Showing papers in "Computing in 1970"

The finite element method for elliptic equations with discontinuous coefficients

Abstract: Numerical solutions of boundary value problems for elliptic equations with discontinuous coefficients are of special interest In the case when the interface (ie the surface of the discontinuity of the coefficients) is smooth enough, then also the solution is usually very smooth (except on the interface) To obtain a high order of accuracy presents some difficulty, especially if the interface does not fit with the elements (in the finite element method) In this case the norm of the error in the spaceW1/2 is of the orderh 1/2 (see eg [1]) and on one dimensional case it is easy to see that the accuracy cannot be improved In this paper we shall show an approach which avoids this difficulty The idea is similar to [2] We shall show the proposed approach on a model problem — theDirichlet problem with an interface forLaplace equation; this will avoid pure technical difficulties The boundary of the domain and the interface will be assumed smooth enough The sufficient condition for the smoothnees can be determined

Klassische Runge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle und ihre Anwendung auf Wärmeleitungsprobleme

Abstract: Es werden neue, expliziteRunge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mitgeteilt. Diese Formeln enthalten eine Schrittweiten-Kontrolle, die auf einer vollstandigen Erfassung des ersten Gliedes des lokalen Abbruchfehlers basiert. Die Formeln haben wesentlich kleinere Abbruchfehler als entsprechende Formeln anderer Autoren. Diese neuen Formeln eignen sich zur numerischen Integration von in den Raumvariablen diskretisierten Warmeleitungsproblemen, da die bei solchen Problemen auftretenden Stabilitatsverhaltnisse die zulassige Schrittweite vonRunge-Kutta-Formeln hoherer Ordnung beeintrachtigen wurden. Die Formeln werden auf ein Beispiel fur ein Warmeleitungsproblem angewandt.

Finite element method for domains with corners

Abstract: The rate of convergence of the finite element method is greatly influenced by the existence of corners on the boundary. The paper shows that proper refinement of the elements around the corners leads to the rate of convergence which is the same as it would be on domain with smooth boundary.

Pseudo-random numbers: A new proposal for the choice of multiplicators

Abstract: Pseudo-random numbers are usually generated by multiplicative methods. For binary computers the sequencesyi+1эa yi (mod 2k) are common and the derived numbersxi=yi/2k are taken as samples from the uniform distribution in (0, 1). In this paper 4a ≈2k ξ is proposed as a guide line for the choice of the multiplicatora where ξ is the golden section number\(\frac{1}{2}(\sqrt 5 - 1)\). Such values of the factor a have the property that an approximate knowledge ofyi will not yield information about the successoryi+1. Bounds for the autocorrelations of the entire sequences are derived. These are of the same order of magnitude asGreenberger's bounds in the case\(a \approx \sqrt {2^k }\). However, the precise evaluation of the serial correlations fork≤100 indicates that the factors 4a ≈2k ξ are superior. One million numbers of a special sequence were tested statistically. The included ALGOL and FORTRAN subroutines will enable programmers to make practical use of this paper.

Algebraische und metrische Strukturen in der Intervallrechnung und einige Anwendungen

Abstract: Die bei der numerischen Behandlung mathematischer Probleme auf digitalen Rechenanlagen auftretenden Rundungsfehler lassen sich, wie in [1], [6] und [8] gezeigt wird, mit Hilfe der Intervallrechnung erfassen.

A finite difference method for analyzing the compression of poro-viscoelastic media

Abstract: The progress of compression of a water saturated porous medium is derivable from the equation of continuity,Darcy's law, and an appropriate effective stressdilation relationship. Theories of secondary consolidation assume that the effective stress-dilatation relationship is time-dependent. One form of this type of characterization is a system of linear viscoelastic models. The system chosen consists of an elastic element in series with an arbitrary number ofKelvin units. The formulation of this system is a differential-integral equation. The integral portions of the equation are a series of convolution integrals. A finite difference scheme is developed in which the single governing differential-integral equation is broken up into a system of equations of the heat conduction andEuler types. A stability theorem is proved.

Über einen Automaten mit Pufferspeicherung

Abstract: Es wird ein Automat mit Speicherband eingefuhrt und in seiner Eigenschaft als erkennender Automat untersucht. Er kann sein Arbeitsband nur als Puffer benutzen, d. h. was zuerst eingelesen wird, wird auch zuerst wieder ausgelesen. Es werden verschiedene Modifikationen des Grundmodells, insbesondere aber die deterministische, in Realzeit arbeitende Version betrachtet, sowohl hinsichtlich der Lage der durch den Automatentyp definierten Sprachklasse in derChomsky-Hierarchie, als auch das Verhalten dieser Sprachen gegenuber gewissen Operationen. Einige Resultate uber Entscheidbarkeitsfragen werden zitiert.

