Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation and Testing

TLDR: The relationship between co-integration and error correction models, first suggested in Granger (1981), is here extended and used to develop estimation procedures, tests, and empirical examples.

Abstract: The relationship between co-integration and error correction models, first suggested in Granger (1981), is here extended and used to develop estimation procedures, tests, and empirical examples. If each element of a vector of time series x first achieves stationarity after differencing, but a linear combination a'x is already stationary, the time series x are said to be co-integrated with co-integrating vector a. There may be several such co-integrating vectors so that a becomes a matrix. Interpreting a'x,= 0 as a long run equilibrium, co-integration implies that deviations from equilibrium are stationary, with finite variance, even though the series themselves are nonstationary and have infinite variance. The paper presents a representation theorem based on Granger (1983), which connects the moving average, autoregressive, and error correction representations for co-integrated systems. A vector autoregression in differenced variables is incompatible with these representations. Estimation of these models is discussed and a simple but asymptotically efficient two-step estimator is proposed. Testing for co-integration combines the problems of unit root tests and tests with parameters unidentified under the null. Seven statistics are formulated and analyzed. The critical values of these statistics are calculated based on a Monte Carlo simulation. Using these critical values, the power properties of the tests are examined and one test procedure is recommended for application. In a series of examples it is found that consumption and income are co-integrated, wages and prices are not, short and long interest rates are, and nominal GNP is co-integrated with M2, but not M1, M3, or aggregate liquid assets.

Full text

106 Классические работы по эконометрике Seminal papers in econometrics
ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА / Applied econometrics2015, 39 (3)
Коинтеграция
В
2003годуШведскаяакадемиянаукобъявилаоприсужденииНобелев-
скойпремиипоэкономикеРобертуЭнглуиКлайвуГрэнджеруза«ме-
тодыанализаэкономическихвременныхрядовсобщимтрендом»,так
называемыеметодыкоинтеграции.Ихстатья,переводкоторойприводится
ниже,заложилаосновывэтойобластииизменилаподходыприкладныхма-
кроэкономистовканализуданных.
Идеякоинтеграцииявляетсяоченьестественнымразвитиемидеиэкономи-
ческогоравновесия,еслипринятьвовниманиенестационарностьбольшинства
макроэкономическихпеременных.Втовремякакстационарныевременныепе-
ременныепринимаютзначениянедалекоотсвоегосреднего,частовозвращаясь
кнему,длянестационарныхпеременныхожидаемоевремявозвратаксредне-
мубесконечно,иониобладаютсвойствомдалекоуходитьотсвоегосреднего.
Нестационарностьбольшинствамакроиндикаторов—этохорошоизученная
эмпирическаяданность.Зачастуюэкономическоеравновесиепонимаетсякак
связьмеждунесколькимипеременными,«подталкивающая»некоторуюлиней-
нуюкомбинациюэтихпеременныхкнулюнастолькосильно,чтоотклонения
отнуляоченьнезначительны.Такимобразом,эталинейнаякомбинациянестационарныхпере-
менныхоказываетсястационарной,аизначальныепеременныекоинтегрированными.
Хотясамаконцепциякоинтеграцииоченьестественна,эконометрическиеметоды,необходи-
мыедляработысней,существенноотличаютсяотклассическихэконометрическихпринципов,
используемыхвмикроэконометрике.Различиявметодахстольсущественны,чтоприпервом
прочтенииприведеннаянижестатьяможетвызватьудивлениеучитателя,хорошознакомого
склассическойэконометрикой.Начнемстого,чтобольшаячастьклассическогорегрессионного
анализапостроенанапонятииэкзогенности,втовремякаккоинтеграционныерегрессиидают
состоятельныеоценки,дажеесливсепеременныеэндогенны,болеетого,прямаяиобратнаяре-
грессиидаютпрактическиодинаковыйрезультат—вещь,невозможнаявмикроэконометрике.
Сложностьработыскоинтеграциейзаключаетсявтом,чтознакомыеэконометристамстати-
стикисходятсякнестандартнымасимптотическимраспределениямитребуютнестандартных
критическихзначений.ЭнглиГрэнджерпоказывают,чтовполнеестественноежеланиеизбе-
жатьэтисложностипутемпереходакпервымразностямпеременныхявляетсяошибочнымша-
гомиведетксущественносмещеннымошибкам.Смещениевоценкахвозникаетиз-затого,что
тасамаястационарнаялинейнаякомбинациянестационарныхпеременныхявляетсянеобходи-
мымрегрессоромврегрессиипервыхразностей.Этарегрессияназываетсямодельюкоррекции
ошибок.Авторырассматриваютвопросдвухшаговойоценкимоделикоррекцииошибок,атакже
вопростестированиякоинтеграции.
ИдеиистатьиЭнглаиГрэнджеравыделилимакроэконометрикуитеориювременныхрядов
вотдельныйразделэкономики.РобертЭнглизвестентакжесвоимиработамипостохастиче-
скойволатильности(моделиARCHиGARCH),которыебылиназванывофициальномобъяв-
ленииНобелевскогокомитета.КлайвГрэнджерявляетсяавторомизвестнойконцепции«при-
чинностипоГрэнджеру».АвторыпроработаливуниверситетеКалифорниивСан-Диегооколо
30лет,преждечемвышлинапенсиюв2003году.КлайвГрэнджерушелизжизнив2009году.
А. Е. Микушева

