Showing papers in "Zamm-zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik in 1971"

Weight Functions for the Notched Bar

Abstract: Weight functions for the notched bar are presented in such a form, that stress intensity factors for all kinds of symmetric loading can be easily computed by slide rule. Fur den Kerbstab werden Gewichtsfunktionen in einer solchen Form dargestellt, das die Faktoren der Spannungskonzentration fur jede Art symmetrischer Belastung leicht mit dem Rechenstab berechnet werden konnen.

Stress Concentrations and Singularities at Interface Corners

Abstract: Elastizitatstheoretische Losungen fur das Verhalten verbundener oder nicht verbundener zusammengesetzter Bereiche mit scharfen Ecken sind oft, gleichgultig ob sie mit funktionalen Methoden oder mit der Methode der finiten Elemente gewonnen worden sind, unbefriedigend, weil das angewendete Verfahren den Charakter und die Grose der Spannungskonzentrationen in solchen Ecken nicht ohne weiteres erkennen last. Sind aber die Moglichkeit von Spannungskonzentrationen und ihr Charakter erst einmal geklart, so kann durch Verfeinerung der Analysis auch in den Bereichen der Spannungsspitzen ein hoher Grad von Genauigkeit erzielt werden. In der Arbeit wird ein wirksames Untersuchungsverfahren zur Identifizierung der Singularitaten und Spannungskonzentrationen in scharfen Ecken, in denen zwei oder mehr Grenzflachen und/oder Kanten in zweidimensionalen, von Gleichungen des harmonischen oder biharmonischen Typs beherrschten Bereichen zusammentreffen, geboten. Mit Hilfe einer bestimmten Vorgehensweise last sich fur verschiedene physikalische Probleme, fur die die einzelnen Gleichungstypen gelten, der mathematische Ansatz fur die Grenzflachen und Kantenbedingungen vereinheitlichen und eine einheitliche Behandlung von Problemen mit verschiedenen Kombinationen von Grenzflachen- und Kantenbedingungen erreichen. Es wird die Anwendung auf einige typische Elastizitatsprobleme gezeigt. Die hier fur Grenzflachen zwischen Isotropiebereichen dargestellte Methode last sich auf den Fall von Anisotropiebereichen ausdehnen. Elasticity solutions for bonded or unbonded composite domains with sharp corners whether by functional methods or by finite element formulations are often unsatisfactory, because the procedure applied cannot by itself identify the nature and magnitude of the stress concentrations at such corners. Once the possibility and nature of stress concentrations in a problem are clearly identified, the analysis can be refined and a high degree of accuracy achieved in the peak stress regions. This paper presents a successful investigation for the identification of singularities and concentrations at sharp corners at the intersection of two or more interfaces and/or edges in two dimensional domains governed by harmonic and biharmonic types of equations. A procedure is chosen to standardize the mathematical statement of the interface and edge conditions for different physical problems governed by each class of equations and to achieve a unified treatment of problems with various combinations of interface and edge conditions. It is applied to some typical problems in elasticity. The method presented here for interfaces between isotropic regions, can be extended to interfaces between aeolotropic regions.

Die Subdistributivität der Intervallarithmetik

Abstract: Die vorliegende Arbeit gibt eine ubersichtliche Charakterisierung all jener Tripel (A, B, C), fur die A (B + C) = AB + AC ist. Dabei bedeuten A, B, C, … Intervalle. Damit haben wir ein von Moore in [3] gestelltes Problem aufgegriffen. Untersuchungen uber die Gleichheit A (B1 + … + Bn) = A B1 + … + A Bn werden angeschlossen. In this paper we shall give a simple characterization of triples with A (B + C) = AB + AC, where A, B, C, … are intervals. In this fashion we discuss a problem stated by Moore in [3]. We shall also investigate the equality A (B1 + … + Bn) = A B1 + … + A Bn.

On a New Variational Principle of Hamiltonian Type for Classical Field Theory

Abstract: A variational principle of hamiltonian type for various physical phenomena is constructed. Its application to the problems of the nonlinear heat transfer and fluid flow in Eulerian description is shown. Fur verschiedene physikalische Vorgange wird ein Variationsprinzip vom Hamiltontyp aufgestellt, und es wird seine Anwendung auf Probleme der Warmeubertragung und der Flussigkeitsstromungen (in der Eulerschen Behandlungsweise) vorgefuhrt.

