Showing papers in "Zamm-zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik in 1987"

Attraktorlokalisierung des Lorenz-Systems

Abstract: In the present paper that region, in which the (minimal) attractor [2, 3] is situated, is localized in the phase space of the Lorenz system [1, 2] by means of Lyapunov's second method. Being based on these estimations and the results of paper [4] a sufficient condition is given that separatrix loops of the saddle x = y = z = 0 are missing. Comparison of the bounds for the attractor obtained analytically in this paper with the numerical results by E. Lorenz [1] shows that for certain parameter regions these estimations practically can not be augmented. In der vorliegenden Arbeit wird im Phasenraum des Lorenz-Systems [1, 2] mit Hilfe der zweiten Methode von Ljapunow das Gebiet, in dem sich der (minimale) Attraktor [2, 3] befindet, lokalisiert. Auf der Grundlage dieser Abschatzungen und der Resultate der Arbeit [4] wird eine hinreichende Bedingung fur das Fehlen von Separatrixschlingen des Sattels x = y = z = 0 angegeben. Der Vergleich der in der Arbeit analytisch gewonnenen Eingrenzungen des Attraktors mit den numerischen Ergebnissen von E. Lorenz [1] zeigt, das fur bestimmte Parameterbereiche diese Abschatzungen praktisch nicht verbessert werden konnen.

Regions and Boundaries for Diffracting Shock Wave Systems

Abstract: This paper examines, as completely as possible, the wave systems that may occur when a plane shock wave i diffracts over a concave corner. For a perfect gas, a particular wave system is specified by three parameters (γ, ϵi, ωo), which are respectively the ratio of the specific heats γ, the inverse strength ϵi of i, and its angle of incidence ωo. The topology of the (ϵi, ωo) plane is studied for a given γ (gas), and regions or domains corresponding to each wave system are delineated. Exact expressions are given for the boundaries of many of these regions. Although it is plausible that the boundaries represent the transition conditions between the wave systems, a detailed analysis shows that the situation is sometimes more complicated than might be expected. A new transition criterion, which may be valid for diffraction over flexible surfaces, is presented. For very weak shocks (ϵi > 0.8328 in air), it is found that Mach reflexion cannot exist, and in its place a continuous wave system is indicated. Diese Arbeit behandelt so vollstandig wie moglich solche Wellensysteme, die bei der Beugung einer ebenen Stoswelle i an einer konkaven Ecke auftreten. Bei einem idealen Gas ist ein einzelnes Wellensystem durch drei Parameter (γ, ϵi, ωo) festgelegt. Dabei sind γ das Verhaltnis der spezifischen Warmen, ϵi die inverse Intensitat von i und ωo der Einfallswinkel. Die Topologie der (ϵi, ωo)-Ebene wird fur ein gegebenes γ (Gas) untersucht, und es werden Bereiche oder Domanen skizziert, die dem jeweiligen Wellensystem entsprechen. Fur die Grenzen vieler dieser Bereiche werden exakte Formeln angegeben. Obwohl es einleuchtend ist, das diese Grenzen die Ubertragungsbedingungen zwischen den Wellensystemen darstellen, zeigt eine detaillierte Analyse, das die Situation manchmal komplizierter ist, als man erwartet. Ein neues Ubergangskriterium, das vielleicht fur die Beugung an flexiblen Oberflachen gultig ist, wird vorgestellt. Fur ganz schwache Stose (ϵi > 0.8328) zeigt sich, das eine Mach-Reflexion nicht existieren kann. Stattdessen wird ein kontinuierliches Wellensystem vorgeschlagen.

