On the completeness of biorthogonal systems.

Nonharmonic Fourier series in the control theory of distributed parameter systems

Let {uk(X)), {Vk(X)), k = 0,+ 1, . . ., 0 4 x < 1, be sequences of functions in L0(0,1), such that (Uk,vj) = 8kj. Let 4k(X) = exp 2kirix. It is shown that if for a given p, 1 < p < oo, the sequence {Uk) is complete in Lv (0,1), and {Vk) is complete in Lq(0,1), pq = p + q, and if the uk's, vj's are asymptotically related to the 4k's, in a sense to be made precise, then {Uk) is a basis for LP (0,1), equivalent to the basis {(k), and for everyf in LP(0,1), T. (f,vk)uk(x) = f(x) a.;e. This result is then applied to the eigenfunction expansions of a large class of ordinary differential operators.

background

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Pointwise and norm convergence of a class of biorthogonal expansions

Diffusive Transportprozesse auf der Nanometerskala spielen eine entscheidende Rolle fur das Verstandnis
von kolloidalen Systemen jeglicher Art — in Anwendungen aus der Biologie sind sie gar
von lebenswichtiger Bedeutung In dieser Dissertation untersuche ich die Diffusion von Makromolekulen
in verschiedenen Umgebungen anhand von drei typischen Modellszenarien

Der zentrale Teil dieser Arbeit beschaftigt sichmit der Dynamik in Suspensionen dunner Stabchen,
wobei die Stabformeine Idealisierung anisotroper, langlicher Teilchen mikroskopischerGrose
darstellt Ein vereinfachtes Modell wird ausgearbeitet, welches das Problem auf die Bewegung
eines einzelnen Stabchens in einem zweidimensionalen Parcours von punktformigen Hindernissen
reduziert Ich untersuche dieses Modell auf zweierlei Art: Zum einen habe ich Molekulardynamik-
Simulationen entwickelt, die die Brownsche Bewegung des Stabchens uber neun
Grosenordnungen in der Zeit berechnen Experimentell relevante Observablen werden dabei in
statistisch exzellenter Qualitat erfasst, ua die intermediare Streufunktion Zum Zweiten formuliere ich eine analytische Beschreibung dieser Dynamik auf mesoskopischer
Skala, basierend auf der Smoluchowski-Perrin-Gleichung der freienDiffusion Erstmals
prasentiere ich hierzu die geschlossene Losung dieser Gleichung in zwei Dimensionen und zeige,
dass man mithilfe der Messung zweier Diffusionskoeffizienten eine quantitative mesoskopische
Theorie fur Systeme mit Hindernissen gewinnt

Der Vergleich der Simulationen mit der Theorie ermoglicht ein fundiertes quantitatives Verstandnis
der Dynamik in Suspensionen von Stabchen, gekennzeichnet durch mehrere Zeit- und
Langenskalen Ich belege, dass die effektive Theorie bis hinab zu Langenskalen von der Grose
des mittleren Teilchenabstands gultig ist und untermauere die bisher nicht verlasslich gestutzten
skalentheoretischen Vorhersagen von Doi und Edwards Schlieslich finde und erklare ich ein intermediares
Potenzgesetz in den Streufunktionen Dies interpretiere ich als ein neues generisches
Charakteristikumder anisotopen Dynamik von Stabchen in ungeordneten Suspensionen mit starker
gegenseitiger raumliche Einschrankung

