On the Method of Characteristics in Rate‐Type Viscoelasticity

TLDR: In this paper, a sufficient condition on the integration step is given such that the total energy of the numerical solution be also a non-increasing function of the number of time integration steps.

Abstract: This paper deals with the standard method of characteristics for a system of partial differential equations encountered in viscoelasticity (and also in viscoplasticity, electric transmission lines, etc.). The second law of thermodynamics implies the existence of a nonlinear functional called the total energy, which for the exact solutions of the considered problems is a nonincreasing function of time. A sufficient condition on the integration step is given such that the total energy of the numerical solution be also a non-increasing function of the number of time integration steps. An example is given showing that, if this condition is violated then the numerical solution diverges in time. Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich mit Standard-Charakteristikenmethoden fur ein in der Viskoelastizitat (und auch in Viskoplastizitat, elektrischen Ubertragungsleitungen usw.) auftretendes partielles Differentialgleichungssystem. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik garantiert die Existenz eines Gesamt-Energie genannten nichtlinearen Funktionals, das fur die exakten Losungen des betrachteten Problems eine nicht-wachsende Funktion der Zeit ist. In einem Integrationsschritt wird eine hinreichende Bedingung dafur angegeben, das die Gesamt-Energie der numerischen Losung ebenfalls eine nichtwachsende Funktion der Anzahl der Zeit-Integrationsschritte ist. Es wird ein Beispiel angegeben, das zeigt, das die numerische Losung mit der Zeit divergiert, falls diese Bedingung verletzt ist.