Non‐Equidistant Generalizations of the Gushchin‐Shchennikov Scheme

Abstract: The numerical solution of singularly perturbed boundary value problems with turning points is considered Some modifications and non-equidistant generalizations of the Gushchin-Shchennikov finite-difference scheme are introduced Both, the stability and the second order consistency are proved Numerical examples are given Es wird die numerische Losung von singular gestorten Randwertaufgaben mit „turning point” betrachtet Einige Modifikationen und nichtaquidistante Verallgemeinerung des Gushchin-Shchennikovschen Differenzenverfahrens werden eingefuhrt Gleichzeitig werden Stabilitat und quadratische Konsistenz bewiesen Numerische Beispiele werden angegeben

Initial boundary value problems from semiconductor device theory

Abstract: This paper is concerned with the basic equations for carrier transport in semiconductors in case of boundary conditions allowing the electrostatic potential at a contact to depend on the total current through this contact. An existence-uniqueness result is proved and, under additional assumptions, the global boundedness and the asymptotic behaviour of solutions are investigated. Diese Arbeit befast sich mit den Grundgleichungen fur den Ladungstragertransport in Halbleitern im Falle von Randbedingungen, die zulassen, das das elektrostatische Potential eines Kontakts vom Gesamtstrom durch den Kontakt abhangt. Es wird ein Existenz- und Einzigkeitssatz bewiesen, und unter zusatzlichen Voraussetzungen werden die globale Beschranktheit sowie das asymptotische Verhalten der Losungen untersucht.

On a class of high order methods for inverting matrices

Abstract: On etudie une classe de methodes d'ordre eleve pour l'inversion des matrices, du point de vue de la complexite des calculs

Vibration of a Visco‐Elastic Spherical Immiscible Liquid System

Abstract: The vibrational behavior of spherical visco-elastic systems in a zero-gravity environment has been treated, including axi-and asymmetric oscillation modes. The systems treated are the liquid drop, two immiscible liquids in a spherical container and an annular spherical liquid layer around a rigid center sphere. The frequency equations were obtained and found to be independent of the angular mode, exhibiting a multiplicity of eigenfrequencies. In addition the free surface-or interface displacement as well as the velocity distributions in radial-, angular- and meridional direction were analytically determined. For the liquid drop those have also been evaluated numerically, while for the remaining systems only the frequency equation for the damped natural frequencies have been determined numerically. Es wird das Schwingungsverhalten eines viskoelastischen Flussigkeitssystems im schwerelosen Zustand untersucht, wobei sowohl axial- als auch asymmetrische Schwingungsformen behandelt wurden. Die behandelten Systeme sind der Flussigkeitstropfen, zwei nichtmischbare Flussigkeiten in einem Kugelbehalter und eine Annularkugelschicht um eine starre Kugel. Dabei wurden die Frequenzgleichungen erhalten, die wie bei reibungsfreier Flussigkeit keine angulare Abhangigkeit mit von einander unabhangigen entarteten Eigenschwingungen zeigen. Auserdem wurden die Auslenkung der freien Oberflache oder Trennflache als auch die Geschwindigkeitsverteilungen in radialer, angularer und meridionaler Richtung analytisch bestimmt. Fur den Tropfen wurden diese auch numerisch ausgewertet, wahrend fur die beiden anderen Systeme nur die gedampften Schwingungsfrequenzen numerisch bestimmt wurden.

Accurate numerical approximations of eigenfrequencies and eigenfunctions of elliptic membranes

Abstract: In earlier papers [3, 4] a defect-minimization method was proposed to compute approximate eigenfunctions of membranes by means of a parametric semi-infinite optimization problem. The method gives approximations and error bounds of eigenvalues and eigenfunctions. An algorithm based on this method has been implemented for the special case of elliptic membranes with variable eccentricity. In this paper we show that by this method we obtain very accurate results even for eccentricities near one. In addition the method is very appropriate to study the behavior of eigenfunctions. In vorangegangenen Arbeiten [3, 4] wurde ein Defekt-Minimierungsverfahren zur Berechnung genaherter Eigenfunktionen fur Membranen mittels parametrischer semi-infiniter Optimierung vorgeschlagen. Das Verfahren liefert Approximationen und Fehlerschranken fur Eigenwerte und Eigenfunktionen. Fur den Spezialfall elliptischer Membranen mit variabler Exzentrizitat wurde ein auf diesem Verfahren basierender Algorithmus implementiert. In dieser Arbeit wird gezeigt, das man mit diesem Verfahren selbst fur Exzentrizitaten nahe Eins sehr genaue Ergebnisse erhalt. Daruber hinaus ist dieses Verfahren sehr gut zur Untersuchung des Verhaltens von Eigenfunktionen geeignet.