Eingrenzung von Lösungen mit Hilfe der Regula falsi

Abstract: Es werden Verfahren vom Typ der Regula falsi fur Gleichungssysteme betrachtet und mit ihrer Hilfe Folgen von unteren und oberen Schranken fur eine Losung des Systems gewonnen. Es wird gezeigt, das die Folgen monoton konvergieren und ihre Konvergenzgeschwindigkeit uberlinear ist.

Symmetric two-step algorithms for ordinary differential equations

Abstract: For twostep schemes with symmetric coefficients (see (1.3)) we derive starting and smoothing procedures such that the final result possesses an asymptotic expansion in powers ofh 2. Extensions to 4th order algorithms are presented and various relations to other results are indicated.

k-Band-Simulation von k-Kopf-Turing-Maschinen

Abstract: Es werdenTuring-Maschinen mitk unabhangigen Lese-Schreib-Kopfen auf einem Band undTuring-Maschinen mit je einem Kopf aufk Bandern betrachtet. Es wird gezeigt, das sich ohne Verandern der Rechenzeit jede Maschine von einem Typ durch eine Maschine vom andern Typ simulieren last. Daraus wird gefolgert, das es fur die Rechengeschwindigkeit vonTuring-Maschinen nur auf die Zahl der Kopfe, nicht aber auf deren Verteilung auf einzelne Bander ankommt.

Die binären Systeme der Intervallarithmetik

Abstract: Die vorliegende Arbeit befast sich mit der Untersuchung der vier binaren Operationen der Intervallarithmetik. Dabei stehen Einbettungs- und Darstellungsmoglichkeiten der zugehorigen algebraischen Systeme im Vordergrund. Durch die Angabe vollstandiger Darstellungssysteme fur die einzelnen Strukturen konnen unter anderem die schwer erfasbaren Prinzipien der Multiplikation und Division von Intervallen durch einfache Schemata beschrieben werden. Auch die vorhandenen Untergruppen der Menge der Intervalle hinsichtlich der Multiplikation werden erwahnt.

Interpolation auf einem unendlichen Intervall

Abstract: Es wird eine Interpolation in aquidistanten Stutzstellen eines unendlichen Intervalls in Form einer Reihe untersucht, die eng verwandt ist zur trigonometrischen Interpolation. Unter schwachen Bedingungen an das Verhalten im Unendlichen wird fur die Interpolation von Funktionen, die in einem zur reelen Achse parallelen Streifen der komplexen Ebene holomorph sind, ein Restglied angegeben, das auf eine exponentielle und gleichmasige Konvergenz des Interpolationsfehlers gegen Null bei kleiner werdender Schrittweite schliesen last. Durch Differentiation bzw. Integration der Interpolationsreihe werden Formeln zur numerischen Differentiation und zur Integration uneigentlicher Integrale gewonnen.

The Common Algebraic Structure of Exit-Automata and Machines

Abstract: A notion, of “exit-automaton” is introduced to play a role analogous to “machine scheme” or “program scheme”. Exit-automata and machines are equipped with algebraic structure leading to a simple characterization of their behaviors.

Zur Mehrdeutigkeit bei der Approximation in der L p -Norm mit Hilfe rationaler Funktionen

Abstract: In einer Arbeit vonCheney undGoldstein aus dem Jahre 1967 wurden die Probleme untersucht, die sich im Zusammenhang mit der rationalen Approximation einer gegebenen stetigen Funktion in derL2-Norm stellen. In der vorliegenden Arbeit soll unter anderem die vonCheney undGoldstein offengelassene Frage der Eindeutigkeit der besten rationalen Approximation untersucht werden.

Die Berechnung von Schranken für den Wertebereich eines Polynoms in einem Intervall

Abstract: Mit Hilfe einer Fehlerschranken-Arithmetik werden Schranken fur das Minimum und Maximum eines PolynomsP(x), dessen Koeffizienten “Intervallzahlen” sein konnen, in einem Intervall [a, b] berechnet. Dazu werden die Nullstellen vonP′ (x) in Intervalle eingeschlossen, auf denenP (x) in geeigneter Weise ausgewertet wird. Die Nullstellen vonP′ (x) erhalt man dadurch, das man ausgehend von einer AbleitungP (i) (x) mitP (i) (x)≠o in [a, b] sukzessive die Nullstellen vonP (i−1) (x) bisP′ (x) bestimmt. Dabei bedient man sich der Tatsache, das zwischen zwei Nullstellen vonP (l) (x) hochstens eine Nullstelle vonP (l−1) (x) liegt. Die Nullstellen werden jeweils mittels des Halbierungsverfahrens in Intervalle eingeschlossen.