Роберт Ф. Энгл, К. У. Дж. Грэнджер
107
Applied econometrics / ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА
Seminal papers in econometrics Классические работы по эконометрике
2015, 39 (3)
Прикладная эконометрика, 2015, 39 (3), с. 107–135.
Applied Econometrics, 2015, 39 (3), pp. 107–135.
Co-Integration and Error Correction:
Representation, Estimation, and Testing
Robert F. Engle and C. W. J. Granger
Коинтеграция и коррекция ошибок:
представление, оценивание и тестирование
1
Роберт Ф. Энгл, К. У. Дж. Грэнджер
2
В работе исследуется взаимосвязь между моделями коинтеграции и коррекции ошибок,
изначально предложенная в (Granger, 1981), предлагаются новые методы оценивания
и тестирования, рассматриваются эмпирические примеры.
Если каждая компонента векторного временного ряда x
t
не стационарна, но стано-
вится стационарной после взятия первых разностей, а некоторая линейная комбина-
ция ax
t
стационарна, такой временной ряд называется коинтегрированным с коин-
теграционным вектором a. Если существует несколько линейно независимых коинте-
грационных векторов, то в этом случае a — это матрица, составленная построчно
из коинтеграционных векторов. Если интерпретировать равенство ax
t
=
0 как долго-
срочное равновесие, то наличие коинтеграции означает, что отклонение от равно-
весия является стационарным, с ограниченной дисперсией, даже в том случае, когда
исходные ряды являются нестационарными и имеют бесконечную дисперсию.
В статье доказана теорема о представлении, основанная на статье (Granger, 1983),
в которой связываются понятия скользящего среднего, авторегрессии и коррек-
ции ошибок для коинтегрированных систем. Векторная авторегрессия в разностях
1
Оригинальнаястатья:RobertF.EngleandC.W.J.Granger(1987).Co-IntegrationandErrorCorrection:Rep-
resentation,Estimation,andTesting.Econometrica,Vol.55,No.2(Mar.,1987),pp.251–276.©EconometricSociety.
The copyrighttothisarticleisheldbytheEconometricSociety,http://www.econometricsociety.org/.Itmaybe
downloaded,printedandreproducedonlyforpersonalorclassroomuse.Absolutelynodownloadingorcopyingmay
bedonefor,oronbehalfof,anyfor-protcommercialrmorforothercommercialpurposewithouttheexplicit
permissionoftheEconometricSociety.Forthispurpose,contacttheEditorialOfceoftheEconometricSocietyat
econometrica@econometricsociety.org.
РедакцияблагодаритEconometricSocietyзаразрешениенапубликациюпереводастатьи.
ПереводстатьивыполненподредакциейП.К.Катышева.
2
Robert Fry Engle — Professor,NewYorkUniversitySternSchoolofBusiness.
Clive
William John Granger (1934–2009).
АвторывыражаютблагодарностьDavidHendryиSamYooзамножествоважныхиполезныхобсуждений
ипредложений,такжекакиGeneSavin,DavidDickey,AlokBhargavaиMarcoLippi.Онипризнательныдвум
рецензентамзадетальнуюконструктивнуюкритику,атакжеYoshiBaba,SamYooиAlvaroEcribanoзатворче-
скивыполненныечисленныерасчетыипримеры.ИсследованиевыполненоприфинансовойподдержкеНаци-
ональногонаучногофонда(США)SES-80–08580иSES-82–08626.Предыдущаяверсияэтойстатьиназывалась
«Спецификациядинамическоймоделисравновеснымиограничениями:Коинтеграцияикоррекцияошибок».