Bendixon‐Type Theorems with Applications

Abstract: Bendixson's theorem on the nonexistence of periodic solutions of differential equations is generalized to the N -dimensional case. An application of the theorem in formal reaction kinetics is shown. Then a theorem analogous to Schneider's generalization is given. Finally, a theorem on implicit systems is formulated and applied to get a sufficient condition for the absence of periodic solutions in a generalized Lienard-equation. Der Satz von Bendixson uber die Nichtexistenz periodischer Losungen wird auf den mehrdimensionalen Fall verallgemeinert. Es wird eine Anwendung des Satzes in der formalen Reaktionskinetik angegeben. Dann wird ein Satz bewiesen, der analog zu einer Verallgemeinerung von Schneider ist. Endlich wird ein Satz uber implizite Systeme formuliert und angewandt, um eine hinreichende Bedingung fur die Nichtexistenz periodischer Losungen einer verallgemeinerten Gleichung von Lienard zu erhalten.

Shock formation distance in a two-dimensional steady supersonic flow over a concave corner in radiative magnetogasdynamics

Abstract: Using the theory for the propagation of wavefronts defined by weak discontinuities, the paper presents an analysis of shock wave formation in a two-dimensional steady supersonic flow over a concave corner in radiative magnetogasdynamics. Transport equations are derived which lead to the determination of the shock formation distance and also to conditions which ensure that no shock will ever evolve on the wave front. It is assessed as to how the shock formation distance is influenced by (i) the presence of radiative and magnetohydrodynamic effects, (ii) the initial curvature of the concave wall, and (iii) the upstream flow Mach number.

Variational Principles for Nonlinear Buckling of Elastic Columns (A Revival of Euler's Theory)

Abstract: Following a historical introduction, a known finite element model of a column is suggested, which can be generalized to plate and shell theory. A loss of stability and certain paradoxical results in computing the corresponding deflection are discussed. It is shown that static equilibrium is impossible to attain for large loads, thus contradicting “the usual” spectral theory for the linear beam or plate operators. The static and dynamic models are compared. A computational algorithm is offered for the nonlinear model of buckling. Nach einer historischen Einleitung wird ein bekanntes Finite-Elemente-Modell fur eine Saule vorgeschlagen, das auch auf Platten- und Schalentheorie verallgemeinert werden kann. Es werden ein Stabilitatsverlust und gewisse paradoxe Ergebnisse bei der Berechnung der entsprechenden linearen Auslenkung diskutiert. Es wird gezeigt, das es nicht moglich ist, fur grose Belastungen ein statisches Gleichgewicht zu erreichen, was der ‘gewohnlichen’ Spektraltheorie fur die linearen Balken-oder Plattenoperatoren widerspricht. Statisches und dynamisches Modell werden verglichen. Es wird ein Algorithmus zur numerischen Berechnung des nichtlinearen Beulmodells angeboten.

An Exact Analysis of Unsteady Convective Diffusion in an Annular Pipe

Abstract: An exact solution to the unsteady convective diffusion equation for the dispersion of a solute in a fully developed laminar flow in an annular pipe is obtained. Generalized dispersion model which is valid for all time after the injection of solute in the flow is used to evaluate the dispersion coefficients as functions of time. It is observed that the axial dispersion decreases with an increase in the radius of the inner cylinder. In der Arbeit wird eine exakte Losung der instationaren konvektiven Diffusionsgleichung fur die Dispersion einer Losung in einer voll entwickelten Laminar-Stromung in einem Rohr mit ringformigem Querschnitt gewonnen. Zur Berechnung der zeitabhangigen Dispersionskoeffizienten wird ein verallgemeinertes Dispersionsmodell angewandt, das fur die gesamte Zeit nach dem Einbringen der Losung in die Stromung gilt. Es ist zu beobachten, das die axiale Dispersion bei Zunahme des Radius des inneren Zylinders abnimmt.

