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Ergodicity of stochastic differential equations with jumps and singular coefficients

Abstract: Nous montrons que les EDS dirigees par un bruit de Levy multiplicatif general avec des coefficients de diffusion et de saut Sobolev, et une derive integrable, sont fortement bien posees. De plus, nous etudions la propriete forte de Feller, l’irreductibilite ainsi que l’ergodicite exponentielle des semi-groupes correspondants quand les coefficients sont independants du temps et singulierement dissipatifs. En particulier, les grands sauts sont autorises dans l’equation. Pour aboutir au resultat principal, nous presentons une approche generale pour traiter les EDS avec sauts et coefficients singuliers, de telle sorte que nous devons seulement nous interesser aux estimees a priori de Krylov pour les EDS.

The asymptotic equivalence of the sample trispectrum and the nodal length for random spherical harmonics

Abstract: Nous etudions le comportement asymptotique de la longueur nodale de fonctions propres aleatoires $f_{\ell}$ du Laplacien spherique pour valeurs propres tres eleves $\ell\rightarrow+\infty$, c’est-a-dire la longueur de leur ensemble de niveau zero $f_{\ell}^{-1}(0)$. Nous demontrons que la longueur nodale est asymptotiquement equivalente, au sens de $L^{2}$, au « sample trispectrum », c’est-a-dire l’integral de $H_{4}(f_{\ell}(x))$, le polynome de Hermite d’ordre quatre evalue en $f_{\ell}$. Une consequence de ce resultat est un Theoreme Central Limite quantitatif (dans le sens de la distance de Wasserstein) pour la longueur nodale, quand l’energie tend vers l’infini.

Spectral radii of sparse random matrices

Abstract: Nous etablissons des bornes sur le rayon spectral pour une grande classe de matrices aleatoires creuses, qui inclut les matrices d’adjacence des graphes Erdős–Renyi inhomogenes Nos bornes d’erreur sont optimales pour une grande classe de matrices aleatoires En particulier, pour le graphe Erdős–Renyi $G(n,d/n)$, nos resultats impliquent que la plus petite et la deuxieme plus grande valeurs propres de la matrice d’adjacence convergent vers les bords du support de la distribution asymptotique des valeurs propres sous la condition $d/\log n\to \infty $ Avec le papier (Benaych-Georges, Bordenave and Knowles (2017)), ou nous analysons les valeurs propres extremes dans le regime complementaire $d/\log n\to 0$, ceci etablit une transition dans le comportement des valeurs propres dans le regime $d\asymp \log n$ Nos resultats s’appliquent aussi aux matrices non-hermitiennes, correspondant a des matrices d’adjacence de graphes diriges La demonstration combine (i) une nouvelle inegalite reliant le rayon spectral d’une matrice et le rayon spectral de sa version nonbacktracking avec (ii) une nouvelle application de la methode des moments pour les matrices nonbacktracking

Statistical limits of spiked tensor models

Abstract: Nous etudions les limites statistiques pour detecter et estimer une deformation de rang un d’un tenseur Gaussien symetrique aleatoire. Nous etablissons une borne inferieure et une borne superieure sur le rapport signal-bruit critique, sous diverses lois a priori pour le vecteur plante: (i) un vecteur unite aleatoire uniforme, (ii) des entrees i.i.d. $\pm1$, et (iii) un vecteur creux ou une fraction constante $\rho$ d’entrees sont i.i.d. $\pm1$ et les autres nulles. Pour chacun de ces cas, nos bornes superieures et inferieures coincident a un facteur $1+o(1)$ pres quand l’ordre $d$ du tenseur devient grand. Pour des signaux creux (iii), nos bornes sont aussi asymptotiquement tendues dans la limite $\rho\to0$ pour tout $d$ fixe (incluant le cas $d=2$ du PCA creux). Notre borne superieure pour (i) montre un phenomene rappelant le travail de Baik, Ben Arous et Peche: une valeur propre du tenseur perturbe emerge de l’interieur du spectre a un rapport signal-bruit strictement inferieur que quand la perturbation elle-meme sort de l’interieur du spectre; nous quantifions la taille de cet effet. Nous donnons aussi des resultats generaux pour une grande classe de lois a priori. En particulier, l’asymptotique quand $d$ devient grand de la valeur de seuil differe entre les problemes avec lois a priori discretes et continues. Finalement, pour les lois a priori (i) et (ii), nous verifions la prediction issue de la methode des repliques en physique statistique, qui est conjecturee donner l’information theorique exacte sur le seuil pour tout $d$ fixe. D’un interet independant, nous introduisons une amelioration a la methode du second moment par contiguite, sur laquelle notre borne inferieure est basee. Notre methode conditionne loin les rares « mauvais » evenements qui dependent des interactions entre le signal et le bruit. Ceci nous permet de resoudre le trou de facteur $\sqrt{2}$ present dans les articles precedents.

