Some Exact Results for the Many-Body Problem in one Dimension with Repulsive Delta-Function Interaction

TLDR: In this paper, the ground-state problem of spin-textonehalf{} fermions is reduced to a generalized Fredholm equation, in a generalized form, by using Bethe's hypothesis.

Abstract: The repulsive $\ensuremath{\delta}$ interaction problem in one dimension for $N$ particles is reduced, through the use of Bethe's hypothesis, to an eigenvalue problem of matrices of the same sizes as the irreducible representations $R$ of the permutation group ${S}_{N}$. For some $R'\mathrm{s}$ this eigenvalue problem itself is solved by a second use of Bethe's hypothesis, in a generalized form. In particular, the ground-state problem of spin-\textonehalf{} fermions is reduced to a generalized Fredholm equation.

Figures

Figure 1: The coloured gallery Γ = (C0, . . . , C5) corresponding to the expression Ts1Ts2Ts1T−1s2 T −1 s1 in the affine Coxeter complex of type Ã2.

Figure 2: The Coxeter complex of the affine Coxeter group (W,S) of type Ã2 and its Cayley graph Γ. The orientation o of (W,S) towards the chamber C (definition 1.5.7) determines an orientation of the Cayley graph, giving rise to the directed Cayley graph Γo. The condition (OR2) ensures that restricted to any ‘cycle’ γ ⊆ o, the orientation coincides with the orientation towards a chamber x ∈ γ.

Table 2: The invariants of H1(W0, Q∨) for the classical root systems.

Table 3: The F2-dimensions of H1(W0, Q∨) for the classical root systems.

Figure 5: The canonical hyperplane arrangement realizing the Coxeter group W = PGL2(Z) as a hyperbolic reflection group, viewed in the disk model (isometric to the upper half-plane H via the Cayley transform q = z−iz+i ) of the hyperbolic plane. The two orientations of W attached to the ‘point at infinity’ z = ∞ (q = 1 ∈ ∆) are the limits limn→−∞ oCn , limn→+∞ oCn attached to the two semi-infinite galleries contained in the ‘horocycle’ (Cn)n∈Z and starting in the fundamental polytope C0.

Table 6: The F2-dimensions of H1(W0, P∨) for the classical root systems.

Full text

Generic pro-p Hecke algebras, the
Hecke algebra of PGL
2
(Z), and the
cohomology of root data
D I S S E R T A T I O N
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Mathematik
eingereicht
an der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät
der Humboldt-Universität zu Berlin
von Dipl.-Math. Nicolas Alexander Schmidt
Die Präsidentin
Prof. Dr.-Ing. Dr. Sabine Kunst
Der Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät
Prof. Dr. Elmar Kulke
Gutachter: 1. Prof. Dr. Elmar Große-Klönne (Humboldt-Universität zu Berlin)
2. Prof. Dr. Yuval Zvi Flicker (Ariel University)
3. Prof. Dr. Ulrich Görtz (Universität Duisburg-Essen)
Tag der mündlichen Prüfung: 11. Oktober 2018

2

Generic pro-p Hecke algebras
Nicolas A. Schmidt
January 23, 2019
Abstract
This is a contribution to the theory of Hecke algebras. A class of algebras called generic pro-p Hecke
algebras is introduced, enlarging the class of generic Hecke algebras by considering certain extensions of
(extended) Coxeter groups. Examples of generic pro-p Hecke algebras are given by pro-p-Iwahori Hecke
algebras and Yokonuma-Hecke algebras. The notion of an orientation of a Coxeter group is introduced and
used to define ‘Bernstein maps’ intimately related to Bernstein’s presentation and to Cherednik’s cocycle.
It is shown that certain relations in the Hecke algebra hold true, equivalent to Bernstein’s relations in the
case of Iwahori-Hecke algebras.
For a certain subclass called affine pro-p Hecke algebras, containing Iwahori-Hecke and pro-p-Iwahori
Hecke algebras, an explicit canonical and integral basis of the center is constructed and finiteness results
are proved about the center and the module-structure of the algebra over its center, recovering results of
Bernstein-Zelevinsky-Lusztig and Vignéras.
Zusammenfassung
Es wird ein Beitrag zur Theorie der Hecke-Algebren geleistet. Speziell wird eine Klasse von Algebren
eingeführt, die generischen pro-p Hecke-Algebren, welche die Klasse der generischen Hecke-Algebren erwei-
tert durch Übergang von Coxetergruppen zu Erweiterungen solcher durch abelsche Gruppen. Beispiele sind
gegeben durch pro-p-Iwahori Hecke-Algebren und Yokonuma-Hecke Algebren. Es wird der Begriff der Orien-
tierung einer Coxetergruppe eingeführt und benutzt um sogenannte Bernsteinabbildungen definieren, welche
eng verwandt sind mit der Bernsteinpräsentierung und dem Cherednik-Kozykel. Sodann wird gezeigt, dass
zwischen den Bildern der Bernsteinabbildungen gewisse Relationen herrschen, welche sich im Spezialfall der
Iwahori-Hecke Algebra auf die bekannten Bernsteinrelationen reduzieren.
Ferner wird für die Unterklasse der affinen pro-p Hecke-Algebren, welche sowohl die Iwahori-Hecke als
auch die pro-p-Iwahori Hecke-Algebren umfassen, eine kanonische und ganzzahlige Basis des Zentrums kon-
struiert und es werden Endlichkeitssätze über das Zentrum, aufgefasst als Algebra, und über die Hecke-
Algebra selbst, aufgefasst als Modul über dem Zentrum, bewiesen. Dabei werden bereits bekannte Ergebnisse
von Bernstein-Zelevinsky-Lusztig und Vignéras verallgemeinert.
Contents
0 Introduction 7
1 Generic pro-p Hecke algebras and Bernstein maps 16
1.1 Basic definitions and some geometric terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 1-Cocycles of pro-p Coxeter groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Construction of generic pro-p Hecke algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Presentations of generic pro-p Hecke algebras via braid groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Orientations of Coxeter groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Bernstein maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 A 2-coboundary X appearing in Coxeter geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8 A characterization of pro-p Coxeter groups in terms of X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9 Relation of Bernstein maps to Cherednik’s cocycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.10 Integral and normalized Bernstein maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.11 Bernstein relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3