Berechenbare Fehlerschranken für ein Eigenpaar unter Einschluß von Rundungsfehlern bei Verwendung des genauen Skalarprodukts

Abstract: In der vorliegenden Arbeit wird, ausgehend von einer Naherung fur ein Matrizeneigenpaar mit einem algebraisch einfachen Eigenwert, zunachst eine Einschliesung fur den Eigenwert und fur die Komponenten des dazugehorigen Eigenvektors berechnet. Daran anschliesend wird ein Verfahren eingefuhrt, welches es gestattet, diese Schranken (bei rundungsfehlerfreier Rechnung) beliebig genau zu verbessern. Schlieslich wird diskutiert, wie sich dieses Verfahren bei Berucksichtigung von Rundungsfehlern verhalt. Dabei setzen wir voraus, das das von U. Kulisch [3] eingefuhrte genaue Skalarprodukt zur Verfugung steht. Zwei numerische Beispiele schliesen die Arbeit ab. Let there be given a sufficiently accurate approximation to a real eigenpair of a real matrix, where the eigenvalue is a simple zero of the characteristic polynomial. Then we construct bounds for the eigenvalue and for the components of the eigenvector. Furthermore we introduce an iteration method by which these bounds can be made arbitrarily small. Finally we discuss how this method behaves if all rounding errors are taken into account. For this discussion we assume that the so-called precise scalar product which was first introduced by U. Kulisch [3] is available. The paper closes with two numerical examples.

Konvergenzfaktoren von Mehrgitterverfahren für Probleme der ebenen, linearen Elastizitätstheorie

Abstract: Es wird ein Mehrgitter-Algorithmus zur Losung ebener linearer Elastizitatsprobleme vorgeschlagen. Dabei gelingt es, fur die Zweigittermethode den Konvergenzfaktor zu berechnen und seine Abhangigkeit von der Poissonschen Querkontraktionszahl sowohl fur den ebenen Spannungs- als auch fur den ebenen Verzerrungszustand anzugeben. Weiter werden Abschatzungen fur die Konvergenzrate des Mehrgitter-Algorithmus dargelegt. A multigrid method for solving plane linear elasticity problems is proposed. For the two-level procedure, estimates of the convergence factor are obtained for the state of plane stress as well as for the state of plane strain. In both cases, the convergence factor strongly depends on the Poisson ratio. Finally, we present estimates of the convergence rate of the multigrid method.

On the Stability of Plane Motion of Heavy Rigid Body about a Fixed Point

Abstract: The plane (pendulum-like) motions of a heavy rigid body about a fixed point are considered. The shape of zones of stability and instability is illustrated in the three-dimensional space of parameters. Es werden ebene (pendel-artige) Bewegungen eines schweren, starren Korpers um einen festen Punkt betrachtet. Dabei wird im dreidimensionalen Parameterraum die Gestalt der Stabilitats- und Instabilitatszonen beschrieben.

Über Monotonie und Fehlerkontrolle bei den Gregoryschen Quadraturverfahren

Abstract: In dieser Arbeit werden die Quadraturverfahren von Gregory auf Monotonie untersucht. Es werden Ergebnisse sowohl fur den Fall gleichbleibender Stufe und Erhohung der Stutzstellenanzahl als auch fur den Fall gleichbleibender Stutzstellenanzahl und Erhohung der Stufe erzielt. Hierbei ergibt sich insbesondere der Nachweis eines praxisnahen Abbruchkriteriums. Grundlage der Ausfuhrungen ist ein Vergleich zwischen Gregory-Formeln und zusammengesetzten Newton-Cotes-Formeln. This paper deals with the monotony in the quadrature rules of Gregory. Results in case of same order and increased number of nodes as well as in case of same number of nodes and increased order are proven. By this a stopping rule for practical use is obtained. The results are based on a comparison between the Gregory rules and the composite rules of Newton-Cotes.