An imbedding method of iteration with global convergence

Abstract: In the solution methods introduced byDavidenko andGavurin the nonlinear equation is simulated by an initial value problem involving a differential equation. In this paper a related imbedding method has been presented, where a sequence of locally convergent iteration processes produces a global convergence even without any knowledge of a first approximation.

Stochastic behaviour of a complex system under priority repair

Abstract: The behaviour of a complex system, consisting of components forming two classesL 1 andL 2 where failure inL 1 brings about the complete breakdown of the system and that inL 2 causes the system to work in reduced efficiency state, has been investigated. The repair of failed components in these classes is carried out under three different repair disciplines, viz., head of line, preemptive resume and preemptive repeat.Laplace Transforms of the probabilities that the system is in normal-efficiency, reduced-efficiency and in down-state, have been obtained. Asymptotic solutions also have been derived.

Ableitungsfreie Verfahren ohne Auflösung linearer Gleichungen

Abstract: Zur Losung von nichtlinearen Gleichungen in normierten Raumen werden Iterationsverfahren angegeben, die Funktionswerte und Steigungen erster Ordnung benutzen. Es ist moglich, die Steigungen durch Ableitungen zu ersetzen. Die linearen Gleichungen, die in jedem Iterationsschritt auftreten, werden nur naherungsweise gelost. Dabei ist es wichtig, das hierdurch keine Verringerung der Konvergenzgeschwindigkeit eintritt.

The common algebraic structure of exit-automata and machines@@@Die allgemeine algebraische Struktur von Ausgangs-Automaten und Maschinen

Abstract: SummaryA notion of “exit-automaton” is introduced to play a role analogous to “machine scheme” or “program scheme”. Exit-automata and machines are equipped with algebraic structure leading to a simple characterization of their behaviors.ZusammenfassungEin Begriff des “Ausgangs-Automaten” wird eingeführt, welcher eine analoge Rolle zu den Begriffen “Maschinen-Schema” oder “Programm-Schema” spielen soll. Ausgangs-Automaten und Maschinen sind mit einer algebraischen Struktur versehen, die eine einfache Charakterisierung ihres Verhaltens ermöglicht.

Die Distributivität in der Intervallarithmetik

Abstract: Diese Arbeit behandelt die vonMoore [1] aufgeworfene Frage nach einer Charakterisierung der Sonderfalle, fur die das distributive Gesetz in der Intervallarithmetik Gultigkeit hat. Das Ausgangsproblem wird in acht Falle unterteilt, die einzeln behandelt werden; in dreien gilt das Gesetz immer, in weiteren dreien versagt es. Die Bedingungen, die sich fur die beiden restlichen Falle angeben lassen, werden zu einer allgemeinen Charakterisierung zusammengefast.

On the use of generalized inverses in function minimization

Abstract: In this paper an attempt is made to provide a unified derivation of various minimization algorithms which use the notion of updating an estimate of the inverse of theHessian matrix. A new method for updating the estimated inverse of theHessian matrix and a simple technique for making computational improvements in the various algorithms are also given.

Über die aus monoton zerlegbaren Operatoren gebildeten Iterationsverfahren

Abstract: Vor allem vonCollatz, Schroder undAlbrecht wurden mit Hilfe des Begriffes des monotonen Operators verschiedene Iterationsverfahren betrachtet, welche Einschliesungsmengen zum Beispiel fur die Losung eines linearen oder nichtlinearen Gleichungssystems liefern. Im folgenden wird der Zusammenhang zwischen diesen Verfahren und der Intervallrechnung hergestellt. Es zeigt sich, das diese Verfahren als Spezialfalle in den auf Intervallbasis gebildeten Iterationsverfahren enthalten sind. Im abschliesenden Teil der Arbeit wird ein allgemeiner Konvergenzsatz in einemRieszschen Raum angegeben.

Convergence properties of discrete analogs of orthogonal polynomials

Abstract: If (,) is an inner product on [a, b], and if [,] N is a discrete inner product analogous to (,), and such that [1, 1] N =(1, 1), then, a sufficient condition that the discrete orthogonal polynomials converge to the corresponding continuous orthogonal polynomials likeN −p , is that [1,t k ] N =(1,t k )+O(N −p ),k=1, 2, ... A similar result holds for correspondingFourier segments.