108 Классические работы по эконометрике Seminal papers in econometrics
ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА / Applied econometrics2015, 39 (3)
несовместима с этими представлениями. В статье предложена простая, но асим-
птотически эффективная двухшаговая оценка. Тестирование коинтеграции сочетает
в себе задачи тестирования единичных корней и тесты с параметрами, неидентифи-
цируемыми при нулевой гипотезе. Предложены и проанализированы семь тестовых
статистик. Методом Монте-Карло получены критические значения этих статистик.
Мощность предложенных тестов проанализирована с использованием полученных
критических значений, и одна процедура тестирования рекомендуется для применения.
В ряде примеров было обнаружено, что потребление и доход, краткосрочные и долго-
срочные процентные ставки являются коинтегрированными, заработные платы и це-
ны не коинтегрированы, номинальный ВНП коинтегрирован с М2, но не с М1, М3 или
с совокупными ликвидными активами.
Ключевые слова: коинтеграция; векторная авторегрессия; единичные корни; коррекция оши-
бок; многомерные временные ряды; тесты Дики–Фуллера.
JEL classification: C01; C12; C30; C33; C51
3
.
1. Введение
И
ндивидуальнаяэкономическаяпеременная,рассматриваемаякаквременнойряд,мо-
жетменятьсявесьмазначительно,однаковстречаютсятакиепеременные,откоторых
можноожидать,что,будучиобъединеннымивпару,подобныерядыбудутнеслиш-
комудалятьсядруготдруга.Обычноэкономическаятеорияпредлагаетнекоторыймеханизм,
удерживающийтакиерядывместе.Примерамимогутбытькраткосрочныеидолгосрочные
процентныеставки,ассигнованиякапиталаирасходы,доходыирасходыдомохозяйств,
ценыодноготоваранаразличныхрынкахилиценыблизкихтоваров-заменителейнаодном
рынке.Подобнаяидеявозникаетпривзгляденаравновесиекакнастационарноесостоя-
ние,вкотороестремитсявернутьсяэкономикаприлюбомотклоненииотэтогосостояния.
Еслиx
t
являетсявекторомэкономическихпеременных,томожносказать,чторавновесие
достигаетсяпривыполнениилинейногоограничения:
0
t
x
α
′
=
.
Какправило,x
t
небудетнаходитьсявравновесии,ипоэтомуодномернуюпеременную
tt
zx
α
′
= можноназватьошибкойилиотклонениемотравновесия.Еслипонятиеравновесия
даетправильнуюспецификациюэконометрическоймодели,тоэкономикадолжнапредпо-
читатьмалоезначениеz
t
большому.
Этиидеилегливосновуданнойстатьи,исихпомощьюпоказано,чтовклассемоделей,
известныхкакмоделикоррекцииошибок,долгосрочныекомпонентыпеременныхсвязаны
условиямиравновесия,втовремякаккраткосрочныеимеютгибкуюдинамическуюспе-
цификацию.Длятогочтобыэтоутверждениебыловерным,используетсяусловиекоинте-
грации,котороевпервыебыловведеновработах(Granger,1981)и(Granger,Weiss,1983);его
точноеопределениедановследующемразделе.Вразделе3обсуждаютсянесколькопред-
ставленийкоинтегрированныхсистем,раздел4содержитописаниепроцедуроценивания,
авразделе5приведенысоответствующиетесты.Некоторыеприложенияпредставлены
вразделе6,раздел7содержитвыводы.Вразделе4детальнорассмотренпростойпример,
которыйможетбытьполезендлямотивацииизучениятакихсистем.
3
JELclassicationдобавленыредактором.