4 CONTENTS
2 Affine pro-p Hecke algebras 53
2.1 Affine extended Coxeter groups and affine pro-p Hecke algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Main examples of affine pro-p Hecke algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.1 Affine Hecke algebras and Iwahori-Hecke algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.2 The affine Hecke algebra of GL
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.3 Pro-p-Iwahori Hecke algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.4 Affine Yokonuma-Hecke algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3 Some finiteness properties of affine extended Coxeter groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4 Spherical orientations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5 Some (almost) commutative subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6 The center of affine pro-p Hecke algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7 The structure of affine pro-p Hecke algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 The Hecke algebra of PGL
2
(Z) 96
3.1 Boundary orientations of PGL
2
(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 The geometry of PGL
2
(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3 The subalgebra A
∞
⊆ H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4 Intertwiners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4 Normalizers of Tori 106
4.1 The normalizer as a pro-p Coxeter group and its description in terms of root data . . . . . . . . 106
4.2 Characterizing splitting in terms of H
2
(W
0
, X
∨
⊗
Z
F
2
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 Direct products of root data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4 Some results from homological algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5 Maps between root data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.6 The theory of FI
W
-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.7 The DeConcini-Salvetti resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.8 Discussion of the computational results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A Computational Results 137
A.1 User’s guide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.1.1 Reproducing the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.1.2 Description of root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.1.3 Description of the cohomology groups of sublattices X
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.1.4 Description of the comparison maps comp
k
: H
k
(W
0
, X
∨
) ⊗
Z
F
2
↪→ H
k
(W
0
, X
∨
) . . . . . 140
A.1.5 Description of the cocycle ϕ
u
∈ Z
2
(W
0
, X
∨
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.1.6 Description of the cohomology of W
0
with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.1.7 Redundancy in the computational results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.2 Root system A
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.2.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.2.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.2.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.3 Root system A
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.3.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.3.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.3.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.4 Root system A
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.4.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.4.2 Cohomology of lattice X
∨
corresponding to Ω = ⟨(2)⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.4.3 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A.4.4 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A.5 Root system A
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.5.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.5.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.5.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.6 Root system A
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.6.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.6.2 Cohomology of lattice X
∨
corresponding to Ω = ⟨(3)⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.6.3 Cohomology of lattice X
∨
corresponding to Ω = ⟨(2)⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

CONTENTS 5
A.6.4 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.6.5 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.7 Root system A
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A.7.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A.7.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A.7.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.8 Root system A
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A.8.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A.8.2 Cohomology of lattice X
∨
corresponding to Ω = ⟨(4)⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A.8.3 Cohomology of lattice X
∨
corresponding to Ω = ⟨(2)⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A.8.4 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.8.5 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.9 Root system A
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.9.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.9.2 Cohomology of lattice X
∨
corresponding to Ω = ⟨(3)⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.9.3 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.9.4 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.10 Root system B
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.10.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.10.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.10.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.11 Root system B
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.11.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.11.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A.11.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.12 Root system B
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.12.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.12.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.12.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.13 Root system B
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.13.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A.13.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.13.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
A.14 Root system B
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
A.14.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
A.14.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
A.14.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
A.15 Root system B
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.15.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.15.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.15.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
A.16 Root system B
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
A.16.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
A.16.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.16.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
A.17 Root system C
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A.17.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A.17.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A.17.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A.18 Root system C
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A.18.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A.18.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
A.18.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
A.19 Root system C
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
A.19.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
A.19.2 Cohomology of coweight lattice X
∨
= P
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A.19.3 Cohomology with trivial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A.20 Root system C
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.20.1 Cohomology of coroot lattice X
∨
= Q
∨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Frequently asked questions

Q1. What are the contributions mentioned in the paper "Generic pro-p hecke algebras, the hecke algebra of pgl(2,z), and the cohomology of root data" ?

The notion of an orientation of a Coxeter group is introduced and used to define ‘ Bernstein maps ’ intimately related to Bernstein ’ s presentation and to Cherednik ’ s cocycle.