Sampling of probability measures in the convex order by Wasserstein projection

Abstract: Motivated by the approximation of Martingale Optimal Transport problems, we study sampling methods preserving the convex order for two probability measures $\mu$ and $ u$ on $\mathbb{R}^d$, with $ u$ dominating $\mu$. When $(X_i)_{1\le i\le I}$ (resp. $(Y_j)_{1\le j\le J}$) are i.i.d. according $\mu$ (resp. $ u$), the empirical measures $\mu_I$ and $ u_J$ are not in the convex order. We investigate modifications of $\mu_I$ (resp. $ u_J$) smaller than $ u_J$ (resp. greater than $\mu_I$) in the convex order and weakly converging to $\mu$ (resp. $ u$) as $I,J\to\infty$. In dimension 1, according to Kertz and R\"osler (1992), the set of probability measures with a finite first order moment is a lattice for the increasing and the decreasing convex orders. From this result, we can define $\mu\vee u$ (resp. $\mu\wedge u$) that is greater than $\mu$ (resp. smaller than $ u$) in the convex order. We give efficient algorithms permitting to compute $\mu\vee u$ and $\mu\wedge u$ when $\mu$ and $ u$ are convex combinations of Dirac masses. In general dimension, when $\mu$ and $ u$ have finite moments of order $\rho\ge 1$, we define the projection $\mu\curlywedge_\rho u$ (resp. $\mu\curlyvee_\rho u$) of $\mu$ (resp. $ u$) on the set of probability measures dominated by $ u$ (resp. larger than $\mu$) in the convex order for the Wasserstein distance with index $\rho$. When $\rho=2$, $\mu_I\curlywedge_2 u_J$ can be computed efficiently by solving a quadratic optimization problem with linear constraints. It turns out that, in dimension 1, the projections do not depend on $\rho$ and their quantile functions are explicit, which leads to efficient algorithms for convex combinations of Dirac masses. Last, we illustrate by numerical experiments the resulting sampling methods that preserve the convex order and their application to approximate Martingale Optimal Transport problems.

The sharp phase transition for level set percolation of smooth planar Gaussian fields

Abstract: We prove that the connectivity of the level sets of a wide class of smooth centred planar Gaussian fields exhibits a phase transition at the zero level that is analogous to the phase transition in Bernoulli percolation. In addition to symmetry, positivity and regularity conditions, we assume only that correlations decay polynomially with exponent larger than two - roughly equivalent to the integrability of the covariance kernel - whereas previously the phase transition was only known in the case of the Bargmann-Fock covariance kernel which decays super-exponentially. We also prove that the phase transition is sharp, demonstrating, without any further assumption on the decay of correlations, that in the sub-critical regime crossing probabilities decay faster than any polynomial. Key to our methods is the white-noise representation of a Gaussian field; we use this on the one hand to prove new quasi-independence results, inspired by the notion of influence from Boolean functions, and on the other hand to establish sharp thresholds via the OSSS inequality for i.i.d. random variables, following the recent approach of Duminil-Copin, Raoufi and Tassion