In Erganzung dieses Themenkomplexes beschaftigt sich der erste Teil der vorliegenden Arbeit
mit dem diffusiven Transport in heterogenen Umgebungen fraktaler Geometrie—eine Fragestellung,
die fur dieDynamik beispielsweise in porosenMedien und in der sehr heterogen zusammengesetzten
biologischen Zelle relevant ist Im Rahmen des Lorentz-Modells bilde ich dieses Transportproblem
ab auf die Diffusion eines einzelnen, isotropen Teilchens im Leerraum zwischen zufallig
angeordneten harten Kugeln Ich prasentiere umfangreiche Computersimulationen zusammen
mit einer detaillierten Skalenanalyse der kritischen Dynamik in der Nahe des Perkolationsubergangs
In unmittelbarer Nahe des kritischen Punktes beobachte ich anomale Diffusion uber
vier Grosenordnungen in der Zeit Diese herausragende Genauigkeit ermoglicht die Darstellung
der universellen dynamischen Skalenfunktion im sehr langsam konvergierenden Ubergang zum
anomalen Bewegungsgesetz, unter Einbeziehung universeller Korrekturen des Potenzverhaltens

Der letzte Teil der Arbeit ist der Dynamik einzelner semiflexibler Filamente gewidmet, die
zB im Zytoskelett der Zelle essentielle mechanische Aufgaben erfullen Die Bewegungsgleichung
eines solchen Polymers in stromenden Flussigkeiten drucke ich durch die Dynamik der Eigenmoden
aus, unter Berucksichtigung der Zwangsbedingung longitudinaler Steifigkeit Eine darauf
aufbauende Analyse der Rotation eines Polymers in Scheerstromungen beleuchtet das charakteristische
Verhalten der Modenspektren

Zusammenfassend vertiefen meine Ergebnisse fundamental das Verstandnis dynamischer Prozesse
bei der Diffusion von Makromolekulen, mit konkreten Vorhersagen fur auch experimentell
messbare Grosen Besonders zu nennen ist hier die Streufunktion einer Suspension von Stabchen,
deren intermediares Potenzverhalten ich als ein universelles Merkmal der Reptationsbewegung
von Stabchen ansehe

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Complex transport processes in suspensions of stiff polymers

When I first met Fred Brauer, he was warning a class of first-semester calculus students about the dangers of applying techniques without thinking As an example, he wrote on the chalkboard the expression$ \frac{{\sin x}}{n} $ He then proceeded to cancel the n’s from numerator and denominator: 

$$ \frac{{si\not{n}x}}{{\not{n}}} $$

, leaving six

Fred Brauer: The Man and His Mathematics

The estimation of radiative modes is a central problem in gravitational wave theory, with essential applications in signal modeling and data analysis. This problem is complicated by most astrophysically relevant systems not having modes that are analytically tractable. A ubiquitous workaround is to use not modes, but multipole moments defined by spin-weighted spherical harmonics. However, spherical multipole moments are only related to the modes of systems without angular momentum. As a result, they can obscure the underlying physics of astrophysically relevant systems, such as binary black hole merger and ringdown. In such cases, spacetime angular momentum means that radiative modes are not spherical, but spheroidal in nature. Here, we work through various problems related to spheroidal harmonics. We show for the first time that spheroidal harmonics are not only capable of representing arbitrary gravitational wave signals, but that they also possess a kind of orthogonality not used before in general relativity theory. Along the way we present a new class of spin-weighted harmonic functions dubbed ``adjoint-spheroidal'' harmonics. These new functions may be used for the general estimation of spheroidal multipole moments via complete biorthogonal decomposition (in the angular domain). By construction, adjoint-spheroidal harmonics suppress mode-mixing effects known to plague spherical harmonic decomposition; as a result, they better approximate a system's true radiative modes. We discuss potential applications of these results. Lastly, we briefly comment on the challenges posed by the analogous problem with Teukolsky's radial functions. 

Biorthogonal harmonics for the decomposition of gravitational radiation. I. Angular modes, completeness, and the introduction of adjoint-spheroidal harmonics

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On the completeness of biorthogonal systems.

Citations

Nonharmonic Fourier series in the control theory of distributed parameter systems

Pointwise and norm convergence of a class of biorthogonal expansions

Complex transport processes in suspensions of stiff polymers

Fred Brauer: The Man and His Mathematics

Biorthogonal harmonics for the decomposition of gravitational radiation. I. Angular modes, completeness, and the introduction of adjoint-spheroidal harmonics

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