The Flow of a Viscous Fluid Past an Inhomogeneous Porous Cylinder

Abstract: The slow stationary motion of a uniformly flowing viscous fluid past a circular porous inhomogeneous cylinder of radius (a + b) is considered. The problem is fully described by the Darcy law, which holds good in the region inside the body, the Navier-Stokes equations, describing the flow field outside the body, the continuity conditions and the suitable boundary conditions. The solution to the system of equations is obtained by the construction and suitable matching of four simultaneous asymptotic expansions: inner-most expansion valid in the region 0 ≦ r' ≦ a, interior expansion valid in the region a ≦ r' ≦ (a + b) and the usual inner (Stokes) and outer (Oseen) expansions. The drag formula is expressed in terms of an equivalent permeability. The effect of permeability on the drag is that it reduces the effective radius of the cylinder by a factor exp [–∽KT'/(a + b)2]. Several special cases have been considered. In der vorliegenden Arbeit wird die langsame stationare Stromung einer gleichmasig fliesenden zahen Flussigkeit um einen inhomogenen porosen Kreiszylinder vom Radius a + b betrachtet. Das Problem wird insgesamt durch das im Innern des Korpers gut erfullte Darcysche Gesetz, die das Stromungsfeld auserhalb des Korpers beschreibenden Navier-Stokes-Gleichungen, die Kontinuitatsbedingungen und die passenden Randbedingungen erfast. Die Losung des entstehenden Gleichungssystems wird durch die Konstruktion und geeignete Anpassung von vier simultanen, asymptotischen Entwicklungen erhalten: eine fur den innersten Bereich 0 ≦ r' ≦ a gultige Entwicklung, eine Entwicklung fur den inneren Bereich a ≦ r' ≦ a + b und die gewohnlichen Entwicklungen nach Stokes bzw. Oseen fur den randnahen bzw. den Fernbereich. Die Widerstandsformel wird mittels einer aquivalenten Permeabilitat ausgedruckt. Als Wirkung der Permeabilitat auf den Widerstand ergibt sich eine Reduzierung des effektiven Zylinderradius um einen Faktor exp [– ∽KT'/(a + b)2]. Es werden mehrere Spezialfalle untersucht.

Determination of the Period of Nonlinear Oscillations by Means of Chebyshev Polynomials

Abstract: Mit Hilfe einer auf der Tschebyscheff-Approximation beruhenden schnell konvergierenden Reihe wird fur die Schwingungsdauer eines nichtlinearen, symmetrischen, konservativen Systems eine Naherungsformel aufgestellt. A new formula is proposed for the approximate computation of the period of a nonlinear symmetrical autonomous system with a single degree of freedom, in the form of a rapidly convergent series, based on the Chebyshev approximation.

Optimum One-term Solutions for Heat Conduction Problems

Abstract: A series solution in descending powers of time is developed for heatconduction problems with initial profiles prescribed at an instant t* > 0. The leading term of the series solution, the first eigensolution, represents a source with strength given by the integral of the initial profile. It is shown that the coefficients of the eigensolutions corresponding to the second eigenvalue can be equated to zero when the origin is shifted to the center of gravity of the initial profile and that the coefficient of the symmetric eigensolution of the third eigenvalue will vanish when the time shift t* is related to the second moment of the initial profile. The first eigensolution with these optimum shifts in space and time variables yields an optimum one term representation of the exact solution as time increases. The optimum solution fulfills two properties of the exact solution, the conservation of energy integral and the invariance of the center of gravity of the temperature profile. Proofs for these properties of the exact solution are presented. Fur Warmeleitungsprobleme, bei denen eine Anfangs-Temperaturverteilung („Anfangsprofil”) in einem Zeitpunkt t* > 0 vorgegeben ist, wird eine Reihenentwicklung nach fallenden Potenzen der Zeit durchgefuhrt. Das fuhrende Glied der Reihe, die erste Eigenfunktion, stellt eine Quelle dar, deren Intensitat durch das Integral des Anfangsprofils gegeben ist. Es wird gezeigt, das die Koeffizienten der zum zweiten Eigenwert gehorenden Eigenlosungen zum Verschwinden gebracht werden konnen, wenn man den Ursprung in den Schwerpunkt des Anfangsprofils verschiebt, und das auch der Koeffizient der zum dritten Eigenwert gehorigen symmetrischen Eigenlosung verschwindet, wenn die Zeit- Verschiebung t* in einer bestimmten Beziehung zum zweiten Moment des Anfangsprofils steht. Mit diesen optimalen Verschiebungen in den Variablen des Orts und der Zeit liefert die erste Eigenlosung fur wachsendes t eine optimale eingliedrige Annaherung an die exakte Losung, die mit der exakten Losung zwei Eigenschaften gemeinsam hat: Die Erhaltung des Energie-Integrals und die Invarianz des Schwerpunkts des Temperaturprofils. Diese beiden Eigenschaften der exakten Losung werden bewiesen.