Heavy-tailed configuration models at criticality

Abstract: Nous etudions le comportement critique des tailles des composantes du modele de configuration lorsque la queue de la loi du degre d’un sommet choisi uniformement au hasard est une fonction a variation reguliere d’exposant $\tau -1$, ou $\tau \in (3,4)$ Nous montrons que les tailles des composantes sont d’ordre $n^{(\tau -2)/(\tau -1)}L(n)^{-1}$ ou $L(\cdot )$ est une fonction a variation lente Nous montrons egalement que les tailles des composantes, une fois ordonnees et remises a l’echelle, convergent en loi vers les longueurs ordonnees des excursions d’un processus de Levy rarefie Ceci montre que les limites d’echelle des tailles des composantes pour ces modeles de configuration a queue lourde sont dans une classe d’universalite differente des graphes aleatoires d’Erdos–Renyi De plus nous montrons que le vecteur de ces tailles de composantes remises a l’echelle et de leurs exces respectifs convergent en loi pour une topologie forte Notre approche resout une conjecture de Joseph (Ann Appl Probab 24 (2014) 2560–2594) sur les limites d’echelle de graphes simples uniformes a degres iid dans la fenetre critique, et met en lumiere les relations entre les limites d’echelle obtenues par Joseph et celles considerees dans cet article, qui se revelent tres differentes Par ailleurs, nous utilisons un modele de percolation pour etudier l’evolution des tailles des composantes et des aretes en exces a l’interieur de la fenetre critique, dont nous montrons qu’elle converge au sens des marginales de dimension finie vers le coalescent multiplicatif augmente introduit par Bhamidi et al (Probab Theory Related Fields 160 (2014) 733–796) Les resultats principaux de cet article sont montres sous des hypotheses assez generales sur les degres des sommets, et nous discutons des situations deja considerees ou ces hypotheses sont verifiees

Free energy of bipartite spherical Sherrington–Kirkpatrick model

Abstract: Nous considerons l’energie libre du modele spherique bipartite de Sherrington–Kirkpatrick et determinons l’energie libre limite a chaque temperature. Nous prouvons egalement la convergence de la loi des fluctuations de l’energie libre a temperature non critique. La limite est donnee par la distribution Gaussienne pour toutes les temperatures elevees et par la distribution de Tracy–Widom GOE pour toutes les temperatures basses. Le resultat est universel et l’analyse est applicable a un cadre plus general, y compris le cas ou le desordre est distribue de maniere non identique.

A Central Limit Theorem for the stochastic wave equation with fractional noise

Abstract: Nous etudions l’equation des ondes en une dimension, perturbee par un bruit gaussien multiplicatif, qui est blanc en temps et qui a la covariance d’un mouvement brownien fractionnaire avec parametre de Hurst $H\in [1/2,1)$ dans la variable d’espace. Nous demontrons que la moyenne spatiale normalisee de la solution sur un intervalle $[-R,R]$ converge, en la distance de la variation totale, vers une loi normale, quand $R$ tend vers l’infini. Nous prouvons aussi un theoreme central limite fonctionnel.

On the performance of the Euler–Maruyama scheme for SDEs with discontinuous drift coefficient

Abstract: De nombreux efforts ont ete consacres recemment a l’analyse de l’erreur $L_{p}$ de schema d’Euler–Maruyama pour des equations differentielles stochastiques (EDS) avec un coefficient de derive pouvant avoir des discontinuites en espace. Jusqu’a present, pour des EDS scalaires avec un coefficient de derive Lipschitz par morceaux et un coefficient de diffusion Lipschitz qui est non nul aux points de discontinuite du coefficient de derive, seule une borne d’erreur $L_{p}$ avec un taux d’au moins $1/(2p)$ – a ete obtenue. Dans cet article, nous montrons que sous les hypotheses precedentes, le schema d’Euler–Maruyama realise un taux d’erreur $L_{p}$ d’au moins $1/2$ pour tout $p\in [1,\infty )$, comme dans le cas d’EDS avec coefficients Lipschitz. La preuve de ce resultat se fonde sur une analyse detaillee de temps d’occupation bien choisis pour le schema d’Euler–Maruyama.

Sanov-type large deviations in Schatten classes

Abstract: Notons $\lambda_{1}(A),\ldots ,\lambda_{n}(A)$ les valeurs propres d’une matrice $A$ de taille $n\times n$. Soit $Z_{n}$ une matrice $n\times n$ choisie aleatoirement et uniformement dans l’equivalent matriciel de la boule unite de l’ensemble classique $\ell_{p}^{n}$, defini comme l’ensemble des matrices $n\times n$ auto-adjointes satisfaisant $\sum_{k=1}^{n}|\lambda_{k}(A)|^{p} \leq 1$. Nous prouvons un principe de grandes deviations pour la mesure spectrale aleatoire de la matrice $n^{1/p}Z_{n}$. Comme consequence, nous obtenons que la mesure spectrale de $n^{1/p}Z_{n}$ converge faiblement presque surement vers une mesure deterministe limite decrite par la loi d’Ullman lorsque $n$ tend vers l’infini. Nous presentons egalement les resultats correspondants pour les matrices aleatoires dans les classes de trace de Schatten, ou les valeurs propres sont remplacees par les valeurs singulieres.

