Eigenwertschranken für Eigenwertaufgaben mit partiellen Differentialgleichungen

TLDR: In this paper, a new procedure for calculating lower bounds for the eigenvalues is proposed, which is closely related to one developed by N. J. Lehmann, but it is essentially simpler to apply the new procedure to eigenvalue problems Mφ = ΛNφ, where M and N are partial differential operators.

Abstract: Betrachtet werden Eigenwertaufgaben Mφ = ΛNφ, wobei M und N symmetrische lineare Operatoren in einem Prahilbertraum sind. Zur Berechnung von unteren Schranken fur die Eigenwerte wird ein neues Verfahren vorgeschlagen. Es wird an Hand der Aufgabe erlautert, die bei der Bestimmung von Beulwerten eingespannter rechteckiger Platten auftritt; fur den kleinsten positiven Eigenwert werden genaue untere und obere Schranken angegeben. Das vorgeschlagene Verfahren ist eng mit einer von N. J. Lehmann entwickelten Methode verwandt, es kann aber sehr viel leichter auf Eigenwertaufgaben Mφ = ΛNφ angewandt werden, bei denen M und N partielle Differentialoperatoren sind. In the present paper eigenvalue problems of the type Mφ = ΛNφ are considered, where M and N are linear symmetric operators in a pre-Hilbert space. A new procedure for calculating lower bounds for the eigenvalues is proposed. The procedure is explained by means of the problem occurring in the determination of the buckling values for built-in rectangular plates. For the smallest positive eigenvalue accurate lower and upper bounds are given. The proposed procedure is closely related to one developed by N. J. Lehmann, but it is essentially simpler to apply the new procedure to eigenvalue problems Mφ = ΛNφ, where M and N are partial differential operators.