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Existence of Stein kernels under a spectral gap, and discrepancy bounds

Abstract: Nous prouvons l’existence de noyaux de Stein pour les mesures de probabilites sur $\mathbb{R}^{d}$ satisfaisant une inegalite de Poincare, et obtenons des bornes sur la discrepance de Stein de telles mesures. Des applications au theoreme central limite sont donnees, dont une nouvelle borne sur la vitesse de convergence en distance de Kantorovitch–Wasserstein $W_{2}$ avec un taux et une dependance en la dimension optimales. Comme corollaire, nous obtenons une version quantitative d’une borne sur la constante de Poincare de mesures de probabilites satisfaisant une contrainte sur le moment d’ordre 2. Les resultats sont plus generalement valides dans le cadre de mesures verifiant une inegalite de Poincare a poids inversee. La preuve est basee sur des arguments simples d’analyse fonctionnelle. De plus, nous demontrons deux proprietes generales sur la discrepance de Stein, valide des lors qu’un noyau de Stein existe : la discrepance de Stein est strictement decroissante le long du TCL, et elle controle le moment d’ordre 3 d’un vecteur aleatoire.

Branching diffusion representation of semilinear PDEs and Monte Carlo approximation

Abstract: We provide a representation result of parabolic semi-linear PD-Es, with polynomial nonlinearity, by branching diffusion processes. We extend the classical representation for KPP equations, introduced by Skorokhod [23], Watanabe [27] and McKean [18], by allowing for polynomial nonlinearity in the pair (u, Du), where u is the solution of the PDE with space gradient Du. Similar to the previous literature, our result requires a non-explosion condition which restrict to " small maturity " or " small nonlinearity " of the PDE. Our main ingredient is the automatic differentiation technique as in [15], based on the Malliavin integration by parts, which allows to account for the nonlin-earities in the gradient. As a consequence, the particles of our branching diffusion are marked by the nature of the nonlinearity. This new representation has very important numerical implications as it is suitable for Monte Carlo simulation. Indeed, this provides the first numerical method for high dimensional nonlinear PDEs with error estimate induced by the dimension-free Central limit theorem. The complexity is also easily seen to be of the order of the squared dimension. The final section of this paper illustrates the efficiency of the algorithm by some high dimensional numerical experiments.

Liouville quantum gravity spheres as matings of finite-diameter trees

Abstract: Nous montrons que la sphere de gravite quantique de Liouville d’aire unite peut etre construite de deux facons equivalentes. La premiere, introduite par les auteurs et Duplantier dans (Liouville quantum gravity as a mating of trees (2014) Preprint), utilise la mesure d’excursion d’un processus de Bessel pour definir une variante du champ libre gaussien sur le cylindre. La seconde utilise une boucle d’un mouvement brownien correle et un « accouplement d’arbres » pour produire une sphere de gravite quantique de Liouville decoree par un chemin remplissant l’espace. Dans le cas particulier ou $\gamma=\sqrt{8/3}$, nous presentons une troisieme construction equivalente, utilisant la mesure d’excursion d’un processus de Levy stable d’exposant $3/2$ (sans sauts negatifs) pour produire une paire d’arbres de disques quantiques que l’on peut accoupler pour obtenir une sphere decoree par un $\mathrm{SLE}_{6}$. Cette construction intervient dans un programme ayant pour but de montrer que la sphere de gravite quantique de Liouville pour $\gamma=\sqrt{8/3}$ est equivalente a la carte brownienne.

Paracontrolled distributions on Bravais lattices and weak universality of the 2d parabolic Anderson model

Abstract: Nous developpons une version discrete de la theorie des distributions paracontrolees comme outil pour deduire les limites d’echelles des modeles discrets, et nous proposons une formulation des distributions paracontrolees dans les espaces de Besov avec poids. De plus, nous obtenons une approche martingale pour controler systematiquement les moments des polynomes des variables aleatoires i.i.d., et pour deduire leurs limites d’echelles. Comme application, un resultat d’universalite faible pour le modele parabolique d’Anderson est obtenu : nous etudions un modele non lineaire d’une population dans un potentiel aleatoire, et demontrons, sous des hypotheses faibles, que le modele converge vers le modele parabolique d’Anderson lineaire.