Stability of the logarithmic Sobolev inequality via the Föllmer process

Abstract: On etudie les proprietes de stabilite et d’instabilite de l’inegalite de Sobolev logarithmique gaussienne, en termes de covariance, de distance de Wasserstein et d’information de Fisher, repondant a plusieurs questions ouvertes dans la litterature On etablit d’abord une forme amelioree de l’inegalite de Sobolev logarithmique qui est a la fois invariante par transformation lineaire et independante de la dimension Comme corollaire, on obtient une inegalite de stabilite optimale et independante de la dimension pour les mesures dont la covariance est majoree par l’identite On se penche ensuite sur la question de savoir dans quelle mesure le deficit dans l’inegalite de Sobolev logarithmique controle la covariance de la mesure On montre notamment que si la covariance est majoree par l’identite, alors a covariance fixee, la mesure gaussienne minimise ce deficit D’un autre cote on presente un contrexemple montrant que sans hypothese de covariance bornee, l’inegalite est instable Enfin, on etudie la question de la stabilite en termes de distance de Wasserstein, et on montre que meme en se restreignant aux mesures dont la covariance est bornee, il n’est pas possible d’obtenir un resultat de stabilite qui soit independant de la dimension Les contrexemples que nous exhibons suggerent une nouvelle notion de stabilite, en terme de proximite de la mesure a un melange de gaussiennes On demontre plusieurs resultats dans cette direction, certains etant independants de la dimension Ces resultats sont par ailleurs plus forts que certains resultats de stabilite qu’on trouve dans la litterature Nos techniques de preuve reposent fortement sur des methodes stochastiques

Spectral statistics of sparse Erdős–Rényi graph Laplacians

Abstract: Nous nous interessons aux statistiques, dans l’interieur du spectre, des valeurs propres de matrices laplaciennes de grands graphes d’Erdős–Renyi aleatoires dans le regime ou $p\geq N^{\delta}/N$ pour un $\delta>0$ fixe arbitraire. Nous montrons une loi locale jusqu’a l’echelle optimale $\eta \gtrsim N^{-1}$ qui implique que les vecteurs propres sont delocalises. Nous considerons les statistiques locales des valeurs propres et montrons que les statistiques des intervalles et les fonctions de correlation moyennees coincident avec le GOE dans l’interieur du spectre.

Asymptotics of free fermions in a quadratic well at finite temperature and the Moshe–Neuberger–Shapiro random matrix model

Abstract: Nous decrivons les statistiques locales de l’ensemble canonique de fermions libres dans un puits de potentiel quadratique a temperature finie, dans la limite ou le nombre de particules tend vers l’infini. Ce modele de fermions libres est equivalent a un modele matriciel aleatoire propose par Moshe, Neuberger et Shapiro. Les comportements a la limite precedemment obtenus pour l’ensemble grand-canonique sont observes dans l’ensemble canonique: Nous avons, au bord de l’ensemble, une transition de phase de la distribution de Tracy–Widom a la distribution de Gumbel via la distribution croisee de Kardar–Parisi–Zhang (KPZ), et dans l’ensemble, une transition de phase du processus ponctuel sinus au processus ponctuel de Poisson.

On a non-linear 2D fractional wave equation

Abstract: Nous nous interessons au modele d’equation des ondes stochastique non-lineaire suivant: \begin{equation*}\begin{cases}\partial^{2}_{t}u-\Delta u=u^{2}+\dot{B},\quad t\in[0,T],x\in\mathbb{R}^{2},\\u(0,\cdot)=\phi_{0},\qquad \partial_{t}u(0,\cdot)=\phi_{1},\end{cases}\end{equation*} ou $\phi_{0},\phi_{1}$ sont des conditions initiales deterministes dans un espace de Sobolev approprie et $\dot{B}$ represente un bruit fractionnaire espace-temps. Dans cette situation bi-dimensionnelle, notre strategie est basee sur un developpement de l’equation a l’ordre trois, qui, combine a une procedure de renormalisation de type Wick, nous permet d’etendre les resultats de Deya (2019) a des bruits plus rugueux. Nous mettons egalement en avant les limites de cette strategie particuliere en presence de processus tres irreguliers.