An adaptive method for linear parabolic differential equations

Abstract: In the numerical solution of partial differential equations the problem of finding a suitable grid arises. In this paper an adaptive algorithm for the solution of one linear parabolic equation is proposed. This algorithm is based on the result, that the local error of the method can be represented as the sum of the local error in the time variable and that one in the space variable and that both can be estimated separately. So the method works with separated mesh refinement of the space and error control of the time stepsize. Bei der numerischen Losung von partiellen Differentialgleichungen entsteht das Problem der geeigneten Diskretisierung. Hier wird ein adaptiver Algorithmus zur Losung einer linearen parabolischen Differentialgleichung vorgestellt. Der Algorithmus basiert auf dem Resultat, das sich der lokale Gesamtfehler als Summe aus den lokalen Orts- und Zeitfehlern darstellen last und fur beide Teilfehler Schatzungen angegeben werden. In diesem Sinne arbeitet das Verfahren mit getrennter Bemessung von Orts- und Zeitschrittweiten.

Motorrechnung imX1+3+3

Abstract: Es wird ein leicht handzuhabender, der Vektorrechnung nachgebildeter Kalkul fur die Motorrechnung in einem metrischen Raum M1+3+3 mit 1 + 3 translatorischen und drei komplexen (d. h. sechs reellen) rotatorischen Dimensionen entwickelt. Die Ergebnisse werden zur Bildung einer Analysis in einem Punktraum X1+3+3 verwendet. Anwendungen auf die Mechanik werden in spateren Arbeiten gegeben werden. A calculus similar to vector calculus in an metric space M1+3+3 with 1 + 3 translatoric and three complex (i.e. six real) rotational dimensions is developped. The results are applied for an analysis in an X1+3+3. Applications to mechanics will be given in later papers.

Effect of Transverse Shear on the Behaviour of a Beam Under Dynamic Loading

Abstract: In this paper the response of a beam subjected to an arbitrary time-dependent concentrated load has been considered without neglecting the effect of transverse shear and closed form solutions to determine deflection and bending moment under the point of loading have been obtained. It is shown that the effect of transverse shear on the solutions, when compared with classical solutions, can be represented by a single parameter which depends upon the radius of gyration of the beam cross-section and the ratio of the Young's modulus E in axial direction to the shear modulus G in transverse direction. The correction for bending moment due to transverse shear can be very significant when dealing with beams of a particular class of materials, viz. aligned fibre reinforced composites. In dieser Arbeit wird die Reaktion eines Balkens betrachtet, der einer beliebigen zeitabhangigen konzentrierten Last ausgesetzt ist, ohne dabei die Wirkung des Querschubs zu vernachlassigen. Man erhalt Losungen in geschlossener Form zur Bestimmung von Abweichung und Biegemoment unter dem Lastpunkt. Es wird gezeigt, das die Wirkung des Querschubs auf die Losungen verglichen mit den klassischen Losungen durch einen einzigen Parameter dargestellt werden kann, der vom Gyrationsradius des Balkenquerschnitts und dem Quotienten von Young-Modul E in Achsenrichtung und dem Schubmodul G in Querrichtung abhangt. Die dem Querschub zuzuschreibende Korrektur fur das Biegemoment kann signifikant werden, wenn es sich um bestimmte Materialklassen handelt, wie etwa mit gefluchteten Fasern armierte zusammengesetzte Materialien.

Hydrodynamic Forces on Multiple Circular Cylinders Oscillating in a Viscous Incompressible Fluid