Brownian disks and the Brownian snake

Abstract: Nous donnons une nouvelle construction des disques browniens, qui ont ete definis par Bettinelli et Miermont comme limites d’echelle de quadrangulations avec frontiere quand la taille de la frontiere tend vers l’infini. Notre methode est semblable a la construction de la carte brownienne, mais elle utilise la mesure d’excursion positive du serpent brownien introduite recemment. Cette mesure d’excursion implique un arbre aleatoire continu dont les sommets recoivent des labels positifs, qui correspondent aux distances depuis la frontiere dans notre approche du disque brownien. Nous donnons plusisurs applications de cette construction. En particulier, nous montrons que la mesure uniforme sur la frontiere peut etre obtenue comme limite de la mesure de volume (convenablement normalisee) sur un petit voisinage tubulaire de la frontiere. Nous montrons aussi que les composantes connexes du complementaire du filet brownien sont des disques browniens, comme cela est suggere dans le travail recent de Miller et Sheffield. Finalement, nous montrons que les composantes connexes du complementaire d’une boule centree au point distingue de la carte brownienne sont, conditionnellement a leurs volumes et leurs perimetres, des disques browniens independants.

A large deviation principle for empirical measures on Polish spaces: Application to singular Gibbs measures on manifolds

Abstract: On montre un principe de grandes deviations pour une suite de processus ponctuels definis par des mesures de probabilites de Gibbs dans un espace polonais. Il est obtenu comme consequence d’un principe de Laplace pour des mesures de Gibbs non normalisees. On considere quatre applications: Des mesures de Gibbs conditionnees dans des espaces compacts, des gaz de Coulomb sur des varietes riemanniennes compactes, les mesures de Gibbs habituelles sur l’espace euclidien et les zeros des polynomes aleatoires gaussiens. Finalement, on etudie la generalisation des points Fekete et on prouve une version deterministe du principe de Laplace appelee $\Gamma$-convergence. Notre approche est partiellement inspiree par les travaux de Dupuis et ses coauteurs. C’est notablement naturelle et generale en comparaison avec les strategies habituelles pour les mesures de Gibbs singulieres.

Convergence of the free Boltzmann quadrangulation with simple boundary to the Brownian disk

Abstract: Nous demontrons que la quadrangulation de Boltzmann libre avec un bord simple de perimetre fixe, munie de sa metrique de graphe, de sa mesure d’aire naturelle, et du chemin qui decrit sa frontiere, converge dans la limite d’echelle vers le disque brownien libre de Boltzmann. La topologie de cette convergence est celle de Gromov–Hausdorff–Prokhorov-uniforme (GHPU), qui est l’analogue naturel de la topologie de Gromov-Hausdroff pour des espaces metriques mesures decores par une courbe. Nous deduisons de cela qu’une quadrangulation aleatoire de la sphere, decoree par une marche aleatoire auto-evitante de longueur $2l$, converge en loi pour la topologie GHPU vers l’espace metrique mesure et decore par une courbe que l’on obtient en recollant ensemble deux disques browniens independants le long de leurs bords.

Location of the spectrum of Kronecker random matrices

Abstract: Pour une classe generale de grandes matrices aleatoires par blocs non hermitiennes ${\boldsymbol X}$, nous montrons qu’avec tres grande probabilite, il n’y a pas de valeurs propres en dehors d’un ensemble deterministe. Cet ensemble est obtenu a partir de l’equation de Dyson pour l’hermitisation de ${\boldsymbol X}$ comme l’approximation auto-coherente du pseudo-spectre. Nous demontrons que l’analyse de l’equation de Dyson provenant de (Probab. Theory Related Fields (2018)) permet d’etudier de facon unifiee de nombreux ensembles de matrices structurees.