Zur Gültigkeit des Huygensschen Prinzips bei einer speziellen Metrik

Abstract: In Anlehnung an die Arbeiten von Gunther [2], [3], wird die folgende Metrik betrachtet: ds2 = 2 dx1 dx2 - aIJ(x1) dxI dxJ, I, J = 3, 4, …, n, mit positiv definiter Matrix a = (aIJ). Es wird die Frage untersucht, ob in einem entsprechenden Riemannschen Raum fur die mit alternierenden Differentialformen p-ter Stufe ωp gebildeten Maxwellschen Gleichungen dωp = 0, δωp = 0, sowie fur die Wellengleichung δωp = 0 das Huygenssche Prinzip gilt. Wir verstehen darunter immer das Huygenssche Prinzip im engeren Sinne (Hadamards „minor premise” [4]) bezuglich der Losungen des Cauchyschen Anfangswertproblems. Es wird gezeigt, fur das die Maxwellschen Gleichungen dωp = 0, δωp = 0 das Huygenssche Prinzip bei allen geraden Dimensionen n = 4, 6, 8, und Stufen 1 ≦ p ≦ n - 1 gilt sowie fur die Wellengleichung Δwp = 0 bei allen geraden Dimensionen n und Stufen 0 ≦ p ≦ n auser bei n = 4, p = 1, 2, 3. In connection with Gunther's works [2], [3] we consider the following metric: ds2 = 2 dx1 dx2 - aIJ(x1) dxI dxJ, I, J = 3, 4, …, n, the matrix a = (aIJ) being positive definite. The problem is investigated, whether Huygens' principle holds in a corresponding Riemann space for Maxwell's equations dωp = 0, δωp = 0 or the wave equation Δ = 0 respectively, where ωp is an alternating differential form of degree p. We take here always Huygens' principle in the sense of Hadamard's „minor premise” [4] regarding the solutions of Cauchy's problem. It is shown that Huygens' principle holds for Maxwell's equations dωp = 0, δωpat all even dimensions n = 4, 6, 8, … and all degrees 1 ≦ p ≦ n − 1 and for the wave equation Δωp = 0 at all even dimensions n and all degrees 0 ≦p≦n unless n = 4, p = 1, 2, 3.

The Effect of Permeability on the Drag of a Porous Sphere in a Uniform Stream

Abstract: The present investigation is concerned with the problem of studying the effect of permeability on drag coefficient for the flow past a porous sphere placed in an otherwise uniform incident stream at low Reynolds number. The problem is formulated using the full Navier-Stokes equations describing the flow outside the sphere while Darcy's law governs the flow inside the sphere. The solution is, then, sought by the method of matched asymptotic expansions involving three simultaneous expansions up to an order Re. It is found that the effect of porosity on the drag is that it reduces the effective radius a of the sphere by a factor (1 + k'/2a2)−1, where k' is the permeability.

Exponential Absolute Stability of Discrete Systems

Abstract: Fur die absolute exponentielle Stabilitat nichtlinearer diskreter Systeme vom Lurje-Typ werden hinreichende Bedingungen formuliert. Durch einen Grenzprozes werden sie auf diejenigen fur die absolute exponentielle Stabilitat stetiger Systeme zuruckgefuhrt. Sufficient conditions are formulated under which nonlinear discrete systems of the Lur'e type are exponentially absolutely stable. By a limiting process the obtained conditions are reduced to those for exponential absolute stability of continuous systems.

The Hydrodynamic Resistance of a Fluid Sphere Submerged in Stokes Flows

Abstract: The general quasistatic Stokes force and settling velocity acting on a spherical droplet were formulated. The droplet is submerged in an unbounded flow field, which is Stokes'ian far from the droplet. The drag force formulated here by eq. (41) includes the law of Faxen as a special case. The settling velocity formulated here by eq. (43) includes all previous solutions with similar boundary conditions. It is demonstrated that these parameters can be computed solely from a knowledge of the solution of Hadamard-Rybczynski and the unperturbed flow field. Es werden die an einem kugelformigen Tropfen wirkende quasistatische Stokes-Kraft und seine Sinkgeschwindigkeit formuliert. Der Tropfen ist in ein unbegrenztes Stromungsfeld eingebettet, das in groser Entfernung von Stokesscher Art ist. Die in Gl. (41) formulierte Widerstandskraft schliest das Gesetz von Faxen als Spezialfall ein; die in Gl. (43) angegebene Sinkgeschwindigkeit enthalt alle fruheren, bei ahnlichen Randbedingungen gewonnenen Losungen. Es wird gezeigt, das die beiden Parameter allein auf Grund der Kenntnis der Losung von Hadamard-Rybczynski und des ungestorten Stromungsfeldes berechnet werden konnen.