Abstract: This paper presents a theoretical analysis and numerical results of the hydrodynamic force coefficients for groups of parallel, circular, rigid cylinders oscillating transversely and harmonically in an unbounded mass of viscous incompressible fluid at rest at infinity. The oscillatory amplitude of these cylinders is assumed to be small compared with their diameters, and the fluid motion is assumed due entirely to the oscillations of the cylinders. The motion of the perturbed fluid and the hydrodynamic forces on the cylinders are obtained by solving a fourth-order partial differential equation for a stream function with Neumann conditions on the cylinders and the finiteness condition at infinity. The hydrodynamic forces are found to have a self-excited part and a mutually excited part, each composes of an inertia force and a viscous dissipative force. Numerical results show that the viscous dissipative force predominates over the inertia force in the low-frequency regime and that the hydrodynamic force coefficients (which are second-order tensors) are symmetrical. The symmetrical property of hydrodynamic force coefficients is briefly proved by extending the Lorentz reciprocal theorem for steady flows to oscillatory flows. When the number of cylinders is set to one, the theory and numerical results agree very well with those of Stokes (1851) for a single cylinder. Diese Arbeit stellt die Theorie und die numerischen Resultate der hydrodynamischen Kraftkoeffizienten fur eine Anzahl von parallelen, kreisformigen, festen Zylindern dar, die transversal und harmonisch in einem unbegrenzten, viskosen, inkompressiblen Fluid, das im Unendlichen in Ruhe ist, schwingen. Es wird angenommen, das die Schwingungsamplitude dieser Zylinder klein gegenuber ihren Durchmessern ist und die Flussigkeitsbewegung vollstandig von den Schwingungen der Zylinder herruhrt. Die Bewegung der gestorten Flussigkeit und die hydrodynamischen Krafte auf die Zylinder werden durch die Losung einer partiellen Differentialgleichung 4. Ordnung fur die Stromungsfunktion mit Neumannbedingungen fur die Zylinder und der Endlichkeitsbedingung im Unendlichen erhalten. Es stellt sich heraus, das die hydrodynamischen Krafte einen selbsterregten und einen wechselseitig erregten Teil haben, jeder setzt sich aus einer Tragheitskraft und einer viskosen dissipativen Kraft zusammen. Die numerischen Resultate zeigen, das im Gebiet niedriger Frequenzen die viskose dissipative Kraft groser ist als die Tragheitskraft und die hydrodynamischen Kraftkoeffizienten (welche Tensoren 2. Ordnung sind) symmetrisch sind. Die Symmetrieeigenschaft der hydrodynamischen Kraftkoeffizienten wird durch Erweiterung des Lorentzschen Reziprozitatstheorems von stationaren auf schwingende Flussigkeiten kurz bewiesen. Wird die Zahl der Zylinder gleich eins gesetzt, dann stimmen Theorie und numerische Resultate sehr gut mit jenen von Stokes (1851) fur einen Zylinder uberein.

Die elastisch-plastische Scheibe mit nichtlinearer Verfestigung unter der Einwirkung einer ringförmigen Wärmequelle

Abstract: Gegenstand der Untersuchung sind die Spannungen in einer elastisch-plastischen Kreisscheibe mit nichtlinearer Verfestigung, welche durch eine kreisringformige Warmequelle hervorgerufen werden. Der Rechnung zugrundegelegt ist die Trescasche Fliesbedingung und die ihr zugeordnete Fliesregel. Wenn im plastischen Bereich Radial- und Umfangsspannung verschiedene Vorzeichen haben, dann sind die Grenzen des plastischen Bereichs und die Spannungen in der elastischen Randzone unabhangig vom Verfestigungsverhalten. Subject of the investigation is the stress distribution in an elastic-plastic circular disk with non-linear hardening that is subjected to a heat source distributed along a circle. The calculation is based on Tresca's yield criterion and the flow rule associated to it. Provided that radial and circumferential stress in the plastic region be of opposite sign, the borders of the plastic region as well as stress in the outer elastic zone of the disk prove independent of the hardening behavior.

Die Auftriebsverteilung von flexiblen Segeln längs der Spannweite

Abstract: Die aerodynamischen und elastischen Eigenschaften eines Segels werden untersucht. Dabei wird die Prandtlsche Integrodifferentialgleichung mit der eindimensionalen Laplacegleichung kombiniert. Die entstehende Integrodifferentialgleichung des Segels kann unter dem Gesichtspunkt der ersten und zweiten Grundaufgabe Prandtls betrachtet werden. Diese Gleichung wird aquivalent umgeformt auf eine Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art. Unter bestimmten Voraussetzungen an die Segelgestalt werden Eindeutigkeit, Existenz und stetige Abhangigkeit der Losung von den Daten bewiesen. Zur Bestimmung von Naherungen wird ein Kollokationsverfahren angegeben. This paper deals with the aerodynamic and elastic characteristics of sails. Prandtl's integrodifferential equation is combined with the one-dimensional Laplace equation. The resulting integrodifferential equation of the sail can be considered in view of Prandtl's first and second main problem. It is possible to transform this equation into a Fredholm integral equation of second order. For a certain class of sails well-posedness is proved. A method for the numerical solution of the problem is given.