Quasi-independence for nodal lines

Abstract: \{We prove a quasi-independence result for level sets of a planar centered stationary Gaussian field with covariance $(x,y)\mapsto\kappa(x-y)$. As a first application, we study percolation for nodal lines in the spirit of~\cite{bg_16}. In the said article, Beffara and Gayet rely on Tassion's method (\cite{tassion2014crossing}) to prove that, under some assumptions on $\kappa$, most notably that $\kappa \geq 0$ and $\kappa(x)=O(|x|^{-325})$, the nodal set satisfies a box-crossing property. The decay exponent was then lowered to $16+\varepsilon$ by Beliaev and Muirhead in \cite{bm_17}. In the present work we lower this exponent to $4+\varepsilon$ thanks to a new approach towards quasi-independence for crossing events. This approach does not rely on quantitative discretization. Our quasi-independence result also applies to events counting nodal components and we obtain a lower concentration result for the density of nodal components around the Nazarov and Sodin constant from~\cite{nazarov2015asymptotic}.

Products of random matrices from polynomial ensembles

Abstract: Tres recemment nous avons montre que la transformee spherique est un outil pratique pour etudier la relation entre la densite conjointe des valeurs singulieres et celle des valeurs propres pour des matrices aleatoires bi-unitairement invariantes. Dans le travail present, nous discutons les implications de ces resultats pour les produits de matrices aleatoires. En particulier, nous derivons une formule de transformation pour les densites conjointes d’un produit de deux matrices aleatoires bi-unitairement invariantes independantes, la premiere d’un ensemble polynomial et la seconde d’un ensemble polynomial de type derive. Cela nous permet de rederiver et de generaliser certains resultats recents dans la theorie des matrices aleatoires, y compris une formule de transformation pour les noyaux des processus ponctuels determinantals associes. A partir de ces resultats, nous construisons une famille continue d’ensembles de matrices aleatoires interpolant entre les produits de differents nombres de matrices de Ginibre et de matrices de Ginibre inverses. De plus, nous etablissons un lien avec la distribution asymptotique des exposants de Lyapunov des produits d’un grand nombre de matrices aleatoires bi-unitairement invariantes de dimension fixe.

Limit law of a second class particle in TASEP with non-random initial condition

Abstract: On considere le processus d’exclusion simple totalement asymetrique avec des condition initiales deterministes, densite $\lambda$ sur $\mathbb{Z}_{-}$ et $\rho$ sur $\mathbb{Z}_{+}$. Initialement on place une particule de deuxieme classe a l’origine. Si $\lambda<\rho$, un choc est cree et la particule de deuxieme classe le suit avec vitesse $1-\lambda-\rho$. Dans la limite $t\to\infty$, on demontre que les fluctuations de la position de la particule de deuxieme classe sont de l’ordre $t^{1/3}$ et on obtient sa loi limite. On determine aussi la loi limite du nombre de sauts faits par la particule de deuxieme classe jusqu’a l’instant $t$.

The Circular Law for random regular digraphs

Abstract: Soit $\log^{C}n\le d\le n/2$ pour une constante suffisamment grande $C>0$. Notons $A_{n}$ la matrice d’adjacence d’un graphe dirige aleatoire $d$-regulier sur $n$ sommets. Nous montrons que lorsque $n$ tend vers l’infini, la distribution empirique des valeurs propres de $A_{n}$, convenablement normalisee, suit la loi du cercle. Une etape cruciale consiste a obtenir une borne inferieure quantitative asymptotique pour la plus petite valeur singuliere de perturbations additives de $A_{n}$.

Large deviations for the two-dimensional stochastic Navier-Stokes equation with vanishing noise correlation

Abstract: We are dealing with the validity of a large deviation principle for the two-dimensional Navier-Stokes equation, with periodic boundary conditions, perturbed by a Gaussian random forcing. We are here interested in the regime where both the strength of the noise and its correlation are vanishing, on a length scale $\e$ and $\d(\e)$, respectively, with $0<\e,\ \d(\e)<<1$. Depending on the relationship between $\e$ and $\d(\e)$ we will prove the validity of the large deviation principle in different functional spaces.