Роберт Ф. Энгл, К. У. Дж. Грэнджер
109
Applied econometrics / ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА
Seminal papers in econometrics Классические работы по эконометрике
2015, 39 (3)
2. Интеграция, коинтеграция и коррекция ошибок
СогласнотеоремеВольда,всякийодномерныйстационарныйвременнойрядбезде-
терминированнойкомпонентыможетбытьпредставленкакнекоторыйпроцессбесконеч-
ногоскользящегосреднего,которыйтакжеможноаппроксимироватьпроцессомсколь-
зящегосреднегоконечногопорядка.Болееподробносм.(Box,Jenkins,1970)или(Granger,
Newbold,1977).Часто,однако,дляобеспечениястационарностиэкономическихрядовне-
обходимобратьразности.Этоприводиткследующемуизвестномуопределениюинтег-
рации.
Определение. Временной ряд без детерминированной компоненты называется инте-
грированным порядка d и обозначается
()
t
x Id , если его разность порядка d допускает
стационарное обратимое ARMA представление.
Вбольшейчастистатьидляпростотыбудутрассмотренытолькозначения
0d =
и
1d =
,
нопочтивсерезультатымогутбытьобобщенынадругиеслучаи,включаядробнуюразност-
нуюмодель.Такимобразом,если
0d =
,тосамряд
t
x будетстационарным,адля
1d =
он
будетстационаренвпервойразности.
Поведение
(0)I
и
(1)I
рядовсущественноотличается.Длядетальногорассмотрениясм.,
например,(Feller,1968)или(Granger,Newbold,1977).
(а)Если (0)
t
xI иимеетнулевоесреднее,то:(i)дисперсия
t
x ограничена;(ii)иннова-
ции(шоки)имеюттолькократковременныйэффектназначения
t
x ;(iii)спектр
()f
ω
ря-
даx
t
обладаетсвойством
0 (0)f< <∞
;(iv)среднеевремямеждупоследовательнымипере-
сечениямиуровня
0x =
конечно;(v)автокорреляции
k
ρ
быстроубываютсростомk,так
чтоихсуммаограничена.
(b)Если (1)
t
xI с
0
0x = ,то:(i)дисперсия
t
x стремитсякбесконечностипри
t →∞
;
(ii)инновацииимеютпостоянныйэффектназначение
t
x ,т.к.
t
x представляетизсебя
суммувсехпредыдущихизменений;(iii)прималых
ω
спектр
t
x имеетаппроксимацию
2
()
d
fA

ωω
−
,вчастности
(0)f = ∞
;(iv)среднеевремямеждупоследовательнымипере-
сечениямиуровня
0x =
равнобесконечности;(v)теоретическиеавтокорреляции 1
k
ρ
→
длявсехkпри
t →∞
.
Бесконечностьтеоретическойдисперсиивременногоряда
(1)I
объясняетсяполностью
вкладомнизкихчастотилидолгосрочнойчастиэтогоряда.Поэтомупосравнениюсрядом
(0)I
ряд
(1)I
болеегладкий,имеетдоминирующиедлинныеколебания.Из-заотноситель-
ныхразмеровдисперсийсуммаряда
(0)I
иряда
(1)I
естьряд
(1)I
.Болеетого,если
a
и
b
константы,
0b ≠
,иесли
()
t
x Id ,то
t
a bx+ такжебудетрядом
()Id
.
Еслиобаряда ,
tt
xy
являются
()Id
,товобщемслучаелинейнаякомбинация
tt t
z x ay= −
такжебудет
()Id
.Однако,возможно,что
()
t
z Id b − ,
0b >
.Этоозначает,чтонадолго-
срочныекомпонентырядовнакладываетсянекотороеспецифическоеограничение.Рассмо-
тримслучай
1db= =
,т.е.
t
x ,
t
y являются
(1)I
сдоминирующимидолгосрочнымиком-
понентами,ноz
t
является
(0)I
безсильныхнизкихчастот.Инымисловами,константаa
выбранатак,чтодолгосрочныекомпоненты
t
x и
t
y восновномкомпенсируются.Еслиже
1a =
,торасплывчатоеутверждение«x
t
иy
t
немогутотклонятьсяслишкомдалекодруг
отдруга»приобретаетболееточнуюформу:«разностьx
t
иy
t
есть
(0)I
».Использование
постоянной
a
попростуозначаетнекотороемасштабирование,котороедолжнобытьис-