Stein's method for functions of multivariate normal random variables

Abstract: Par le theoreme de l’application continue, si une suite $(\mathbf{W}_{n})_{n\geq1}$ de vecteurs aleatoires de dimension $d$ converge en loi vers une loi normale multivariee $\Sigma^{1/2}\mathbf{Z}$, alors la suite des variables aleatoires $(g(\mathbf{W}_{n}))_{n\geq1}$ converge en loi vers $g(\Sigma^{1/2}\mathbf{Z})$ si $g:\mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{R}$ est continue. Dans cet article, nous developpons la methode de Stein pour obtenir des bornes explicites sur la distance entre $g(\mathbf{W}_{n})$ et $g(\Sigma^{1/2}\mathbf{Z})$, pour des metriques lisses sur l’espaces des probabilites. Nous obtenons plusieurs bornes dans le cas ou la $j$-eme coordonnee de $\mathbf{W}_{n}$ est donnee par $W_{n,j}=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n}X_{ij}$, ou les $X_{ij}$ sont independants. En particulier, si $g$ verifie certains conditions de derivabilite et de croissance, nous obtenons une borne d’ordre $n^{-(p-1)/2}$, pour des fonctions-test lisses, si les $p$ premiers moments des $X_{ij}$ coincident avec ceux de la loi normale. Si $p$ est un entier pair et $g$ est une fonction paire, ce taux de convergence peut etre encore ameliore en $n^{-p/2}$. Nous montrons que ces taux de convergence sont d’ordre optimal. Nous appliquons nos bornes generales a quelques exemples, incluant l’approximation en loi de statistiques suivant asymptotiquement une loi du chi-deux; l’approximation d’esperances de fonctions lisses de variables aleatoires de loi binomiales ou de Poisson; des taux de convergence pour la methode $\delta$; et une approximation variance-gamma quantitative de la statistique $D_{2}^{*}$ pour la comparaison sans alignement, dans le cas de suites binaires.

Nonparametric density estimation from observations with multiplicative measurement errors

Abstract: Dans cet article, nous etudions le probleme de l’estimation de densite ponctuelle a partir d’observations avec erreurs multiplicatives. Nous clarifions l’element essentiel de ce probleme: l’influence du point d’estimation sur la precision de l’estimation. En particulier, nous montrons que, selon que le point est eloigne de zero ou pas, il y a deux regimes differents qui s’expriment en termes de la vitesse de convergence d’un risque minimax. Dans les deux regimes, nous developpons des estimateurs de type noyau et prouvons des bornes superieures sur leur risque maximal, ceci sur une classe convenable non parametrique de densites. Nous montrons que les estimateurs proposes sont d’ordres optimaux en etablissant des bornes inferieures correspondantes sur le risque minimax. Enfin, nous testons notre procede d’estimation sur des donnees simulees.

Bounds on the Poincaré constant for convolution measures

Abstract: Nous demontrons une inegalite de type Shearer pour les constantes de Poincare, selon laquelle la constante correspondant a la convolution d’une famille de mesures peut etre controlee de maniere non-triviale par celles de convolutions de sous-familles. Ceci implique, par exemple, que les constantes de Poincare decroissent de maniere monotone le long du theoreme central limite. Nous demontrons egalement une estimee de stabilite independante de la dimension pour la sous additivite des constantes de Poincare de convolutions, ameliorant un resultat unidimensionnel similaire du a Johnson (Teor. Veroyatn. Primen. 48 (2003) 615–620). Comme consequence de nos arguments, nous montrons que les diverses proprietes de monotonie de l’entropie, de l’information de Fisher et de la constantes de Poincare pour les convolutions trouvent une meme source en l’inegalite de Shearer.

Comparing with octopi

Abstract: Les inegalites d’operateurs de nature geometrique ont ete tres utiles pour etudier le melange des marches aleatoires et la mecanique quantique. Nous suggerons une nouvelle approche pour exhiber des inegalites de ce type en utilisant l’inegalite « pieuvre » (octopus inequality) de Caputo, Liggett et Richthammer.