Scaling limits for the critical Fortuin–Kasteleyn model on a random planar map I: Cone times

Abstract: Sheffield a introduit en 2011 un modele d’accumulation de stocks, qui code une carte planaire aleatoire decoree par une collection de boucles, echantillonnee selon le modele de percolation de Fortuin–Kasteleyn (FK) critique. Il a demontre que certaines marches aleatoires planes associees au modele en volume infini convergent dans la limite d’echelle vers un mouvement brownien plan correle. Nous ameliorons ce resultat de limite d’echelle en montrant que les temps correspondant aux boucles FK (ou « commandes flexibles ») dans le modele d’accumulation de stocks convergent dans la limite d’echelle vers les temps de cone d’angle $\pi/2$ du mouvement brownien limite. Cet enonce implique un resultat de limite d’echelle pour la loi jointe des aires et des longueurs de bord des composantes connexes bornees du complementaire des boucles FK sur la carte de volume infini. A la lumiere du codage de Duplantier, Miller et Sheffield (2014), l’objet limite coincide avec la loi jointe des aires et des longueurs de bords des composantes connexes bornees du complementaire d’une collection de boucles CLE sur une surface independante dont la loi est donnee par la gravite quantique de Liouville.

Discretisation of regularity structures

Abstract: Nous introduisons un cadre general permettant d’appliquer la theorie des structures de regularite a des discretisations d’EDP stochastiques. L’approche suivie dans cet article est que, au lieu de nous focaliser sur un type d’approximation specifique, nous supposons donnee une echelle $\varepsilon>0$ et une “boite noire” decrivant le comportement des objets discretises aux echelles plus petites.

Parabolic Anderson model with rough or critical Gaussian noise

Abstract: Cet article s’interesse a l’equation d’Anderson parabolique \[{\frac{\partial u}{\partial t}}={\frac{1}{2}}\Delta u+u{\frac{\partial^{d+1}W^{\mathbf{H}}}{\partial t\partial x_{1}\cdots\partial x_{d}}}\] engendree par un bruit fractionnaire de dimension $(d+1)$ et de parametre de Hurst $\mathbf{H}=(H_{0},H_{1},\ldots,H_{d})$. L’existence et l’unicite, la formule des moments de Feynman–Kac et les exposants precis d’intermittence sont formules dans le cas ou l’un des parametres $H_{1},\ldots,H_{d}$ est inferieur a un demi, et dans le cas ou la condition de Dalang \[d-\sum_{k=1}^{n}H_{j}<1\quad\mbox{est remplacee par }d-\sum_{k=1}^{n}H_{j}=1.\] Des resultats partiels sont aussi obtenus dans la cas $H_{0}<1/2$, ce qui donne une intuition de ce qui doit etre attendu dans le cas ou le bruit Gaussien est rugueux en temps.

Heat kernel estimates for anomalous heavy-tailed random walks

Abstract: Pour de nombreux graphes reguliers de type fractal, la marche aleatoire simple satisfait des estimations de type sous-Gaussiennes. La technique de la subordination montre alors qu’il existe des processus de saut a queue lourde dont l’indice des sauts est superieur ou egale a 2. Pour de tels processus, les techniques usuelles pour les estimations loin de la diagonale ne fonctionnent pas. Nous etendons la celebre methode de Davies dans le cas de ces processus a sauts « anormaux. » Nous obtenons des bornes superieures et inferieures precises sur le noyau de transition par des methodes qui sont stables sous de petites perturbations des sauts.

Local limits of large Galton–Watson trees rerooted at a random vertex

Abstract: Nous discutons de plusieurs formes de convergence du voisinage d’un sommet aleatoire uniforme dans des arbres aleatoires simplement generes, lorsque leur taille tend vers l’infini. Pour le cas standard d’un arbre de Galton–Watson critique conditionne a etre grand, la limite est le sin-tree invariant aleatoire construit par Aldous (1991). Dans le regime de condensation, nous decrivons en toute generalite le comportement asymptotique local depuis un sommet aleatoire jusqu’a son premier ancetre de grand degre. Au dela de cet ancetre distingue, differents comportements peuvent apparaitre selon les poids de branchement. Dans un sous-regime de condensation complete, nous obtenons la convergence vers un nouvel arbre limite, qui decrit la forme asymptotique du voisinage du chemin complet depuis un sommet aleatoire jusqu’a la racine. Cela inclut le cas ou la distribution de la descendance suit une loi de puissance, a un facteur pres qui varie lentement a l’infini.