Direkte Verfahren zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen

Abstract: Wenn hinreichend genaue Naherungen fur die Nullstellen eines Polynoms vorliegen, liefern numerische Iterationsverfahren Folgen von Naherungswerten, fur welche die zugehorigen Folgen der Betrage der Funktionswerte monoton fallen Es wird ein mit „Spiralisierung” bezeichneter zweidimensionaler Suchprozes angegeben, mit dem man derartige Folgen fur beliebige Ausgangsnaherungen erhalt Auf diese Weise gewinnt man direkte, d h fur beliebige Naherungen konvergente Verfahren Die Folgen der Naherungswerte werden durch Extrapolation verbessert ALGOL-Prozeduren und numerische Ergebnisse fur ein direktesNewton-Verfahren sowie fur ein direktes Verfahren 3 Ordnung, das derMullerschen Methode verwandt ist, werden angegeben Die Methoden lassen sich auch zur Berechnung der Nullstellen analytischer Funktionen verwenden

Stochastic behaviour of a stand-by redundant complex system with imperfect switching over devices

Abstract: The behaviour of a stand-by redundant complex system with two types of components has been evaluated under imperfect switching over device.Laplace transforms of various state probabilities and steady state probabilities have been calculated. A particular case has also been discussed.

Über- und Unterrelaxation bei linearen Gleichungssystemen

Abstract: Es wird das Verfahren der „Successive-Over-Relaxation” bei linearen GleichungssystemenAX=X-BX=C untersucht. Mit einem Lemma vonCollatz undAlbrecht lassen sich bei symmetrischer und schiefsymmetrischer MatrixB Bereiche\(_\omega \) bestimmen, die alle Eigenwerte der IterationsmatrixTω enthalten. Daraus ergeben sich Aussagen uber einen „gunstigen” Relaxationsfaktorω*, die als Naherungen fur den optimalen Relaxationsfaktor benutzt werden konnen.

Verbesserung von Schranken für Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Abstract: Es wird ein Verfahren beschrieben, wie man die Fehlerschranken eines Eigenwertes und des zugeordneten Eigenvektors einer Matrix mit Hilfe einer Intervallarithmetik verbessern kann. Dabei wird dem komplexen Eigenwertproblemn-ter Ordnung ein reelles nichtlineares Gleichungssystem der Ordnungn+2 zugeordnet, so das nur ein geringer Mehraufwand an Rechenarbeit im Vergleich zur Einschliesung reeller Eigenwerte erforderlich ist. Die Konvergenz der Iterationsfolge hangt im wesentlichen von den Anfangs-Schranken des Eigenwertes und nicht von den Schranken des Eigenvektors ab.

ALGOL-60 Algorithmen zur Auflösung linearer Gleichungssysteme mit Fehlererfassung

Abstract: In der vorliegenden Arbeit werden zwei Algorithmen zur Behandlung von linearen Gleichungssystemen mit Intervallkoeffizienten in ALGOL-60 angegeben. Damit ist es moglich auf Rechenanlagen mit ALGOL-60 Compilern solche Aufgaben unter Einschlus samtlicher Rundungsfehler durchzufuhren. Zum Verstandnis der angegebenen Prozeduren ist einleitend eine knapp gehaltene Darstellung der programmierten Verfahren vorangestellt.

A fast random number generator with good statistical properties

Abstract: Recently,P. A. Lewis, A. S. Goodman, andJ. M. Miller carried out extensive statistical tests on a random number generator of congruential type [3]. They showed that this generator has good statistical properties. Based on a careful analysis of the number theoretical properties of a class of generators, of which the above is a member, we have significantly increased its speed. For example, on the IBM 360/67 the time per calculation of one random number has been reduced from 14.25 μs to 9.25 μs and on the IBM 360/91 from 3.25 μs to 1.3 μs. The modified generator owes its increased speed to a replacement of a division operation by an addition and two shift instructions and the removal of a subsequent overflow test.

A computer-oriented representation of matrices

Abstract: In many practical problems matrices become extremely large. So their representations grow up to data structure problems. It is necessary to arrange their elements and substructures for effective data processing. A method for eliminating redundancy is presented which is best suited for large, e. g. sparse matrices. A matrix description language, given inBackus normal form, is chosen which fits to the data structure of the method proposed.