Hua–Pickrell diffusions and Feller processes on the boundary of the graph of spectra

Abstract: Nous considerons des dynamiques de diffusions coherentes, laissant les fameuses mesures de Hua–Pickrell, dependant d’un parametre complexe $s$, invariantes. Celles-ci donnent lieu a des processus de Feller–Markov sur la frontiere infini-dimensionnelle $\Omega $ du «graphe de spectres», l’analogue continu du graphe de Gelfand–Tsetlin, par la methode des entrelacements de Borodin et Olshanski. Dans le cas particulier de $s=0$, ce processus stochastique est etroitement relie au processus ponctuel Sine2 sur R qui decrit l’interieur du spectre des grandes matrices aleatoires. De maniere equivalente, ces dynamiques coherentes sont associees a des diffusions entrelacees dans des modeles de Gelfand–Tsetlin ayant certaines mesures invariantes de Gibbs. De plus, par une application de la transformation de Cayley lorsque $s=0$, nous obtenons des processus sur le cercle laissant invariant l’ensemble circulaire unitaire multiniveaux. Nous prouvons enfin que les processus de Feller sur $\Omega $ correspondant au mouvement brownien de Dyson et a son analogue stationnaire sont donnes par des systemes dynamiques deterministes tres simples et explicites.

Stability and mean-field limits of age dependent Hawkes processes

Abstract: Depuis la derniere decennie il s’est avere que la classe des processus de Hawkes fournit un bon modele pour decrire la connectivite fonctionnelle dans un reseau de neurones Dans cet article nous etudions une variante de ce processus, le processus de Hawkes structure en âge Cette structure en âge rajoute un comportement individuel apres les sauts a la dynamique de chaque composante, ce qui permet en particulier de decrire une periode refractaire durant laquelle l’influence du reseau est supprimee ou au moins modifiee Nous ameliorons les resultats de stabilite classiques pour les processus de Hawkes dans ce cadre En particulier, nous n’avons ni besoin de supposer que les intensites sont bornees, ni d’imposer une condition aux normes Lipschitz des fonctions taux de saut Lorsque les interactions entre les neurones sont du type champ moyen, nous etudions les limites en grande population et nous demontrons la propriete de propagation du chaos du systeme

Hydrodynamic limit for a facilitated exclusion process

Abstract: We study the hydrodynamic limit for a periodic 1-dimensional exclusion process with a dynamical constraint, which prevents a particle at site x from jumping to site x ± 1 unless site x 1 is occupied. This process with degenerate jump rates admits transient states, which it eventually leaves to reach an ergodic component, assuming that the initial macroscopic density is larger than 1 2 , or one of its absorbing states if this is not the case. It belongs to the class of conserved lattice gases (CLG) which have been introduced in the physics literature as systems with active-absorbing phase transition in the presence of a conserved field. We show that, for initial profiles smooth enough and uniformly larger than the critical density 1 2 , the macroscopic density profile for our dynamics evolves under the diffusive time scaling according to a fast diffusion equation (FDE). The first step in the proof is to show that the system typically reaches an ergodic component in subdiffusive time.

A perturbation analysis of stochastic matrix Riccati diffusions

Abstract: Les equations de Riccati matricielles jouent un role important dans la theorie du filtrage et du controle optimal. Cet article presente une theorie des perturbations d’une classe d’equations de Riccati matricielles stochastiques. Ces modeles probabilistes sont d’un usage courant dans la theorie des filtres de Kalman d’Ensemble. Ils representent dans ce contexte l’evolution des matrices de covariance empiriques associees a un ensemble de diffusions en interaction. Les perturbations aleatoires resultent des fluctuations stochastiques d’un systeme de particules de type champ moyen interagissant avec la mesure empirique du systeme. Nous presentons dans cet article une formule de Taylor non asymptotique pour des flots stochastiques de diffusion de Riccati matricelles par rapport a un parametre de fluctuation. Ces developpements sont fondes sur un nouveau calcul differentiel stochastique et une analyse fine de semigroupes non lineaires dans des espaces de matrices. Ces resultats permettent de quantifier avec precision les fluctuations des flots de matrices stochastiques autour des systemes limites a tout ordre. Nous illustrons ces resultats avec une preuve de la convergence des matrices empiriques de filtres de Kalman d’Ensemble vers la solution d’equations de Riccati deterministes lorsque le nombre de particules tends vers l’infini. Nous presentons dans ce cadre des estimations fines des biais et des variances, ainsi qu’un theoreme de la limite centrale fonctionnel au niveau du processus matriciel.