Mixing and decorrelation in infinite measure: The case of the periodic Sinai billiard

Abstract: Cet article est une contribution a l’etude du melange d’observables de systemes dynamiques preservant une mesure infinie. Nous etudions le cas de $\mathbb{Z}^{d}$-extensions de systemes dynamiques probabilises ayant de bonnes proprietes spectrales. Nous etablissons des resultats generaux et les illustrons par plusieurs exemples. Notre motivation principale est l’etude de la vitesse de melange pour des observables regulieres du billard de Sinai $\mathbb{Z}^{2}$-periodique, pour lequel nous obtenons des resultats de types differents selon que l’horizon soit fini ou infini. Nous etablissons un resultat de melange du premier ordre lorsque l’horizon est infini. Dans le cas ou l’horizon est fini, nous etablissons un developpement asymptotique de tout ordre, permettant l’etude de la vitesse de melange pour des observables d’integrale nulle. Ce dernier resultat est relie a un developpement de Edgeworth dans le theoreme limite local.

Homogenization theory for the random conductance model with degenerate ergodic weights and unbounded-range jumps

Abstract: Nous considerons les proprietes d’homogeneisation de l’operateur de Laplace discret avec des conductances aleatoires. Nous demontrons l’homogeneisation de l’equation de Poisson discrete et des plus hauts elements du spectre de l’operateur de Dirichlet dans un domaine limite. Nous supposons les conductances stationnaires, ergodiques et strictement positives a plus proches voisins. Compare aux resultats precedents, nous remplacons l’ellipticite uniforme par des conditions d’integrabilite des moments des conductances. De plus, nous autorisons des sauts de tailles arbitraires. En l’absence de sauts longs, les conditions sur les moments sont optimales pour l’homogeneisation spectrale. Elles correspondent a la condition necessaire du theoreme central limite pour les marches aleatoires en conductances aleatoires. Nous utilisons l’homogeneisation spectrale pour demontrer un principe de grandes deviations gele pour le temps local normalise de la marche aleatoire dans une suite croissante de boites. Nos demonstrations sont basees sur un resultat de compacite pour l’energie de Dirichlet, les inegalites de Poincare, l’iteration de Moser et la convergence a deux echelles.

On time scales and quasi-stationary distributions for multitype birth-and-death processes

Abstract: Nous considerons une classe de processus de naissance-et-mort decrivant une population constituee de $d$ sous-populations de types differents qui interagissent entre elles. L’espace d’etat est $\mathbb{Z}^{d}_{+}$ (il est donc non borne). Nous supposons que la population s’eteint presque surement, de sorte que l’unique distribution de probabilite stationnaire est la masse de Dirac a l’origine. Nous faisons dependre ces processus d’un parametre d’echelle $K$ qu’on peut interpreter comme l’ordre de grandeur de la taille totale de la population au temps $0$. Etant donne un intervalle de temps, il est bien connu que de tels processus, normalises par $K$, sont proches, dans la limite $K\to+\infty$, des solutions d’une certaine equation differentielle dans $\mathbb{R}_{+}^{d}$ dont le champ de vecteurs est determine par les taux de naissance et de mort du processus. Nous considerons le cas ou le champ de vecteurs possede un unique point fixe attractif a l’interieur de l’orthant positif, tandis que l’origine est un point fixe repulsif. On s’attend a ce que, pour $K$ grand, le processus reste dans le voisinage du point fixe attractif pendant tres longtemps avant d’etre absorbe a l’origine. Afin de decrire precisement ce comportement, nous demontrons l’existence d’une distribution quasi-stationnaire (dqs, en abrege). Nous etablissons une borne pour la distance en variation totale entre le processus conditionne a ne pas s’eteindre avant le temps $t$ et la dqs. Cette borne est exponentiellement petite en $t$ pour $t\gg\log K$. En particulier, nous obtenons une estimation du temps moyen d’extinction dans la dqs. Nous quantifions egalement la distance entre le processus (non conditionne a la non-extinction) et une certaine combinaison convexe de la masse de Dirac a l’origine et de la dqs, ceci pour des temps beaucoup plus grands que $\log K$ et beaucoup plus petits que le temps moyen d’extinction, qui est exponentiellement grand en $K$. Insistons sur le fait que nous sommes interesses par ce qui se passe pour $K$ fini. Nous obtenons ainsi des resultats hors de portee des techniques de grandes deviations.

