese Methode beruht auf der dritten Greenschen Identitat; ihr Hauptvorteil liegt darin, das sie von den vorgegebenen Dirichletschen Randwerten direkt zu den physikalisch interessanten Neumannschen Randwerten fuhrt. Unlangst wurde von S. Christiansen und P. Hougaard vermutet, das die betrachtete (n) Integralgleichung(en) fur gewisse Werte des auseren Abbildungsradius des Gebietes noch andere Losungen als die des ursprunglichen Dirichlet- Problems hat (haben). Sie bewiesen das auch fur das Kreisgebiet und fanden in anderen Fallen numerische Anzeichen fur die Richtigkeit der Vermutung. In diesem Artikel werden wir die genannte und damit verwandte Vermutungen fur ein allgemeines Gebiet mit glattem Rand beweisen. Numerische Fragen der betrachteten Methode werden nicht diskutiert.

Primitive Variable Finite Element Solutions of Free Convection Flows in Porous Media

Abstract: Zur Simulation zweidimensionaler, stationarer und instationarer, freier Konvektionsstromungen in porosen Medien, hervorgerufen durch Konzentrationsgradienten, wird eine Galerkin-Finite-Element-Methode angewendet. Fur das numerische Verfahren dienen Druck, Geschwindigkeiten und Konzentration als abhangige Variable. Eine Beschreibung der iterativen Naherungsmethode wird gegeben. Anhand der Berechnung verschiedener Testbeispiele zeigt sich die Gultigkeit und Genauigkeit des verwendeten Finite-Element-Modells.

On the Dilatation Theory of Elasticity

Abstract: In this paper a linear theory for a solid, for which the displacement and dilatation (volume change) fields are independent, is investigated in details. The theory is applied to describe the mechanical behaviour of an elastic solid containing a large number of microvoids and the material constants, entering the theory, are calculated for this case. In dieser Arbeit wird die lineare Theorie des Festkorpers, fur welche das Verschiebungsfeld und die Volumendilatation unabhangig sind, in Einzelheiten erforscht. Die Theorie ist fur eine Beschreibung des Elastizitatskorpers, der eine grose Zahl Mikroporen enthalt, angewandt. Fur diesen Fall wurden die in der Theorie vorkommenden Materialkonstanten berechnet.

On the Fibre Pull‐out Problem

Abstract: In this paper, the force required to pull out a long, slender fibre embedded in a semi-infinite elastic matrix by a distance W is derived. Assuming that the fibre is slender and that there is no slip at the fibre-matrix interface, it is shown that the nature of the inclusion depends on the parameter , where E, E* are the Young's moduli of the matrix and the fibre respectively. R is a typical radius of the fibre and l its length. When this parameter is large, the fibre is effectively rigid and the load transfer occurs over the entire length of the fibre. If this parameter is very much less than unity, then the inclusion is elastic in nature and the load transfer occurs in a finite neighbourhood of the embedded end of the fibre which is near the free surface of the semi-infinite matrix. In dieser Arbeit wird die erforderliche Kraft bestimmt, die notwendig ist, um eine lange, dunne Fiber, die in einem halbunendlichen elastischen Bindemittel uber der Lange W eingebettet ist, auszureisen. Unter der Annahme, das die Fiber dunn ist und das kein Schlupf auf der Fiber-Bindemittel-Grenzschicht auftritt, wird gezeigt, das die typische Natur der Einschliesung von dem Parameter abhangt, wo E und E* die Elastizitatsmodule des Bindemittels und der Fiber bezeichnen. R ist ein typischer Radius der Fiber und l ihre Lange. Ist dieser Parameter gros, so verhalt sich die Fiber effektiv als starr, und die Ubertragungskraft verteilt sich uber die gesamte Lange der Fiber. Wenn dieser Parameter sehr viel kleiner als 1 ist, verhalt sich die Einschliesung elastisch, und die Ubertragungskraft erscheint in endlicher Nachbarschaft vom eingebetteten Ende der Fiber, wobei diese nahe an der freien Oberflache des halbunendlichen Bindemittels liegt.

Interaction of Elastic Waves with a Griffith Crack Situated in an Infinitely Long Strip

Abstract: The problem is the determination of the distribution of stress in the neighbourhood of a Griffith crack situated in an infinitely long elastic strip. The crack is opened by longitudinal elastic waves, incident normally on the crack. Fourier transforms are used to reduce the problem to a Fredholm integral equation of the second kind. Numerical solution of this equation is used for calculating the values of dynamical stress intensity factor at the edge of the crack. The results are illustrated graphically. Das Problem ist die Bestimmung der Spannungsverteilung in der Umgebung eines Griffith-Risses, der sich in einem unendlich langen elastischen Streifen befindet. Der Ris wird durch longitudinale elastische Wellen geoffnet, die normal zum Ris einfallen. Die Anwendung von Fourier-Transformationen reduziert das Problem auf eine Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art. Die numerische Losung dieser Gleichung wird zur Berechnung der Werte des Spannungskonzentrationsfaktors am Rand des Risses benutzt. Die Ergebnisse werden grafisch illustriert.