Noise reinforcement for Lévy processes

Abstract: Dans une marche aleatoire a pas renforces, a chaque instant entier et avec une probabilite fixee $p\in (0,1)$, le marcheur repete un de ses precedents pas tire uniformement au hasard, et avec probabilite $1-p$ effectue un nouveau pas independant de loi donnee Comme exemples dans la litterature figurent l’elephant random walk et le shark random swim Nous nous interessons ici a un analogue en temps continu, c’est-a-dire lorsque la marche aleatoire est remplacee par un processus de Levy Pour des parametres de memoire sous-critiques (ou encore admissibles) $p

On the thin-shell conjecture for the Schatten classes

Abstract: Nous etudions la conjecture de la variance (ou autrement dit, de la concentration du volume d’un convexe dans une petite couronne euclidienne) pour les classes de Schatten. En particulier, nous etablissons la conjecture pour la norme d’operateur, et nous ameliorons egalement le meilleur majorant connu, grâce a Barthe et Cordero-Erausquin (Proc. Lond. Math. Soc. 106 (2013) 33–64) ou Lee et Vempala (2017), dans quelques cas de plus. Nous montrons aussi qu’une condition necessaire pour que la conjecture soit vraie dans une des classes de Schatten est une propriete de correlation negative qui doit etre suffisamment forte: ceci implique que nous obtenons la validite de cette propriete dans tous les cas pour lesquels on peut demontrer la conjecture (comme par exemple pour la norme d’operateur), mais aussi dans tous les cas pour lesquels on peut obtenir une meilleure estimation que celle dans (Proc. Lond. Math. Soc. 106 (2013) 33–64) ou (Lee and Vempala (2017)). En ce qui concerne les demonstrations, notre point de depart consiste en des techniques qui ont ete utilisees dans (Math. Ann. 312 (1998) 773–783) et (Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat. 43 (2007) 87–99) pour les classes de Schatten dans le contexte d’autres problemes connexes.

On temporal regularity of stochastic convolutions in $2$-smooth Banach spaces

Abstract: Nous montrons que les trajectoires des solutions des equations aux derivees partielles stochastiques paraboliques ont la meme regularite en temps que le processus de Wiener (aussi loin que vont les connaissances actuelles en la matiere) La regularite temporelle est consideree dans l’espace de Besov–Orlicz $B^{1/2}_{\Phi _{2},\infty }(0,T;X)$ ou $\Phi _{2}(x)=\exp (x^{2})-1$ et $X$ est un espace de Banach $2$-lisse

Empirical risk minimization as parameter choice rule for general linear regularization methods.

Abstract: Nous considerons le probleme inverse stochastique de reconstruire $f$ a partir de donnees bruitees $Y=Tf+\sigma \xi $ ou $\xi $ est un bruite blanc et $T$ un operateur compact entre espaces de Hilbert. Considerant des methodes de reconstruction generales de la forme $\hat{f}_{\alpha }=q_{\alpha }(T^{*}T)T^{*}Y$ avec un filtre ordonne $q_{\alpha }$, nous examinons le choix du parametre de regularisation $\alpha $ en minimisant un estimateur non biaise du risque predictif $\mathbb{E}[\Vert Tf-T\hat{f}_{\alpha }\Vert^{2}]$. Le parametre correspondant $\alpha_{\mathrm{pred}}$ et son utilisation sont bien connus dans la litterature mais les inegalites oracles et les resultats d’optimalite dans ce cadre general sont inconnus. Nous prouvons une inegalite oracle (generalisee), qui relie le risque direct $\mathbb{E}[\Vert f-\hat{f}_{\alpha_{\mathrm{pred}}}\Vert^{2}]$ au risque de l’oracle de prediction $\inf_{\alpha >0}\mathbb{E}[\Vert Tf-T\hat{f}_{\alpha }\Vert^{2}]$. A partir de cette inegalite oracle nous sommes alors capable de conclure que la regle de choix du parametre examine est d’ordre optimale au sens minimax. Finalement nous presentons aussi des simulations numeriques qui confirment l’optimalite de l’ordre de la methode et la qualite du choix du parametre dans des situations discretes.