On intermediate level sets of two-dimensional discrete Gaussian free field

Abstract: Nous considerons le champs Gaussien libre discret (DGFF) sur des versions renormalisees sur le reseau carre de domaines continus suffisamment reguliers $D\subset\mathbb{C}$ et decrivons la limite d’echelle, incluant la structure locale, des lignes de niveau lorsque que la hauteur croit comme $\lambda$-fois la hauteur du maximum absolu, pour tout $\lambda\in(0,1)$. Nous montons que, dans la limite d’echelle, la position normalisee d’un point typique $x$ tire aleatoirement sur cette ligne de niveau a la loi de la mesure de Gravite Quantique de Liouville (LQG) dans $D$ avec parametre egal a $\lambda$-fois sa valeur critique, la valeur du champs en $x$ ayant une mesure d’intensite exponentielle et la configuration pres de $x$, reduite par la valeur en $x$, ayant la loi d’un champ libre epingle DGFF reduit par un multiple adequat du noyau potentiel. En particulier, la loi de la taille totale de la ligne de niveau, proprement normalisee, converge vers celle de la masse totale de la mesure LQG. Ceci ameliore considerablement les resultats precedents de Daviaud (Ann. Probab. 34 (2006) 962–986).

On the fourth moment condition for Rademacher chaos

Abstract: En adaptant le point de vue spectral propose par Ledoux (Ann. Probab. 40 (6) (2012) 2439–2459) dans le cadre des generateurs des diffusions Markoviennes, qui a egalement ete exploite recemment dans la situation non-diffusive d’une mesure aleatoire de Poisson (Ann. Probab. (2017)), nous etudions la condition du quatrieme moment pour des integrales multiples discretes relatives a des suites de Rademacher generales, c.a.d. non-symetriques et non-homogenes, et nous demontrons que, dans ce cas, le quatrieme moment ne gouverne pas completement leur normalite asymptotique. En effet, il faut aussi tenir compte de l’influence maximale des fonctions de noyau correspondantes. En particulier, nous demontrons qu’il n’y a pas de theoreme du quatrieme moment exact pour des integrales multiples discretes de l’ordre $m\geq2$ relatives a une suite de Rademacher symetrique. Ce comportement, qui contraste avex les situations Gaussiennes (Ann. Probab. 33 (1) (2005) 177–193) et Poissoniennes (Ann. Probab. (2017)), ressemble fortement a celui des $U$-statistiques degenerees et non-symetriques dans l’article classique (J. Multivariate Anal. 34 (2) (1990) 275–289).

On the spectral gap of spherical spin glass dynamics

Abstract: Nous considerons le temps d’atteinte de l’equilibre pour la dynamique de Langevin du modele de verre de $p$-spin spherique de taille $N$. Nous montrons que la constante de log-Sobolev et le trou spectral sont d’ordre $1$ a temperature suffisamment grande, alors que le trou spectral decroit exponentiellement en $N$ a temperature suffisamment basse. Ceci confirme l’existence d’une phase dynamique de haute temperature et d’une phase dynamique verre concernant le trou spectral. Les arguments cles de ces resultats sont la comprehension du processus extremal et de l’energie libre restreinte de Subag–Zeitouni et Subag.

Estimating functions for SDE driven by stable Lévy processes

Abstract: This paper is concerned with parametric inference for a stochastic differential equation driven by a pure-jump Levy process, based on high frequency observations on a fixed time period. Assuming that the Levy measure of the driving process behaves like that of an α-stable process around zero, we propose an estimating functions based method which leads to asymptotically efficient estimators for any value of α ∈ (0, 2) and does not require any integrability assumptions on the process. The main limit theorems are derived thanks to a control in total variation distance between the law of the normalized process, in small time, and the α-stable distribution. This method is an alternative to the non Gaussian quasi-likelihood estimation method proposed by Masuda [20] where the Blumenthal-Getoor index α is restricted to belong to the interval [1, 2).