On the economization of stabilized Runge-Kutta methods with applications to parabolic initial value problems.

Abstract: A modification of Runge - Kutta methods is analysed which leads for important classes of parabolic differential equations to a considerable reduction of the computational effort. The main characteristic of the modified methods is the replacement of the right hand side function of the differential equation by a “cheaper” function with roughly the same Jacobian matrix. Numerical experiments are reported and the results are compared with the results obtained by the unmodified Runge-Kutta method and by an ADI method. Eine Modifikation von Runge - Kutta - Methoden wird analysiert, die Fur wichtige Klassen parabolischer Differentialgleichungen zu einer betrachtlichen Reduktion des Rechenaufwandes fuhrt. Hauptcharakteristik der modifizierten Methoden ist die Ersetzung der Funktion auf der rechten Seite der Differentialgleichung durch eine „billigere” Funktion mit grob gesprochen derselben Jacobi-Matrix. Uber numerische Experimente wird berichtet, und die Ergebnisse werden mit denen verglichen, die man durch die nichtmodifizierte Runge-Kutta-Methode und durch eine ADI-Methode erhalt.

A Mixture Theory for Heat Conduction in Laminated Composites

Abstract: An asymptotic method of multiple scales is used to construct a continuum theory with microstructure for heat conduction of a periodically laminated medium. The resulting theory is in the form a homogeneous binary mixture theory with a common microtemperature gradient oriented normal to the interfaces. The model contains three conservation equations which include averaged temperatures of two constituents and microtemperature gradient. Finally, the mixture equations are applied for heat conduction in obliquely laminated half space which is suddenly heated on its free surface, and the effect of lay-up angle is clarified. Die asymptotische Methode der Mehrfachmasstabe wird benutzt, um eine Kontinuumstheorie mit Mikrostruktur fur die Warmeleitung eines periodisch laminierten Mediums aufzustellen. Die sich hieraus ergebende Theorie hat die Form einer homogenen binaren Mischungstheorie mit einem gemeinsamen Mikrotemperaturgradienten, der normal zur Grenzflache orientiert ist. Das Modell enthalt drei Erhaltungsgleichungen, die die mittlere Temperatur zweier Komponenten und den Mikrotemperaturgradienten enthalten. Die Mischungsgleichungen werden auch auf die Warmeleitung in einem schief laminierten Halbraum, dessen freie Oberflache plotzlich erwarmt wird, angewendet. Der Einflus des Laminatwinkels wird geklart.

Thermoelastic Problem for a Griffith Crack in a Plate whose Shear Modulus is an Exponential Function of the Temperature

Abstract: In this paper, we examine an analysis of thermal stresses taking into account the temperature-dependent properties, in which the variation of the shear modulus with temperature assumed to be an exponential function Using the perturbation method, general equations for the displacements are found The equations can be solved by using four displacement functions Following this method, a solution is derived for calculating the stress intensity factor for a Griffith crack in a temperature-sensitive plate under a linear temperature distribution, where we assume that the temperature field is not disturbed by the crack (Under these conditions, if a plate is temperature-insensitive, the stress intensity factor for the crack is zero) In this case, whether the stress intensity factor is zero or not depends only on the temperature variation of the coefficient of thermal expansion A numerical example is given for a plate made of steel Results show the effect of temperature-dependent properties clearly In dieser Arbeit untersuchen wir Warmespannungen, indem wir temperaturabhangige Eigenschaften berucksichtigen, wobei die Abhangigkeit des Schubmoduls von der Temperatur als eine Exponentialfunktion angenommen wird Mittels der Storungsmethode werden allgemeine Gleichungen Fur die Verschiebungen gefunden Unter Benutzung von vier Verschiebungsfunktionen konnen die Gleichungen gelost werden Entsprechend diesem Vorgehen wird eine Losung zur Berechnung des Spannungsintensitatsfaktors Fur einen Griffith-Ris in einer temperaturempfindlichen Plate bei linearer Temperaturverteilung hergeleitet, wobei angenommen wird, das das Temperaturfeld durch den Ris nicht beeinflust wird Ein numerisches Beispiel wird fur eine Stahlplatte ausgefuhrt Die Ergebnisse zeigen klar den durch die temperaturabhangigen Eigenschaften ausgelosten Effekt