Renewal theorems and mixing for non Markov flows with infinite measure

Abstract: Nous obtenons des resultats de melange pour une large classe de flots et de semi-flots preservant une mesure de masse infinie (et qui ne sont pas necessairement markoviens). Erickson a prouve, entre autres choses, un theoreme de renouvellement fort dans le contexte de variables aleatoires independantes et identiquement distribuees. En utilisant la theorie des operateurs de renouvellement, nous etendons les methodes d’Erickson au cas du temps continu deterministe (et donc on i.i.d.) et en deduisons des resultats sur le melange. Nos resultats s’appliquent a des semi-flots et flots intermittents de type Pomeau–Manneville (a la fois de type markoviens ou de type non-markoviens) ainsi qu’a des suspensions au-dessus de transformations de Collet–Eckmann pour lesquelles la fonction toit est non-integrable.

Parabolic Anderson model with a fractional Gaussian noise that is rough in time

Abstract: Cet article concerne l’equation d’Anderson parabolique \begin{equation*}\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta u+u\frac{\partial^{d+1}W^{\mathbf{H}}}{\partial t\,\partial x_{1}\cdots \,\partial x_{d}} \end{equation*} engendree par un bruit fractionnaire de dimension $d+1$ avec un parametre de Hurst $\mathbf{H}=(H_{0},H_{1},\ldots ,H_{d})$, en portant une attention particuliere au cas ou certains des parametres $H_{0},\ldots ,H_{d}$ sont inferieurs a $1/2$. Le cas rugueux en espace avait fait l’objet du travail recent (Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat. 55 (2019) 941–976). Pour mettre en place la derniere piece du puzzle, cet article examine le cas $H_{0}<1/2$ en se penchant sur les problemes de resolution, de la formule des moments de Feynman–Kac et de l’intermittence du systeme.

Nonconventional moderate deviations theorems and exponential concentration inequalities

Abstract: Nous obtenons un theoreme de deviations moderees et des inegalites de concentration exponentielles (du type de Bernstein) pour des sommes «non-conventionnelles» de la forme $S_{N}=\sum_{n=1}^{N}(F(\xi_{q_{1}(n)},\xi_{q_{2}(n)},\ldots,\xi_{q_{\ell}(n)})-\bar{F})$, ou la plupart du temps nous considerons $q_{i}(n)=in$, mais nos resultats restent aussi vrais pour des $q_{i}(n)$ plus generaux tels que des polynomes. Ici, $\xi_{n}$, $n\geq 0$ est un processus vectoriel suffisamment melangeant avec des conditions de stationnarite, $F$ est une fonction satisfaisant certaines proprietes de regularite et $\bar{F}$ est une constante de centrage. Quand $\xi_{n}$, $n\geq 0$ sont independants et identiquement distribues, un principe de grande deviation a ete obtenu dans (Probab. Theory Related Fields 158 (2014) 197–224) et un des objectifs de cet article est d’obtenir des resultats analogues dans le cas faiblement dependant. Plusieurs resultats de type approximation normale sont aussi obtenus. En particulier, deux nouvelles preuves du theoreme central limite non-conventionnel sont donnees et une inegalite de type Rosenthal est obtenue. Nos resultats sont vrais par exemple quand $\xi_{n}=(T^{n}f_{i})_{i=1}^{\wp}$ ou $T$ est un sous-shift de type fini topologiquement melangeant, une application Gibbs–Markov, un diffeomorphisme hyperbolique, une tour de Young ou une transformation expansive pour une mesure invariante de Gibbs, tout comme dans le cas ou $\xi_{n}$, $n\geq 0$ forme une suite stationnaire exponentiellement (ou streched exponentiellement) $\phi$-melangeante, ce qui, par exemple, et vrai lorsque $\xi_{n}=(f_{i}(\Upsilon_{n}))_{i=1}^{\wp}$ ou $\Upsilon_{n}$ est une chaine de Markov satisfaisant une condition de Doeblin, consideree comme un processus stationnaire par rapport a une mesure invariante.