Activated random walk on a cycle

Abstract: Nous considerons la marche aleatoire activee (Activated Random Walk, ARW), un systeme de particules avec conservation de masse sur le cycle $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Partant d’un etat initial avec une densite $\mu >0$ de particules actives, chacune d’entre elles evolue selon une marche simple symetrique a taux $1$, et s’endort a taux $\lambda >0$. Les particules endormies deviennent actives lorsqu’elles entrent en contact avec d’autres particules actives. Plusieurs resultats recents se sont penches sur la fixation ou la non-fixation de la dynamique en volume infini, en fonction des parametres $\mu $ et $\lambda $. Sur le graphe fini $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, a moins qu’il y ait plus de $n$ particules, le processus se fixe (en atteignant un etat absorbant) presque surement en temps fini. Nous etablissons un premier resultat rigoureux sur ces systemes finis, confirmant des predictions bien connues de la litterature de physique statistique, en montrant que le nombre d’etapes avant fixation est lineaire en $n$ (a des termes poly-logarithmiques pres) lorsque la densite est suffisamment petite par rapport au taux d’endormissement, et exponentielle en $n$ lorsque le taux d’endormissement est suffisamment petit par rapport a la densite, ce qui reflete la transition de phase entre fixation et non-fixation etablie dans (Invent. Math. 188 (2012) 127–150) pour le systeme infini.

Sticky couplings of multidimensional diffusions with different drifts

Abstract: On presente une nouvelle approche de couplage de deux processus de Ito $(X_{t})$ et $(Y_{t})$ multi dimensionnels et non degeneres qui suivent une dynamique avec des drifts differents. Le couplage est collant dans le sens qu’il existe un processus stochastique $(r_{t})$, qui resout une equation differentielle stochastique en dimension un avec un comportement collant a zero, de sorte que presque surement, $|X_{t}-Y_{t}|\leq r_{t}$ pour tous $t\ge0$. Le couplage est construit comme une limite faible de couplages markoviens. On fournit des bornes explicites, non asymptotiques et stables a long terme pour la probabilite de l’evenement $\{X_{t}=Y_{t}\}$.

Functional limit theorem for the self-intersection local time of the fractional Brownian motion

Abstract: Soit $\{B_{t}\}_{t\geq0}$ un mouvement brownien fractionnaire $d$-dimensionel avec parametre de Hurst $0

On the equivalence between some jumping SDEs with rough coefficients and some non-local PDEs

Abstract: On etudie certaines EDS a sauts et les equations de Fokker–Planck (ou Kolmogorov progressives) correspondantes, qui sont des EDP non-locales. On suppose seulement que les coefficients sont mesurables et a croissance au plus lineaire. On montre que pour toute solution faible $(f_{t})_{t\in[0,T]}$ de l’EDP, il existe une solution faible a l’EDS, dont les lois marginales sont donnees par $(f_{t})_{t\in[0,T]}$. On en deduit que pour toute donnee initiale, l’existence pour l’EDP est equivalente a l’existence faible pour l’EDS, et que l’unicite en loi pour l’EDS implique l’unicite pour l’EDP. Nous etendons ainsi des idees de Figalli (J. Funct. Anal. 254 (2008) 109–153) concernant des EDS continues et des EDP locales.

Comparing mixing times on sparse random graphs

Abstract: Il est naturel de s’attendre a ce que la marche aleatoire sans rebroussement melange plus vite que la marche aleatoire simple, mais jusqu’ici, cela n’etait prouve que dans le cas des graphes reguliers. Pour analyser le cas de graphes irreguliers typiques, soit $G$ un graphe aleatoire a $n$ sommets de degres au moins $3$ et distribues selon une loi a queue exponentielle. On determine le temps de melange partant du pire point de depart pour la marche aleatoire simple sur $G$, et l’on montre qu’avec grande probabilite, cette marche presente le phenomene de cutoff au temps ${\mathbf{h}}^{-1}\log n$, ou ${\mathbf{h}}$ est l’entropie asymptotique de la marche aleatoire simple sur un arbre de Galton–Watson qui est une approximation locale de $G$. (Precedemment, cela n’etait connu que pour des points de depart typiques.) De plus, on montre que ce temps de melange est strictement plus grand que celui de la marche aleatoire sans rebroussement, via une comparison delicate des entropies sur l’arbre de Galton–Watson.