110 Классические работы по эконометрике Seminal papers in econometrics
ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА / Applied econometrics2015, 39 (3)
пользованопередвзятиемразности
(0)I
.Следуетподчеркнуть,чтотакоеa,длякоторого
(0)
t
zI ,можетинесуществовать.
Аналогичныйслучай:линейнаякомбинация
t
z парывременныхрядов
t
x и
t
y ,каждый
изкоторыхсодержитзначимыесезонныекомпоненты,небудетсодержатьсезонности.По-
нятно,чтотакоеможетпроисходить,новесьмаредко.
Дляформализацииэтихидейвводитсяследующееопределениеиз(Granger,1981;Granger,
Weiss,1983).
Определение. Компоненты векторного временного ряда
t
x
называются коинтегриро-
ванными порядка d, b и обозначаются
(,)
t
x CI d b
 , если: (i) все компоненты
t
x
являются
()Id
; (ii) существует вектор
( )
0
α
≠ такой, что
( )
tt
z x Id b
α
′
= − ,
0b >
. Вектор a на-
зывается коинтеграционным вектором.
Вслучае
1d =
,
1b =
наличиекоинтеграцииозначает,чтовсекомпонентывектора
t
x яв-
ляютсярядами
(1)I
,аошибкаравновесия
t
z есть
(0)I
.Значит,если
t
z имеетнулевоесред-
нее,тоэтотрядбудетредкодалекоотклонятьсяотнуляичастопересекатьнулевойуровень.
Инымисловами,времяотвременибудетдостигатьсяточноеравновесиеилиблизкоекне-
мусостояние.Втожевремя,если
t
x неявляетсякоинтегрированным,процесс
t
z может
блуждать,далекоотклоняясьотнуляиредкопересекаянулевойуровень,ивэтомслучае
теорияравновесиянеимеетпрактическогозначения.Возможностьсниженияпорядкаин-
теграцииозначаетналичиеспециальныхотношений,следствиякоторыхможноинтерпре-
тироватьитестировать.Однако,есливсеэлементы
t
x ужеявляютсястационарными,т.е.
(0)I
,тоошибкаравновесияz
t
неимеетотличительныхсвойств,еслионатожеесть
(0)I
.
Возможно,что ( 1)
t
zI − ,тогдаегоспектрравеннулюнанулевойчастоте,ноеслилюбая
изпеременныхсодержитошибкуизмерения,этосвойствоможетбытьневыполненовоб-
щемслучае,ипоэтомуданныйслучайнепредставляетпрактическогоинтереса.Приинтер-
претацииконцепциикоинтеграцииможноотметить,чтовслучае
2N =
,
1db= =
Granger
иWeiss(1983)показали,чтонеобходимымидостаточнымусловиемкоинтеграцииявляется
когерентностьмеждудвумярядаминанулевойчастоте.
Еслиx
t
имеетNкомпонент,можетсуществоватьболеечемодинкоинтеграционный
векторa.Очевидно,возможнонесколькоравновесныхсоотношенийуправлениясовмест-
нымповедениемпеременных.Вдальнейшембудемпредполагать,чтосуществуетровноr,
1rN≤−
,линейнонезависимыхкоинтеграционныхвекторов,образующихматрицу
α
раз-
мерности
Nr×
.Попостроениюрангaравенr,иэточислобудетназыватьсякоинтеграци-
оннымрангомрядаx
t
.
Далеебудетустановленатеснаясвязьмеждукоинтеграциейимоделямикоррекцииоши-
бок.Механизмыкоррекцииошибокширокоиспользуютсявэкономике.Ранниеверсиирас-
смотреныв(Sargan,1964;Phillips,1957).Идеясостоитвтом,чтонекотораядоляотклонения
отравновесиявкакой-топромежутоквременикорректируетсявследующемпромежутке.
Например,изменениевценезаодинпериодможетзависетьотстепениизбыточногоспроса
впредшествующемпериоде.Похожаяситуациявозникаетвзадачахоптимальногоповеде-
нияприналичиииздержекадаптациииливусловияхнеполнотыинформации.Впоследнее
времяэтимоделивызвалибольшойинтерессучетомрезультатовработ(Davidsonetal.,1978;
Hendry,vonUngern-Sternberg,1980;Currie,1981;Dawson,1981;Salmon,1982)имногихдругих.
Втипичноймоделикоррекцииошибокдлясистемысдвумяпеременнымиизменение
однойпеременнойзависитотошибкиравновесиявпредыдущиемоментывременииотиз-

Frequently asked questions

Q1. What are the contributions in "Co-integration and error correction: representation, estimation, and testing" ?

In this paper, the authors discuss the importance of the role of the user 's interaction with the system. 

Q2. what is y dey dey dy dy?

Y DEY DEY DY DY C 4.29 (123) C(-1) 0.15 (0.67) Y (-1) -0.034 (0.63) EY(-1) -0.053 (-1.1) DC(-1) 0.79 (2.5) 0.66 (2.4) DC(-2) -0.48 (-1.5) DC(-3) 0.68 (2.2) DC(-4) 0.56 (1.8) 0.60 (2.1) DY(-1) -0.027 (-0.3) DY(-2) -0.051 (-0.5) DY(-3) 0.011 (0.1) DY(-4) -0.23 (-2.5) -0.19 (2.1) DEY(-1) -0.13 (-1.5) DEY(-2) 0.12 (1.4) DEY(-3) 0.03 (0.4) DEY(-4) -0.14 (-1.6) CONST 2.22 (-50) -0.071 (-0.6) 0.016 (4.6) s 0.07012 0.04279 0.04350 0.03255 0.03321Примечание.