On the Torsion of Elastic Cylindrical Bars

Abstract: Certain trigonometric formulae and combinatorial identities are used to derive exact and closed expressions for the stress functions, torsional rigidities and peripheral shearing stresses of certain isotropic cylinders under torsion. The cross sections are bounded by the closed curves where n is a positive integer (n > 1). Complex variable methods are applied to obtain the complex torsion functions, torsional rigidities and shearing stresses when the sections are bounded by the contours , where n is a positive number (0 < n ≦ 2). Numerical results are presented in the form of tables and graphs illustrating the variation of torsional rigidities and the distribution of tangential shearing stresses along the edges of the cross sections. The cardioid and lemniscate of Bernoulli are included as special cases. Zur Herleitung von exakten und geschlossenen Formeln fur die Spannungsfunktionen, Torsionssteifigkeiten und peripheren Schubspannungen von bestimmten isotropen durch Torsion beanspruchten Zylindern werden trigonometrische Formeln und Kombinationsidentitaten benutzt. Die Querschnitte werden durch die geschlossenen Kurven begrenzt, wobei n eine positive ganze Zahl (n > 1) ist. Wenn die Querschnitte durch Kurven begrenzt werden (n ist eine positive Zahl 0 < n ≦ 2), ist die Methode der komplexen Veranderlichen angewendet worden, um die komplexen Torsionsfunktionen, Torsionssteifigkeiten und Schubspannungen zu erhalten. Numerische Ergebnisse werden in Form von Tabellen und Graphiken dargestellt, um die Veranderlichkeit der Torsionssteifigkeiten und die Verteilung der tangentialen Schubspannungen entlang den Querschnittsrandern zu illustrieren. Die Bernoullische Kardioide und Lemniskate sind als Spezialfalle enthalten.

Behaviour of finite amplitude waves in a radiating gas

Abstract: A differential approximation for the equations of radiative transfer in a grey gas of arbitrary opacity including the effects of radiative flux, pressure and energy density is applied in a study of the effects of thermal radiation on the growth and decay properties of finite amplitude waves of arbitrary shape propagating through a thermally inviscid gas. Eine Differentialapproximation fur die Gleichungen des Strahlungswarmetransportes in einem grauen Gas von beliebiger Opazitat unter Berucksichtigung des Strahlungsflusses, Druckes und der Energiedichte wird angewandt auf die Untersuchung des Einflusses der Warmestrahlung auf Wachstums- und Zerfallseigenschaften von Wellen endlicher Amplitude und beliebiger Form, die sich in einem thermisch idealen Gas ausbreiten.

Angenäherte Fehlerermittlung Für Modalsynthese-Ergebnisse innerhalb der Systemanalyse und Systemidentifikation

Abstract: Die Modalsynthese ist ein Verfahren zur Untersuchung des dynamischen Verhaltens komplizierter schwingungsfahiger elastomechanischer Systeme mittels Subsystem-Ergebnissen. In der vorliegenden Arbeit ist Fur endlichdimensionale Systeme ein. Verfahren zur angenaherten Fehlerermittlung der Modalsyntheseergebnisse mitgeteilt, das auf der dynamischen Kondensation beruht und die Kenntnis der Modalgrosen der unterdruckten Freiheitsgrade nicht benotigt. Das Vorgehen ist bei jeder regularen Transformation in generalisierte Koordinaten anwendbar. Beispiele zeigen Fur eine ungunstige Transformation die Gute der angenaherten Fehler. Modal synthesis is based on substructure results and serves as a method for investigating complex vibrating structures. In the paper in hand an approximated error analysis is presented for multidegree-of-freedom systems which is based on dynamic condensation and does not need the knowledge of the modal magnitudes of the truncated degrees-of-freedom. The procedure is applicable to each regular transformation in generalized coordinates. Examples show the quality of the approximated errors for a disadvantageous transformation.

Herleitung einer Direktortheorie für Kontinua mit lokalen Krümmungseigenschaften

Abstract: In der vorliegenden Arbeit werden die theoretischen Grundlagen fur die Berechnung orientierter Werkstoffe im Rahmen einer verallgemeinerten Cosserat theorie bereitgestellt. Mit der Einfuhrung vektorwertiger Direktoren, die auch eine lokale Anderung der Strukturkrummung erfassen, werden unter Beachtung der Hauptsatze der Thermodynamik die Feldgleichungen fur Massenerhalt, Gleichgewicht und Symmetrie des Direktorspannungstensors hergeleitet. Zur Erfassung der erweiterten kinematischen Moglichkeiten des eingefuhrten Direktormodells wird ein entsprechend verandertes Grundkonzept der Mechanik vorgestellt. Mit den konstitutiven Beziehungen fur ein einfachst mogliches Direktorkontinuum gelingt es ohne Einschrankung der Allgemeingultigkeit, die dargelegte Theorie fur die Anwendung mit Finiten Elementen aufzubereiten. Auf der Grundlage von numerischen Ergebnissen erfolgt abschliesend eine Diskussion der Bedeutung der eingefuhrten Direktoreigenschaften. The investigations that follow aim at the improvement of the theoretical foundation for the numerical treatment of orientated media in the range of generalized Cosserat continua. Introducing vector-valued directors, which are suitable to represent the local change of structural curvature, and applying the two laws of thermodynamics the field equations for the conservation of mass, for the state of equilibrium and for the symmetry of the director stress tensor are being derived. This is achieved by introducing novel aspects of director representation. Introducing then most simple constitutive relations the theory becomes applicable for finite element methods without loss of generality. On the basis of numerical results characteristic features of this type of a generalized Cosserat theory are finally being discussed.

Nicht-lineare Schwingungen mit fast-periodischer Parametererregung

Abstract: Bekanntlich kann auch bei fast-periodischer Parametererregung die Ruhelage fur gewisse Frequenzen instabil werden. Die ersatzweise eintretenden nicht-linearen Schwingungen werden naherungsweise fur einige dieser Frequenzen berechnet. It is well-known that even in the case of almost periodic parametrical excitations the zero solution might become unstable for certain frequencies initiating non-linear vibrations which are calculated approximately for some of these frequencies.

Nichtlineare Bewegungsgleichungen großer Mehrkörpersysteme

Abstract: Bei der dynamischen Untersuchung nichtlinearer mechanischer Systeme mit vielen Freiheitsgraden stellt bereits die Gewinnung der Bewegungsgleichungen ein wesentliches Problem dar. Es wird gezeigt, das die Bewegungsgleichungen holonomer Mehrkorpersysteme durch die Anwendung des Jourdainschen Prinzips in einer einfacheren Form dargestellt werden konnen. Dies fuhrt zu einem besseren mechanischen Verstandnis symbolischer Gleichungen und zu kurzeren Rechenzeiten in numerischen Formalismen. In the dynamical analysis of nonlinear mechanical systems with many degrees of freedom even the derivation of the equation of motion is an essential problem. It is shown that the equations of motion of holonomic multibody systems are strongly simplified by the application of Jourdain's principle. This results in a better understanding of symbolical equations of motion and a reduction of computation time.

Eine einheitliche Herleitung verschiedener Interpolationsformeln mittels der Taylorschen Formel der Operatorenrechnung

Abstract: Zahlreiche Verfahren der numerischen Differentiation und Integration basieren auf Interpolationsmethoden oder Polynomentwicklungen. Deshalb ist eine einheitliche Herleitung von Interpolationsformeln und Polynomentwicklungen und entsprechenden Fehlerabschatzungen von Interesse. In der vorliegenden Arbeit losen wir dieses Problem mittels der Taylorschen Formel der Operatorenrechnung. Dabei wird die Operatorenrechnung als Teilgebiet der Theorie der verallgemeinert inversen Operatoren verstanden. Numerous methods of numerical differentiation and integration are based on methods of interpolation or polynomial expansions. Therefore a unified approach of interpolation formulas and polynomial expansions and appropriate error estimations is interesting. In the present paper we solve this problem by means of Taylor's formula of operational calculus. Here we understand the operational calculus as a part of the theory of generalized inverse operators.

The General Theory of the Motion of a Single Wheelset Moving through a Curve with Constant Radius and Cant

Abstract: Paper deals with the problem of the motion of a railway wheelset through a curve with constant radius and cant. The investigation includes both the stationary and the parasitic movement. General equations of motion are derived; both as Lagrange's equations and as the equations expressing the rate of change of the momentum and of the moment of momentum of the wheelset. For values of the curve radius which tend to infinity, the equations of motion can be considered as exact-ones. The equations are very complicated and before solving them they should be reduced by taking into account that the wheelset and contact point displacements always remain small as compared with the track gauge, whereas the rotation angles (of the parasitic motion) of the wheelset remain small with respect to unity. The draft of such a first-order theory will be the subject of a forthcoming publication. Die Arbeit behandelt die Bewegung eines Radsatzes auf einer Kurve mit konstantem Radius und konstanter Uberhohung. Die Untersuchung schliest sowohl die stationare als auch die parasitare Bewegung ein. Die allgemeinen Bewegungsgleichungen werden sowohl mittels der Lagrange schen Methode als auch durch Formulierung des Schwerpunkt- und Drallsatzes gewonnen. Wenn der Kurvenradius gegen unendlich strebt, konnen die Bewegungsgleichungen als exakt betrachtet werden. Die Gleichungen sind sehr kompliziert und sollten, bevor man ihre Losungen untersucht, vereinfacht werden, indem man berucksichtigt, das die Verschiebungen des Radsatzes und der Kontaktpunkte stets klein sind gegenuber der Gleisspurweite und das die Winkelverdrehungen klein gegenuber eins sind. Die Abfassung einer solchen Theorie erster Ordnung wird der Gegenstand einer weiteren Publikation sein.